西北工业大学《概率论与数理统计》5-1 基本概念.ppt

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1、下下下下回回回回停停停停第一节第一节第一节第一节 基本概念基本概念基本概念基本概念二、总体与个体二、总体与个体三、随机样本的定义三、随机样本的定义四、统计量四、统计量一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出概率论中的一个最基本的假设就是：概率论中的一个最基本的假设就是：而在实际中，我们往往不知道随机变量而在实际中，我们往往不知道随机变量研究对象的分布已知研究对象的分布已知.的确切分布，这就是数理统计所讨论问题的的确切分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要用已有的应用背景，它需要用已有的部分信息部分信息去去推断推断整体整体情况情况.数理统计研

2、究内容十分广泛，其中一类数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便是重要的问题便是统计推断统计推断.例如例如：某车站在旅游旺季的旅客到来人某车站在旅游旺季的旅客到来人统计推断是利用试验数据对研究对象的统计推断是利用试验数据对研究对象的性质作出推断，其中的一个重要方面就是性质作出推断，其中的一个重要方面就是参参数估计数估计问题问题.数服从数服从Poisson分布，这样车站就需要知道分布，这样车站就需要知道该分布的具体参数，从而合理的安排车辆调该分布的具体参数，从而合理的安排车辆调度。但是在实际中，车站往往不知道分布的度。但是在实际中，车站往往不知道分布的具体参数情况，仅仅知道具体参数情况，仅

3、仅知道一些往年旺季的车辆一些往年旺季的车辆调度数据调度数据.对于这个问题，由概率论的知识可知，对于这个问题，由概率论的知识可知，类似上述这类类似上述这类问题问题被称为被称为参数估计参数估计.调度分布调度分布.的均值，以其均值来代替的均值，以其均值来代替直观粗略的想法就是计算出往年旺季汽车调度直观粗略的想法就是计算出往年旺季汽车调度分布的参数分布的参数是其均值，那么一个是其均值，那么一个，从而得到汽车的，从而得到汽车的例如某电子元件企业为了提高该厂元器件例如某电子元件企业为了提高该厂元器件统计推断的另一个重要问题是统计推断的另一个重要问题是假设检验假设检验.的装箱出厂率，需要对元器件的合格率加以

4、确的装箱出厂率，需要对元器件的合格率加以确定，而实际中决策人员只知道平时的次品率在定，而实际中决策人员只知道平时的次品率在1%附近，而且可以知道最近一批产品的装箱合附近，而且可以知道最近一批产品的装箱合格率格率.而我们现在想确认次品率是否为而我们现在想确认次品率是否为1%？对于这个问题，我们的一个想法就是在货对于这个问题，我们的一个想法就是在货类似的问题被称为类似的问题被称为假设检验假设检验.们就认为该厂的元器件次品率为们就认为该厂的元器件次品率为1%.占抽样总箱数的比例非常高，那么在实际中我占抽样总箱数的比例非常高，那么在实际中我行逐箱检验，如果次品率小于等于行逐箱检验，如果次品率小于等于1

5、%的箱数的箱数物中随机提取若干箱，然后对每箱的元器件进物中随机提取若干箱，然后对每箱的元器件进概括地讲，数理统计研究以有效的方式概括地讲，数理统计研究以有效的方式统计推断：统计推断：研究如何加工、处理数据，从而研究如何加工、处理数据，从而采集、采集、整理整理察的问题做出察的问题做出推断和预测，推断和预测，直至提供依据和建议直至提供依据和建议.和分析受到和分析受到随机随机因素影响的数据，因素影响的数据，并对所考并对所考对所考察对象的性质做出对所考察对象的性质做出尽可能精确尽可能精确和和可靠的可靠的推断推断.二、总体与个体二、总体与个体二、总体与个体二、总体与个体总体总体:在数理统计中，把研究对象

6、的全体在数理统计中，把研究对象的全体个体：个体：总体中每个研究对象称为个体总体中每个研究对象称为个体.例如例如,在考察我校某届本科生学习质在考察我校某届本科生学习质量时，量时，称为总体（或母体）称为总体（或母体）.该届本科生的全体称为一个该届本科生的全体称为一个总体总体，每一个本，每一个本科生称为一个科生称为一个个体个体.总体总体个体个体例例例例1 1 考察某批电视机的寿命质量时，这批电视机考察某批电视机的寿命质量时，这批电视机的全体称为一个总体，每台电视机称为一个个体的全体称为一个总体，每台电视机称为一个个体.当我们说到总体，就是指一个具有确定概当我们说到总体，就是指一个具有确定概在实际中，

