工程力学38-d20c(例题).ppt

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1、工程力学（C）北京理工大学理学院力学系 韩斌(38)(38)（下册）（下册）（下册）（下册）20.7 动力学基本定理的综合应用动力学基本定理的综合应用动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心运动定理）及动量矩定理。运动定理）及动量矩定理。重点：重点：综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统的动力学问题。的动力学问题。难点：难点：针对具体问题，选择适当的求解思路，应针对具体问题，选择适当的求解思路，应用适当的定理，使求解过程尽量简洁。用适当的定理，使求解过程尽量简洁。解题指导：解题指导：1.基本定理中涉及的各基本

2、物理量（动能、动量、基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进行计算。行计算。2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的具体问题，适当选用定理。具体问题，适当选用定理。动能定理动能定理标量方程，仅可求未知量大小标量方程，仅可求未知量大小仅与作功的力有关（作功的有外仅与作功的力有关（作功的有外力也可有内力）力也可有内力）动量定理动量定理质心运动定理质心运动定理矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小和方向和方向只与外力系的主矢有关只与外

3、力系的主矢有关动量矩定理动量矩定理本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象为一标量方程为一标量方程矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态3.选用定理的基本原则选用定理的基本原则（1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），根据相应守

4、恒定律求出未知运动学量（速度、角速度根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速度或位移）。或位移）。（2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理）求约束力的问题，一般不能选用动能定理（理想约束力不作功），可用其他几个定理。（理想约束力不作功），可用其他几个定理。（3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动能定理求速度或角速度。能定理求速度或角速度。（4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度

5、）单自由度系统：速度（角速度）和加速度（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；进一步求约束力可用其他定理。进一步求约束力可用其他定理。（5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选用质心运动定理和对质心的动量矩定理。用质心运动定理和对质心的动量矩定理。（6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定）研究对象的选取：单自由度系统用动能定理时及不需求系

6、统内部相互作用力时，可选整体理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切取适当分离体为研究对象。取适当分离体为研究对象。（7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个运）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速度、动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如利用角加速度），需要列出运动学补充方程（如利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、两点速度关系、两点加速度关系，速度合成关系、加速度合成关系加速度合成关系,角速度合成关系、角加速度

7、合成角速度合成关系、角加速度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。关系）；有时还需补充力的某些条件。（8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。例例 题题 20-720 20 动量原理动量原理 例题例题图示均质细杆图示均质细杆AB质量为质量为m,长为长为L,其其B端与光滑水平端与光滑水平面接触面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无。试求杆无初速度释放的瞬间初速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。水平面对杆的约束力。yxo 对杆进行受力分析：

8、对杆进行受力分析：建立图示直角坐标系建立图示直角坐标系 解解:CBA杆受重力和地面支持力，杆受重力和地面支持力，由于由于 ，且初始，且初始根据质心运动守恒，有根据质心运动守恒，有(1)即质心沿铅垂线运动：即质心沿铅垂线运动：例例 题题 20-720 20 动量原理动量原理 例题例题(4)对时间求导：对时间求导：(1)将初瞬时将初瞬时 ,代入得初瞬时质心代入得初瞬时质心y方向加速度：方向加速度：(2)由质心运动定理：由质心运动定理：yxoCBA(3)对质心对质心C的动量矩定理的动量矩定理例例 题题 20-720 20 动量原理动量原理 例题例题yxoCBA 联立联立(2)(3)(4)解得：解得：

9、(2)(3)(4)（）（）例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题位于铅垂平面的均质杆位于铅垂平面的均质杆AB和和BD,长度均为长度均为L，重量都是，重量都是P，杆，杆AB的的A端固定铰支，端固定铰支，B端与杆端与杆BD铰铰接。杆接。杆BD的的D端与可铅垂滑动的端与可铅垂滑动的滑块滑块D铰接。今用一细绳将铰接。今用一细绳将B点拉点拉住住,使杆使杆AB和和BD位于同一直线上位于同一直线上,该直线与水平面间的夹角为该直线与水平面间的夹角为 ，系统保持平衡，系统保持平衡,各处摩擦和滑各处摩擦和滑块块D的质量与大小略去不计。的质量与大小略去不计。试求（试求（1）剪断绳子瞬时）剪断绳子

10、瞬时,滑槽对于滑块滑槽对于滑块D的约束力的约束力 （2）杆）杆AB运动至水平位置时运动至水平位置时,杆杆AB的角速度的角速度DBADBA例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题1.求剪断绳子后滑槽对滑块求剪断绳子后滑槽对滑块D的约束力的约束力由于初瞬时两杆角速度由于初瞬时两杆角速度 和和均为零，故均为零，故 解：解：设设AB杆有顺时针角加速度杆有顺时针角加速度 ，BD杆杆有逆时针角加速度有逆时针角加速度以以B点为基点分析点为基点分析D点的加速度：点的加速度：绳剪断后，绳剪断后，AB杆定轴转动，杆定轴转动，BD杆作杆作一般平面运动，一般平面运动，在初始瞬时，在初始瞬时，?例例

