概率论与统计5-1.ppt

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1、第第 5 章章随机变量的数字特征和极限定理随机变量的数字特征和极限定理一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结5.1 数学期望数学期望三、数学期望的基本性质三、数学期望的基本性质1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望问：问：1、为什么要绝对收敛？、为什么要绝对收敛？2、若不绝对收敛会有什么结果？、若不绝对收敛会有什么结果？定义定义5.1.1一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权权平均平均,与一般的平

2、均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值,也称均值也称均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.(3)随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同.例例1 两点分布两点分布(0-1(0-1分布分布)设随机变量

3、设随机变量 的分布律为的分布律为则有则有例例2 二项分布二项分布 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为则有则有=np例例3 泊松分布泊松分布 则有则有试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?练习练习 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义5.1.2例例4 均匀分布均匀分布则有则有结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.例例5 指数分布指数分布 则有则有结论结论 指数分布的数学指数分布

4、的数学期望是参数的倒数期望是参数的倒数.设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间(以分钟计以分钟计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.练习练习 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?例例6 正态分布正态分布则有则有设随机变量设随机变量 X服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为则由于则由于例例7 柯西分布柯西分布因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在.1.一维随机变量函数的数学期望一维随机

5、变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望定理定理5.1.1X p-1 0 1 2例例8解解解解2.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望定理定理5.1.2则则1三、数学期望的性质三、数学期望的性质说明说明数学期望满足线性性质数学期望满足线性性质.四、小结四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质3.常见离散型随机变量的数学期

6、望常见离散型随机变量的数学期望 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望根据生命表知根据生命表知,某年龄段保险者里某年龄段保险者里,一一 年年中每个人死亡的概率为中每个人死亡的概率为0.002,现有现有10000个这类个这类人参加人寿保险人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司若在死亡时家属可从保险公司领取领取 2000 元赔偿金元赔偿金.问每人一年须交保险费多问每人一年须交保险费多少元少元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题备份题解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.解解例例2 设设求求:到站时刻到站时刻概率概率例例3解解解解例例4 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其设其成绩成绩 X 服从服从 N(75,9)的正态分布的正态分布,试求学生成绩的试求学生成绩的期望值期望值.解解例例5 5