7、我们并不关心总体的各个方面，在实际中，我们并不关心总体的各个方面，率分布的随机变量率分布的随机变量.这时，每个个体具有的数这时，每个个体具有的数量指标的全体就是量指标的全体就是总体总体.而往往关心它的某项或几项而往往关心它的某项或几项数量指标数量指标.因此，在理论上可以把总体与概率分因此，在理论上可以把总体与概率分布等布等 通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量 等等表示表示总体总体.同起来同起来.三、随机样本的定义三、随机样本的定义三、随机样本的定义三、随机样本的定义1.样本的定义样本的定义样本中所包含个体的总数样本中所包含个体的总数n称为称为样本容量样本容量.从总体从总体X中，随机地抽取

8、中，随机地抽取n个个体个个体：称为总体称为总体X的一个的一个样本样本，记为，记为注注例例例例2 2 解解 （1）总体是该地区）总体是该地区2006届数学本科毕届数学本科毕（3）样本容量是）样本容量是100.为了了解数学专业本科毕业生的月薪情为了了解数学专业本科毕业生的月薪情况，调查了况，调查了某地区某地区100名名2006届数学专届数学专业的本业的本科生的月薪情况，试问科生的月薪情况，试问（1）什么是总体？）什么是总体？（2）什么是样本？）什么是样本？（3）样本容量是多少？）样本容量是多少？业生的月薪；业生的月薪；业生的月薪；业生的月薪；（2）样本是被调查的）样本是被调查的100名名2006届

9、数学本科毕届数学本科毕 2.样本值样本值每一次抽取每一次抽取所得到的所得到的n个个确定的具体数值，记为确定的具体数值，记为称为样本称为样本的一个的一个样本值样本值(观察值观察值).数理统计的基本任务是：数理统计的基本任务是：根据从总体中抽取的根据从总体中抽取的样本，利用样本的信息推断总体的性质样本，利用样本的信息推断总体的性质.3.简单随机样本简单随机样本 则则称称两个特征：两个特征：获得简单随机样本的抽样方法称为获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样.(1)代表性：代表性：(2)独立性：独立性：若来自总体若来自总体的样本的样本具有下列具有下列中每一个与总体中每一个与总体有相同

10、的分布有相同的分布.是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.为为n的简单随机样本的简单随机样本.设设人的身高服从正态分布，现考察某地区人的身高服从正态分布，现考察某地区10001000人人的身高的身高.其身高记为其身高记为则称则称为来自于正态总体容量为来自于正态总体容量 又如又如,某实验室对某实验室对200只灯泡作寿命试验只灯泡作寿命试验,并且规并且规定当有定当有60只灯泡失效时停止试验只灯泡失效时停止试验,如此如此取得的寿取得的寿命样本就不是简单随机样本命样本就不是简单随机样本.例例例例3 3 为为10001000的简单随机样本的简单随机样本.总体和样本的严格数学定义：总体和样本的严格数学

11、定义：定义定义5.1定义定义5.24.样本样本的分布的分布定理定理定理定理5.15.1注注 熟记以上三种不同情形熟记以上三种不同情形下样本的联合概率分布的具下样本的联合概率分布的具体形式是解决问题的关键体形式是解决问题的关键!例例4的联合分布函数的联合分布函数.解解由独立性有由独立性有:例例5解解服从参数为服从参数为是来自于总体的样本，求此样本是来自于总体的样本，求此样本的联合分布律的联合分布律.解解总体总体的分布律为的分布律为所以所以的联合分布律为的联合分布律为因为因为独立同分布，独立同分布，设总体设总体例例例例6 6 的的Poisson分布分布此即样本的联此即样本的联合分布律合分布律四、统

