概率论与数理统计 习题课.ppt

《概率论与数理统计 习题课.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 习题课.ppt（61页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章第三章习题课习题课一、一、二维随机向量概率分布的描述方式二维随机向量概率分布的描述方式1 1、联合概率函数与边缘概率函数联合概率函数与边缘概率函数2 2、联合密度函数与边缘密度函数联合密度函数与边缘密度函数3 3、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数1 1、联合概率函数与边缘概率函数联合概率函数与边缘概率函数 联合概率联合概率边缘概率边缘概率 联合概率函数的性质联合概率函数的性质正定性正定性:归一性归一性:联合概率与边缘概率的关系联合概率与边缘概率的关系即已知联合概率即已知联合概率,如何求边缘概率如何求边缘概率?方法方法:把联合概率列成二维表的形式，把联合概率列成二维表的

2、形式，然后逐行累加然后逐行累加,逐列累加。逐列累加。判断题判断题对于离散型二维随机向量，对于离散型二维随机向量，(X,Y)的联合的联合概率概率 和边缘概率和边缘概率 一定有一定有()对对如果如果(X,Y)的分布列为的分布列为则其中则其中c可以是任意常数。可以是任意常数。()错错 设设X与与Y相互独立且同服从参数相互独立且同服从参数 的的0-10-1分布，分布，则则XP0 0 1YP0 0 1解解2 2、联合密度与边缘密度联合密度与边缘密度 联合密度联合密度边缘密度边缘密度 联合密度函数的性质联合密度函数的性质正定性正定性:归一性归一性:联合密度与边缘密度的关系联合密度与边缘密度的关系:即已知联

3、合密度即已知联合密度,如何求边缘密度如何求边缘密度?方法方法:联合密度对其中一个变量积分，得联合密度对其中一个变量积分，得关于另一个变量的边缘密度，即关于另一个变量的边缘密度，即 对于连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量(X,Y)的联合密的联合密度度 f(x,y)和边缘密度和边缘密度 一定有一定有()()判断题判断题对对()()如果如果 则则对对交换积分次序交换积分次序设设(X,Y)服从区域服从区域D D上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中D D由曲线由曲线及直线及直线 围成，则围成，则(X,Y)的关于的关于X的边缘密度在的边缘密度在 点的值为点的值为_._.xyo1xyo13 3、联合分

4、布函数与边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数 联合分布函数联合分布函数边缘分布函数边缘分布函数联合分布函数的概率意义联合分布函数的概率意义yo(x,y)(X,Y)x联合分布函数的概联合分布函数的概率意义率意义:yo(x,y)(X,Y)x求矩形区域上概率的两种方法：求矩形区域上概率的两种方法：联合分布函数的性质联合分布函数的性质规范性规范性 单调不减性单调不减性 右连续性右连续性设（设（X X，Y Y）的分布函数为）的分布函数为则常数则常数联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系 即已知联合分布函数即已知联合分布函数,如何求边缘分布函数如何求边缘分布函数?方法方法:在联

5、合分布函数中，令其中一个变量趋在联合分布函数中，令其中一个变量趋于正无穷求极限，得关于另一个变量的边缘分布于正无穷求极限，得关于另一个变量的边缘分布函数，即函数，即9.已知二维随机向量已知二维随机向量(X,Y)的分布函数为的分布函数为求求 常数常数A；关于关于X、Y的边缘分布函数；的边缘分布函数；解：解：已知联合分布函数已知联合分布函数,可以求出边缘分布函数可以求出边缘分布函数.反过来反过来,已知边缘分布已知边缘分布,可否求出联合分布呢可否求出联合分布呢?一般来说一般来说,光知道光知道X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数,是求是求不出不出(X,Y)的联合分布函数的。的联合分布函数的。因为联合分

6、布中还蕴含着因为联合分布中还蕴含着X和和Y之间的关系。之间的关系。你必须提供这种关系，你必须提供这种关系，我才能写出联合分布。我才能写出联合分布。对于联合概率函数和联合密度函数也是一样对于联合概率函数和联合密度函数也是一样的的。例如例如 对于二维正态分布对于二维正态分布 可得可得但是，反过来，由但是，反过来，由能得到能得到由由 联合密度函数与联合分布函数联合密度函数与联合分布函数的关系的关系联合分布函数是联合密度函数联合分布函数是联合密度函数的二次变上限积分的二次变上限积分联合密度函数是联合分布函数联合密度函数是联合分布函数的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数12设设(X,Y)的密度函数为的密度函

7、数为求求(1)常数常数a；(2)联合分布函数联合分布函数解解（）当x0或y0,y0时随机向量的独立性随机向量的独立性1 1、独立的三个充分必要条件独立的三个充分必要条件2 2、一个有用的结论一个有用的结论 若若 X 与与 Y 相互独立，则它们的连续函数相互独立，则它们的连续函数g(X)与与 h(Y)也相互独立。也相互独立。如果如果 则则()()如果如果X与与Y相互独立，且相互独立，且则则(X,Y)服从区域服从区域 上的均匀分布。上的均匀分布。（）设设 则则()()二维随机向量函数的概率分布二维随机向量函数的概率分布1 1、离散型离散型2 2、连续型连续型方法方法:列表法或代数式法列表法或代数式