11、题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题分别在分别在x，y方向投影：方向投影：?DBA对对BD杆的质心杆的质心C有：有：故：故：（方向垂直于（方向垂直于BD）C C例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题DBAC C取取BD杆为研究对象，受力如图，杆为研究对象，受力如图，BD杆杆作一般平面运动。作一般平面运动。DBC列列BD杆的质心运动方程：杆的质心运动方程：对对BD杆列关于质心杆列关于质心C的动量矩方程：的动量矩方程：(1)(2)(3)例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题DBAC CDBC取取AB为研究对象，受力如图，为研究对象，受力如图，

12、AB杆作定轴杆作定轴转动，列对定点转动，列对定点A的动量矩方程，有：的动量矩方程，有：BA(4)考虑到：考虑到：及及例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题DBCBA(4)(1)(2)(3)联联立立求求解解解得：解得：()(方向分别如图方向分别如图)例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题DBA位置位置1：剪断：剪断绳子的瞬间绳子的瞬间位置位置2：AB运动至水运动至水平位置平位置DBA2.求剪断绳子后杆求剪断绳子后杆AB运动至水平位置时运动至水平位置时的角速度的角速度取整个系统为研究对象，利用取整个系统为研究对象，利用动能定理求解。动能定理求解。位置位置1：

13、剪断的瞬间，两杆角速度：剪断的瞬间，两杆角速度均为零，均为零，BD杆质心速度也为零。杆质心速度也为零。位置位置2：当：当AB杆定轴转动至水平位置杆定轴转动至水平位置时，设时，设AB杆角速度为杆角速度为 ，此时，此时BD杆为瞬时平动。杆为瞬时平动。例例 题题 20-820 20 动量原理动量原理 例题例题DBA位置位置1：剪断：剪断绳子的瞬间绳子的瞬间位置位置2：AB运动至水运动至水平位置平位置DBA系统在运动过程中重力所作的功：系统在运动过程中重力所作的功：得得代入代入()例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题两根均质杆两根均质杆AD,BD质量都是质量都是M,长度都为长度都

14、为L，用光滑的用光滑的铰链铰链D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是 。求两杆运动到与水平面成倾角求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链时铰链D的速度和加的速度和加速度，并求水平面的支持力。速度，并求水平面的支持力。DAB解：解：系统由于质量分布和受力系统由于质量分布和受力对称，以及所给的初始条件，对称，以及所给的初始条件，将保留在原铅直平面内运动，将保留在原铅直平面内运动，它的位置用它的位置用 角确定。角确定。例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DAB

15、取整个系统为研究对象，受力如图。取整个系统为研究对象，受力如图。应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心运动定理求地面支持力。运动定理求地面支持力。(1)求铰链求铰链D的速度和加速度的速度和加速度由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系Oxy，yxO例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DABDAByxO在系统的运动过程中，在系统的运动过程中，系统的初速度等于零，系统的初速度等于零，因此系统的质心因此系统的质心C在水平方向的位置守恒，即在水平方向的位置守恒，即C将沿铅垂将沿铅垂线下降

16、。线下降。故故D点也沿铅垂线下降，点也沿铅垂线下降，D点速度为铅垂方向。点速度为铅垂方向。P1P2初始时动能初始时动能 ，系统在任意位置的动能：系统在任意位置的动能：例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DAB而而DAByxOP1P2例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DAByxOP1P2运动中仅有系统的重力作功：运动中仅有系统的重力作功：代入代入 得：得：（）还可由还可由 求得：求得：（）例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DAByxOP1P2（）D点加速度也为铅垂方向，故可由点加速度也为铅垂方向，故可由D点速度求导得到。点速度

17、求导得到。由于由于例例 题题 20-920 20 动量原理动量原理 例题例题DAByxOP1P2(2)求水平面的支持力求水平面的支持力 根据质心运动定理根据质心运动定理 ，得：，得：由对称性得由对称性得又由于又由于即即()例例 题题 20-1020 20 动量原理动量原理 例题例题ABIIIED均质圆盘均质圆盘I，II的半径均为的半径均为R，质量均为，质量均为m，绕有无重的细绳，求系统从静止开，绕有无重的细绳，求系统从静止开始运动时，（始运动时，（1）轮）轮II中心中心B的加速度。的加速度。（2）绳子的张力。）绳子的张力。解：解：系统为系统为2个自由度，所受外力为重个自由度，所受外力为重力和铰

18、支座力和铰支座A处的约束力。处的约束力。（1）求轮）求轮II中心中心B的加速度的加速度设轮设轮I角速度为角速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，轮轮II角速度为角速度为 角加速度为角加速度为 。建立固连于绳上的平动坐标系，则轮建立固连于绳上的平动坐标系，则轮II的相对运动为的相对运动为沿沿DE的纯滚动，轮心的纯滚动，轮心B的速度为：的速度为：例例 题题 20-1020 20 动量原理动量原理 例题例题ABIIIED()以整体为研究对象，系统外力对定点以整体为研究对象，系统外力对定点A之矩为零，故由动量矩守恒：之矩为零，故由动量矩守恒：求导：求导：例例 题题 20-1020 20 动量原理动量原理 例题例题ABIIIED以轮以轮II为研究对象，为研究对象，BEII对定点对定点D列轮列轮II的动量矩定理：的动量矩定理：对轮对轮II：代入得：代入得：()还可得到：还可得到：例例 题题 20-1020 20 动量原理动量原理 例题例题（2）求绳子的张力）求绳子的张力对轮对轮II，列对质心，列对质心B的动量矩定理：的动量矩定理：即：即：（拉力）（拉力）ABIIIEDBEII