概率论与数理统计 第二章3.ppt

《概率论与数理统计 第二章3.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 第二章3.ppt（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 在许多实际问题中，我们通过实验或测量获得了随机变量在许多实际问题中，我们通过实验或测量获得了随机变量X的的分布，但有时我们对分布，但有时我们对X的函数的函数g(X)更感兴趣。比如，某厂生产

2、球更感兴趣。比如，某厂生产球形钢珠，它的直径形钢珠，它的直径d是随机变量。因为是随机变量。因为V和和S是随机变量是随机变量d的函数，的函数，因此，体积因此，体积V和表面积和表面积S也是随机变量。也是随机变量。我们想通过我们想通过d的分布得到体积的分布得到体积 或表面积或表面积 的分布。在概率论与数理统计中，经常需要根据随机变量的分布的分布。在概率论与数理统计中，经常需要根据随机变量的分布计算它的函数计算它的函数g(X)的分布。的分布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工

3、大学概率论与数理统计对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，设其分布律为，设其分布律为Xx1x2xiPp1p2pi那么，那么，X的函数的函数Y=g(X)也是一个离散型随机变量，由于也是一个离散型随机变量，由于 PY=yi=PY=g(xi)=PX=xi，k=1,2,i,，则有，则有Yy1=g(x1)y2=g(x2)yi=g(xi)Pp1p2pi在这里，当函数在这里，当函数Y=g(X)不是一一对应时，有些不是一一对应时，有些yi=g(xi)可能相等，可能相等，只要把那些相等的合并到一起，同时将其对应的概率相加，即只要把那些相等的合并到一起，同时将其对应的概率相加，即可得可得Y的分布。的分布。理学院

4、University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 已知已知X的分布律为的分布律为X 2 1012P求求 Y=X2的分布律。的分布律。解解 由由Y=X2，易得，易得X，Y及其概率的对应表为及其概率的对应表为 X 2 1012Y41014P理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计于是于是Y的分布律的分布律Y014P理学院Univ

5、ersity of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 例例 设设X的分布律为的分布律为，求，求Y=sinX的分布律。的分布律。解解 因为因为 所以随机变量所以随机变量Y=sinX只有三个取值：只有三个取值：Y=1，0，1。而对应的概率分别是而对应的概率分别是 于是于是Y=sinX的分布律为的分布律为 Y10 1P理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率

6、论与数理统计对于连续型随机变量对于连续型随机变量X，一般可先求其分布函数，再由分布函，一般可先求其分布函数，再由分布函数与密度函数的关系获得密度函数：数与密度函数的关系获得密度函数：首先通过例题来讨论函数首先通过例题来讨论函数Y=g(X)其概率密度的计算方法。其概率密度的计算方法。例例 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为 求随机变量求随机变量Y=3X+1的概率密度。的概率密度。解解 分别用分别用FX(x)，FY(y)表示表示X，Y的分布函数，的分布函数，则则将将FY(y)求关于求关于y的导数，可得随机变量的导数，可得随机变量Y=3X+1的概率密度：的概率密度：理学院University o

7、f Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，求随机变量，求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。解解 分别用分别用FX(x)，FY(y)表示表示X，Y的分布函数，由于的分布函数，由于Y=X2 0，故故y0时，时，将将FY(y)求关于求关于y的导数，可得随机变量的导数，可得随机变量Y的概率密度：的概率密度：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Sc

8、ience 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)，x 0(或恒有或恒有g(x)0(或恒有或恒有g(x)0)，而，而取取=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g(b)即可。即可。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设设，=tan，试求，试求 的概率密度。的概率密度。解解 因为因为 的概率密度为：的概率密度为：=g(x)tan，则，则=h()=arctan，=，=+，因此

9、，因此 的概率密度的概率密度 为为理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设随机变量设随机变量X N(,2)，证明，证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a 0)也服从正态分布。也服从正态分布。证明证明 因为因为X的概率密度为的概率密度为，x(，)函数函数 y=g(x)ax+b，则，则 于是于是X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a 0)的概率密度为的概率密度为，y(，)于是于是 Y N(a+b,(a)2)，即服从参数为，即服从参数为a+b，(a)2 的正态分的正态分布。布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计作 业P651，2，4，5，7