8、法方法方法:分布函数法分布函数法加一道例题加一道例题二维随机向量的数字特征二维随机向量的数字特征一、期望向量与方差向量一、期望向量与方差向量二、函数的期望二、函数的期望（离散型）（离散型）（连续型）（连续型）变函数不变分布变函数不变分布不必求不必求X 的边的边缘分布缘分布若若(X,Y)为为二维二维离散离散型随机变量型随机变量，则，则若若(X,Y)为为二维二维连续连续型随机变量型随机变量，则，则直接由联直接由联合分布求合分布求X的期望的期望 如果如果EXEX，EYEY都存在，则都存在，则()()三、期望和方差的性质三、期望和方差的性质一一维：维：二二维：维：1.E(X+Y)=EX+EY2.E(X

9、Y)=EXEY独立独立独立独立独立独立如果如果 则则X X与与Y Y相相 互独立。互独立。（）设随机变量设随机变量 相互独立，其中相互独立，其中 服从参数服从参数的指数分布，的指数分布，令令 则则四、协方差四、协方差1 1、协方差的计算公式协方差的计算公式离差的乘积的期望离差的乘积的期望乘积的期望减期望的乘积乘积的期望减期望的乘积8.若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 Cov(X,Y)06.Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY7.D(XY)=DX+DY2Cov(X,Y)4.Cov(X+a,Y+b)=Cov(X,Y)5.Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)1.Cov(X,Y

10、)=Cov(Y,X)3.Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)2.Cov(X,X)=DX,Cov(Y,Y)=DY2 2、协方差的性质协方差的性质 （）（）若若 则则X X与与Y Y相互独立相互独立.（）五、相关系数五、相关系数1 1、相关系数的计算、相关系数的计算2 2、相关系数的性质、相关系数的性质独立独立3 3、相关系数的意义、相关系数的意义相关相关不相关不相关正相关正相关负相关负相关有一定的相关关系，且有一定的相关关系，且 越大越大,相关程度越大相关程度越大4 4、独立与不相关的关系、独立与不相关的关系独立一定不相关独立一定不相关不相关不一定独立不相关不一定独立若若X X与与Y Y

11、不相关，则不相关，则 ()()设任取设任取n n件产品，其中次品数为件产品，其中次品数为X X，正品数为，正品数为Y Y，则，则 X X与与Y Y的相关系数为的相关系数为-1-1。（）设设X X与与Y Y同分布且方差存在，则同分布且方差存在，则X+YX+Y与与X-YX-Y不相关。不相关。（）已知已知DX=1DX=1，DY=4DY=4，如果，如果X X与与Y Y相互独立，则相互独立，则D D（2X-Y+12X-Y+1 ）=_=_；如果；如果X X与与Y Y的相关系数的相关系数则则二维正态分布二维正态分布 1 1二维正态分布的两个边缘分布二维正态分布的两个边缘分布均为均为一维一维正态分布正态分布。

12、3 3若若 ,则则（a、b不全为零）不全为零）设设 则则()()如果如果X X与与Y Y相互独立，且都服从正态分布，则相互独立，且都服从正态分布，则X+YX+Y一定一定 服从正态分布。服从正态分布。（）二维正态分布的边缘分布一定为正态分布。二维正态分布的边缘分布一定为正态分布。()()二维均匀分布的边缘分布也是一维均匀分布。二维均匀分布的边缘分布也是一维均匀分布。()()已知已知 且且X X与与Y Y相互独立，相互独立，则则中心极限定理中心极限定理定理定理.13（林德伯格列维中心极限定理）（林德伯格列维中心极限定理）定理定理 3.14 (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）

13、定理定理.12（李（李 雅普诺夫中心极限定理）雅普诺夫中心极限定理）大量的独立的微小的随机变量之和渐近正态分布大量的独立的微小的随机变量之和渐近正态分布独立同分布的随机变量序列之和渐近正态分布独立同分布的随机变量序列之和渐近正态分布当当n充分大时充分大时,二项分布以二项分布以正态分布为极限分布正态分布为极限分布 在实际计算中在实际计算中,定理定理 3.14以下面两个定理的形以下面两个定理的形式应用式应用:1.1.局部极限定理局部极限定理:2.2.积分极限定理积分极限定理:设随机变量设随机变量解解 设设每晚去上机的每晚去上机的人数为人数为X，则，则由由中心极限定理，近似地有中心极限定理，近似地有(2)设再购置设再购置k台才能使够用的概率达到台才能使够用的概率达到95%以上以上,查表知查表知由分布函数是单调不减性知由分布函数是单调不减性知即即故再购置故再购置50台才能使够用的概率达到台才能使够用的概率达到95%以上以上.199199：5454、5555