概率论与数理统计 二维连续性随机变量及其分布.ppt

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1、解解概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计故故X,Y不独立。不独立。v6464页例页例页例页例4 4 设(X,Y)的密度函数为求(1)C的值;(2)边缘密度函数.解解概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望设X的分布律为则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则概率论与数理统计概率论与数理统计Review概率论与数理统计概率论与数理统计3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，Y=g(X),离散型离散型：连续型：连续型：(2)(X,Y)

2、为二维随机变量,Z=g(X,Y),离散型：离散型：连续型：连续型：概率论与数理统计概率论与数理统计解解概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1.E(C)=C2.E(aX)=a E(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X,Y 独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).线性性质线性性质（二）方差（二）方差1.定义 D(X)=E X-E(X)2标准差：2.计算(2)离散型：(3)连续型：概率论与数理统计概率论与数理统计(1)计算公式计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).概率论与数理统计概率论与数理统计(1)D(C)=0;(2)D(CX)=C2D(X);(3)若

3、X,Y相互独立相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X-Y)=D(X)+D(Y).概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例1 1 解解已知随机变量 X 的分布律为求求D(X).概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例2 2 解解概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例3 3 设Xb(n,p),求E(X),D(X).解解 X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令且Xi服从0-1分布，则又Xi之间相互独立，概率论与数理统计概率论与数理统计v例例例例4 4 已知标准正态分布N(0,1)的期望是0，方差是1。设XN(,2),求E(X),D(X).解解随机变量的标准化：随机变量的标准化：

4、分布数学期望 方差0-1分布B(1,p)p p(1-p)二项分布B(1,p)np np(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布概率论与数理统计概率论与数理统计问题问题 对于二维随机变量(X,Y):联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系该用一个怎样的数去反映这种联系呢？数数能反映随机变量能反映随机变量 X,Y 之间的之间的线性线性关系关系 4.4概率论与数理统计概率论与数理统计为 X,Y 的协方差协方差.记为 称为（X,Y）的协方差矩阵协方差矩阵 称定义定义定义概率论与数理统计概率论与数理统计计算公式计算公式：cov(X,Y)=E(XY)-E

5、(X)E(Y).v例例5 5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计解解 X,Y的分布律分别如下：v例例5 5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计v例例6 6概率论与数理统计概率论与数理统计解解概率论与数理统计概率论与数理统计1.cov(X,X)=D(X)5.当X,Y 独立时，cov(X,Y)=0.对称性对称性2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)而当cov(X,Y)=0，X,Y并不一定

6、独立.X,Y线性线性不相关不相关7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差概率论与数理统计概率论与数理统计若D(X)0,D(Y)0,称为X,Y 的 线性相关系数线性相关系数，记为若称 X,Y 线性线性不相关不相关.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1.|XY|12.当X,Y 独立时，XY=0.3.|XY|越大，则X,Y 线性相关程度越好当|XY|=0时，X,Y 并不是一定没有关系，而是线性不相关。逆命题不成立逆命题不成立4.(X,Y)N(1

7、,2,12,22,)就是X,Y 的相关系数，XY=.概率论与数理统计概率论与数理统计v例例7 设(X,Y)N(1,4,1,4,0.5),Z=X+Y,求 XZ解解概率论与数理统计概率论与数理统计v例例8 8 U-,X=sin,Y=cos,X,Y是否相关，是否独立？概率论与数理统计概率论与数理统计解解证明证明(1)于是于是XY=0，所以 X与Y线性不相关。例例例例9 9 9 9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。概率论与数理统计概率论与数理统计显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。例例例例9 9 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相

8、关，也不相互独立。概率论与数理统计概率论与数理统计vn维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布，则Xi都是一维正态；若Xi是一维正态，且相互独立，则X1,X2,Xn服从n维正态。概率论与数理统计概率论与数理统计vn维随机变量X1,X2,Xn服从正态分布的充要条件是X1,X2,Xn 的任意线性组合都服从一维正态。v对n维正态分布来说，独立与线性相关是等价的。例例10 设随机变量X和Y相互独立，且XN(1,2),YN(0,1)。求 Z=2X-Y+3 的概率密度。知知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且服从正态分布，且解解 由由XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y相互独立相互独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2-0+3=5，故，故，ZN(5,32).概率论与数理统计概率论与数理统计Z 的概率密度为的概率密度为概率论与数理统计概率论与数理统计定义定义1定义定义2概率论与数理统计概率论与数理统计说明说明 概率论与数理统计概率论与数理统计