概率论与数理统计23.ppt

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1、定义设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x),则称则称 X 为为连续随机变量连续随机变量，若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f(x)，满足：满足：称称 f(x)为为概率密度函数概率密度函数，简称简称密度函数密度函数.2.3 2.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的基本性质密度函数的基本性质满足满足(1)(2)的函数都可以看成某个的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(规范性)注意点(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;(4)PaXb=PaXb =Pa

2、Xb =PaXb =F(b)F(a).(5)当F(x)在x点可导时,f(x)=所以，概率为零的事件不一定是不可能事件！连续型1.密度函数 X f(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。5.F(x)为连续函数。F(a0)=F(a).F(a0)F(a).例例1 已知随机已知随机变变量量X概率密度概率密度为为：试试求求 1)常数常数a；2)分布函数分布函数F(x)；3)并并计计算算例例2 设连续设连续型随机型随机变变量量X的分布函数的分布函数1.

3、求求A,B的值的值;2.求求X落在区间落在区间(0,ln2)内的内的 概率；概率；3.求求X的概率密度的概率密度f(x)。例例例例3:3:3:3:一种电子管的使用寿命为一种电子管的使用寿命为一种电子管的使用寿命为一种电子管的使用寿命为X X X X小时，其概率密度小时，其概率密度小时，其概率密度小时，其概率密度为为为为某仪器内装有某仪器内装有某仪器内装有某仪器内装有3 3 3 3个这样的电子管，试求使用个这样的电子管，试求使用个这样的电子管，试求使用个这样的电子管，试求使用150150150150小时小时小时小时内至多一个电子管需要换的概率。内至多一个电子管需要换的概率。内至多一个电子管需要换

4、的概率。内至多一个电子管需要换的概率。（一）均匀分布（一）均匀分布 X XU(a,bU(a,b)n实际背景实际背景：随机变量随机变量 X 仅在一个有限区间（仅在一个有限区间（a,ba,b）上取值；）上取值；随机变量随机变量 X在其内取值具有在其内取值具有“等可能等可能”性，则性，则 X XU(a,bU(a,b)。三种重要连续型分布三种重要连续型分布“等可能等可能”表现在：表现在：若若acc+l b，则，则 PcX 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2（二）指

5、数分布（二）指数分布n实际背景：在实践中，如果实际背景：在实践中，如果 X表示某一随机事件表示某一随机事件发生所需发生所需等待等待的时间，则一般的时间，则一般 服从指数分布。服从指数分布。n如：随机服务系统中的服务时间；如：随机服务系统中的服务时间；n 在某邮局等候服务的等候时间；在某邮局等候服务的等候时间；n 某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）指数分布指数分布记为 X Exp(),其中 0.指数分布具有指数分布具有无记忆性无记忆性：如果如果X X是某一元件的寿命，已知元件已使用了是某一元件的寿命，已知元件已使用了 s s小时，它还能继续使用至少小时，

6、它还能继续使用至少 t t小时的条件概率，与小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用从开始时算起至少能使用 t t 小时的概率相等。小时的概率相等。即元件对它已使用过即元件对它已使用过s s小时无记忆。小时无记忆。例例1 1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使用寿命X（年）服从参数为1/5的指数分布，1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率；2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8年的概率。（三）正态分布三）正态分布 XN(,2)正态分布随机变量正态分布随机变量 X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数，为常数，实际背景：实际背景：实际背景：实际背景：如果一个随机现象是由大量微小

7、的相互独立的如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布认为服从或近似服从正态分布f(x)xO正态分布的性质(1)f(x)关于 是对称的.f(x)x0在 点 f(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,小大f(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从服从服从服从或或或或近近近近似服

8、从似服从似服从似服从正态分布正态分布正态分布正态分布。如如:测量误差；测量误差；在稳定条件下产品的各种指标在稳定条件下产品的各种指标;某地区人的身高、体重；某地区人的身高、体重；大面积考试的分数等大面积考试的分数等思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（-，+），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是（-，+），），矛矛矛矛盾吗？盾吗？盾吗？盾吗？p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).(

9、x)的计算(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aX1.96),P(|X|1.96)P(|X|1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65例2一般正态分布的标准化定理2.3.1 设 X N(,2),则 Y N(0,1).推论:若 X N(,2),则 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X10|2)=P(8X12)=2(1)1=0.6826=0.4332例3o例例 假设在设计公共汽车车门的高度时，要假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在求男子的碰头机会在1%1%以下，设男子的身高以下，设男子的身高X(cm)服从正态分布，服从正态分布，X N(170,36)，问车，问车门高度至少应为多高门高度至少应为多高?正态分布的正态分布的3 原则原则设 X N(,2),则 P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3)=0.9973.