概率论与统计5-6.ppt

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1、 5.6 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等)的作用的作用,

2、所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它并且它们中每一个对总和产生的影响不大们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.二、基本定理二、基本定理定理定理5.6.1（林德伯格林德伯格-莱维莱维中心极限定理中心极限定理）定理定理5.6.15.6.1表明表明:定理定理5.6.2(棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理)正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分

3、布正态分布是二项分布的极限分布,当当当当n n充分大时充分大时充分大时充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.定理定理5.6.2表明表明推论5.6.1(二项分布的近似计算)下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.李雅普诺夫李雅普诺夫定理定理5.6.3(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理

4、极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实.三、典型例题三、典型例题解解由定理由定理5.6.1,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),例例1其中其中 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率

5、为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解将船舶每遭受一次海浪的将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.

6、若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理知知,例例3保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15

7、.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解例例4根据根据定理定理5.6.1由由棣棣莫弗莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理知知,四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理林德伯格林德伯格-莱维中心极限定理莱维中心极限定理棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理