12、计量四、统计量由样本推断总体情况由样本推断总体情况,需要对样本值进行需要对样本值进行1.统计量统计量定义定义定义定义5.35.3本中所含的信息集中起来本中所含的信息集中起来.“加工加工”,这就需要构造一些样本的函数这就需要构造一些样本的函数,它把样它把样注注 2统计量用于统计推断，故不应含任何关统计量用于统计推断，故不应含任何关 3 统计量是样本的函数，它是一个随机变统计量是样本的函数，它是一个随机变于总体于总体 X 的未知参数的未知参数;量，统计量的分布称为量，统计量的分布称为抽样分布抽样分布.服从参数为服从参数为 的的Poisson分布分布为来自总体的样本，判断下列那些为来自总体的样本，判

13、断下列那些是统计量？是统计量？设总体设总体例例例例7 7 是是不是不是是是解解 直接利用统计量定义判别直接利用统计量定义判别统计量统计量回顾回顾 统计量是样本的函统计量是样本的函 数数,完全由样本决定完全由样本决定,不含任何关于总体不含任何关于总体X的未知参数的未知参数.2.几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义1)样本均值样本均值其观察值其观察值(1)样本矩样本矩可用于推断：可用于推断：E(X).它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息2)样本方差样本方差其观察值其观察值它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息可用于推断：可用于推断：D(X).3)样本标准差样本标准差其观察值其观察

14、值4)修正样本方差修正样本方差其观察值其观察值样本方差与修正样本方差的样本方差与修正样本方差的关系：关系：注注 1当当n较大时，较大时，2当当n较小时，较小时，5)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩其观察值其观察值6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩其观察值其观察值特例：特例：特例：特例：样本矩具有下列性质样本矩具有下列性质:性质性质性质性质5.15.1 请请熟记此结论熟记此结论！证证例例例例8 8 服从两点分布服从两点分布是来自于总体分布的样本，是来自于总体分布的样本，是样本均值与修正样本方差，试计算：是样本均值与修正样本方差，试计算：解解利用样本矩的性质得利用样本矩的性质得设对总体设对总体由

15、两点分布知由两点分布知证证再根据第四章再根据第四章辛钦定理辛钦定理，即，即性质性质性质性质5.25.2由第四章关于依概率收敛的序列的性质知由第四章关于依概率收敛的序列的性质知注注 性质性质5.2是下一章矩估计法的理论根据是下一章矩估计法的理论根据.由上述定理可得由上述定理可得(2(2)次序统计量次序统计量次序统计量次序统计量称为样本称为样本的的次序统计量次序统计量.注注注注特别地，特别地，定理定理定理定理5.25.2证证证证(1)(2)例例9解解解解 由总体由总体由总体由总体X X 的密度函数得，的密度函数得，的密度函数得，的密度函数得，X X 的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为

16、(3)经验分布函数经验分布函数定义定义定义定义5.55.5为总体为总体X的的经验分布函数经验分布函数，即对于任何实数，即对于任何实数 ,的的个数再除以个数再除以n，亦即，亦即 经验分布函数经验分布函数为样本值中不超过为样本值中不超过注注注注 1 k为为样本中不超过样本中不超过x的样本的最大个数，的样本的最大个数，发生的次数发生的次数.即在即在n次重复独立试验中，事件次重复独立试验中，事件性质性质性质性质格里汶科定理格里汶科定理5.3求此样本的经验分布函数求此样本的经验分布函数例例10中取得一个容量为中取得一个容量为5的样本，的样本，样本观测值为样本观测值为-2，-1，2.5，3.1，3.7，试

17、，试解解设从总体设从总体由经验分布函数的定义知由经验分布函数的定义知内容小结内容小结内容小结内容小结个体个体 总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体基本概念基本概念:说明说明一个总体对应一个随机变量一个总体对应一个随机变量X,我们将不我们将不统计推断统计推断随机样本随机样本检验检验估计估计参数估计（第六章）参数估计（第六章）非参数估计非参数估计参数假设检验（第七章）参数假设检验（第七章）非参数检验（第七章）非参数检验（第七章）区分总体和相应的随机变量区分总体和相应的随机变量,统称为总体统称为总体X.总体总体(理论分布理论分布)样本样本样本值样本值?数理统计是从手中已有的资料数理统计是从手中已

18、有的资料-样本值样本值,去去样本样本是联系二者的是联系二者的桥梁桥梁.总体分布决定了样本取值的概率规律总体分布决定了样本取值的概率规律,也就也就推断总体的情况推断总体的情况-总体的分布总体的分布F(x)的性质的性质.是样本取到样本值的规律是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值因而可以由样本值去推断总体去推断总体.总体、样本、样本值的相互关系总体、样本、样本值的相互关系:两个最重要的统计量两个最重要的统计量:样本均值样本均值修正样本方差修正样本方差 考察某地区居民的人均收入或考察某地区居民的人均收入或某批轿车的某批轿车的质质量时，每个居民平均收入的全体或每辆轿车量时，每个居民平均收入的全体或每

19、辆轿车质量的全体就构成了总体质量的全体就构成了总体.某地区人均收入某地区人均收入某批轿车质量某批轿车质量备用题备用题备用题备用题例例例例1-11-1 考察一批电子器件的寿命，从中任意抽取考察一批电子器件的寿命，从中任意抽取100件作完全寿命试验，件作完全寿命试验，则称这则称这100只灯泡的寿只灯泡的寿命为来自总体的一个样本，命为来自总体的一个样本，100为其相应的样本为其相应的样本容量；容量；寿命试验完成后，所测得的寿命数据称为寿命试验完成后，所测得的寿命数据称为样本观样本观察值察值.例例例例1-21-2 例例例例2-12-1于于是委托咨询公司进行了一次售后访查是委托咨询公司进行了一次售后访查

20、.(1)该项调查的总体是什么该项调查的总体是什么?(2)该项调查的样本是什么该项调查的样本是什么?解解(1)该项调查的总体是所有使用该产品的消该项调查的总体是所有使用该产品的消(2)该项调查的样本是所有被调查的消该项调查的样本是所有被调查的消费者费者 某生产厂商想了解自己产品的使用情况某生产厂商想了解自己产品的使用情况,费者；费者；例例例例2-2 2-2 调查人员在某地区一高档住宅随机采访了调查人员在某地区一高档住宅随机采访了230位居民的收入情况，宣布该地区的人均年收位居民的收入情况，宣布该地区的人均年收入入为为15万元，试用总体与样本的关系来分析此万元，试用总体与样本的关系来分析此事？事？

21、答答该高档住宅的人均收入是该地区人均收入该高档住宅的人均收入是该地区人均收入的一个特殊群体的特殊样本，它只能反映这的一个特殊群体的特殊样本，它只能反映这个特殊群体的特征，并不能代表该地区的人均个特殊群体的特征，并不能代表该地区的人均收入，即不能反映该地区的人均年收入情况，收入，即不能反映该地区的人均年收入情况，故这种说法是不真实！故这种说法是不真实！例例例例4-14-1 解解 设设 是来自于是来自于U(0，1)的一的一个样本，个样本，求求 的联合概率密度的联合概率密度.解解例例4-2解解Xi与与X 同分布，即同分布，即 由已知条件，总体的概率密度为由已知条件，总体的概率密度为求样本的联合概率密

22、求样本的联合概率密.设总体设总体在在上服从均匀分布，上服从均匀分布，是来自该总体的样本，是来自该总体的样本，例例4-3 则则联合概率密度为：联合概率密度为：解解例例5-1例例5-2解解 由于样本来自二项分布由于样本来自二项分布,所以所以X分布律为分布律为所以所以所以所以,的联合分布律为的联合分布律为的联合分布律为的联合分布律为是是不是不是例例例例7-17-1例例7-2解解解解解解根据统计量的定义，它完全由样本决定，根据统计量的定义，它完全由样本决定，而与未知参数无关，所以而与未知参数无关，所以而而不是统计量不是统计量.例例9-1解解例例9-2来自总体的简单随机样本，试求样本中位数来自总体的简单

23、随机样本，试求样本中位数来自总体的简单随机样本，试求样本中位数来自总体的简单随机样本，试求样本中位数的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布.解解解解由总体由总体由总体由总体 的密度函数可得，的密度函数可得，的密度函数可得，的密度函数可得，X X的分布函数是的分布函数是的分布函数是的分布函数是所以，由定理得样本中位数的分布密度为所以，由定理得样本中位数的分布密度为所以，由定理得样本中位数的分布密度为所以，由定理得样本中位数的分布密度为的分布密度为的分布密度为例例例例9-39-3 是来自于总体的样本，试求次序是来自于总体的样本，试求次序统计量统计量的联合密度函数的联合密度函数.解解设总体设总体由次序统计量的联合密度函数性质知由次序统计量的联合密度函数性质知例例10-1例例10-2解解例例10-3