工程电磁场第六章电磁场的边值问题.ppt

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1、1第六章第六章 电磁场的边值问题电磁场的边值问题 2一、麦克斯韦方程组一、麦克斯韦方程组31 1、四四个个方方程程的的物物理理意意义义，电电生生磁磁，磁磁生生电电，预预言言电电磁磁波波；积积分分形形式式（环环量量与与旋旋度度，通通量量与与散散度度之之间间的的关关系系）、复复数数形形式式（可可作作为为稳稳态态场场计计算算）；梯梯度度、散散度度、旋旋度度的的概概念念（描描述述“点点”上上电电磁磁场的性质）。场的性质）。2 2、方方程程（1-11-1）、（1-21-2）、（1-51-5）是是一一组组独独立立方方程程，其其它它两两个个方方程程可可以以由由此此推推出出。但但独独立立方方程程有有6 6个个

2、变变量量（），因因此此，方方程程数数少少于于未未知知量量，是是非非定定解解方方式式，必必须须加加本本构构方方程程才才为为定定解解形形式式，对于简单媒质，本构方程为对于简单媒质，本构方程为 (1-6)(1-6)45二、定解问题二、定解问题1 1、初值问题、初值问题 只只有有初初始始条条件件，没没有有边边界界条条件件的的定定解解问问题题。如如电电路路中中的的过过渡渡过过程程问问题题、无无界界空空间间电电磁磁波传播问题等。波传播问题等。2 2、边值问题、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁

3、场等问题。3 3、混合问题、混合问题 既既有有边边界界条条件件，又又有有初初始始条条件件的的定定解解问问题题，又又称称定定解解问问题题。如如电电气气设设备备中中的的瞬瞬态态电电磁磁场问题等。场问题等。4 4、解的稳定性问题、解的稳定性问题 如如果果定定解解条条件件的的微微小小变变化化只只引引起起方方程程的的解解在在整整个个定定义义域域中中的的微微小小变变化化，称称其其解解是是稳稳定定的。反之称为不稳定解。的。反之称为不稳定解。6三、电磁场中的定解问题三、电磁场中的定解问题定解问题定解问题 =泛定方程泛定方程+定解条件（初始条件定解条件（初始条件+边界条件）边界条件）下面先介绍各种场的泛定方程，

4、然后介绍各类边界条件。下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。3.13.1静态、稳态电磁场中的泛定方程静态、稳态电磁场中的泛定方程 73 3、稳态磁场、稳态磁场894 4、交变电磁场中的泛定方程、交变电磁场中的泛定方程 10（1）扩散方程（抛物型方程）扩散方程（抛物型方程）忽略位移电流，MQS场的方程为由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）非线性介质 ，线性介质 涡流损耗是引起导体发热的主要原因。若为正弦交变场，扩散方程为11（2 2）波动方程（双曲型方程）波动方程（双曲型方程）123.23.2定解条件定解条件2 2、边界条件、边界条件13141516 电磁场数值计算电磁场数值计算

5、 当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）的方法。的方法。1.1.电磁问题的划分电磁问题的划分场源问题场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。直接求积分方程。17体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场静电场中元电荷产生的电场，矢量的积分矢量的积分18静磁场中元电流产生的电场静磁场中元电流产生的电场体电流体电流面电流面电流边值问题边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，已知空间介质分布，电

6、极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。定边界条件的电位微分方程的解。19 静电场的边值问题静电场的边值问题（Boundary Problem)边值边值问题问题场域边界条件场域边界条件分界面衔分界面衔 接条件接条件 强制边界条件强制边界条件 有限值有限值自然边界条件自然边界条件 有限值有限值微分微分方程方程边界边界条件条件初始初始条件条件泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程下 页上 页20场域边界条件场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条

7、件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位已知边界上的电位21有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题221.镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具代替边界的影响，将原来具有边界的有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原

8、来的惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位镜像位置置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。23 镜镜像像法法是是解解静

9、静电电场场问问题题的的一一种种间间接接方方法法，它它巧巧妙妙地地应应用用唯唯一一性性定定理，理，使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。使用镜像法时要注意以下三点：使用镜像法时要注意以下三点：（1 1）镜像电荷是虚拟电荷）镜像电荷是虚拟电荷;（2 2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域;（3 3）导电体是等位面。）导电体是等位面。24（1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点

10、电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得25 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z 26fqo（2）点电荷与导体球。）点电荷与导体球。Padrq 若导体球若

11、导体球接地接地，导体球的电位，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点的连线上。那么，球面上任一点电位为电位为 可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 27 为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值 对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形 OPq 与与 OqP 相似，则相似，则 常数

12、。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq282 2 分离变量法分离变量法 分分离离变变量量法法是是把把一一个个多多变变量量的的函函数数表表示示成成几几个个单单变变量量函函数数乘乘积积的的方方法法。它它首首先先要要求求给给定定边边界界与与一一个个适适当当坐坐标标系系的的坐坐标标面面相相合合；其其次次要要求求在在坐坐标标系系中中，待待求求偏偏微微分分方方程程的的解解可可表表示示为为三三个个函函数数的的乘乘积积，且且其其

13、中中的的每每个个函函数数仅仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以应用分离变量法。29直角坐标系中的平行平面场问题直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程 设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y)=X(x)Y(y)，代入方程得 30在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为(称为分离常数)：取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：=0 时，时，时，31位函数U的一般解可记作：32 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的

14、分离如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。变量法。下面通过例子具体说明该方法。下面通过例子具体说明该方法。例例 求如图所示二维长方形内的电位函数。求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为的方程及边界条件为x xa ay yb b33只与只与x x有关有关只与只与y y有关有关在直角坐标系中方程在直角坐标系中方程 可写为可写为（二维问题，与（二维问题，与z z无关）无关）分离变量法的前提即假设分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解：待求函数有分离变量形式的解：上式两

15、端同除以上式两端同除以因此该式成立的条件：因此该式成立的条件：且且 为实数为实数为虚数为虚数为虚数为虚数为实数为实数 为零为零为零为零 为实数为实数为虚数为虚数为零为零或或34同样的讨论适用于函数同样的讨论适用于函数 。为满。为满足足x=0 x=0和和x=ax=a的边界条件，应选取的边界条件，应选取则则因为将边界条件将边界条件将边界条件将边界条件于是于是称为边值问题称为边值问题的的本征值。本征值。它的意义是：在上述边界它的意义是：在上述边界条件下，分离常数条件下，分离常数 只有取这些特只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函定值时，方程才有非零解。其解的函数形式数形式 称为称为本征函数。本

16、征函数。35对于对于因为将边界条件将边界条件于是于是得得由于由于 故故 的一般形式的一般形式 将边界条件将边界条件 这实际上是将一已知函数展为这实际上是将一已知函数展为傅里叶级傅里叶级数。数。利用傅里叶级数的系数公式得利用傅里叶级数的系数公式得原问题的解原问题的解363 有有 限限 差差 分分 法法 图 3.1 差分网格 3.1 差分表示式差分表示式 37二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation)（1）二维静电场边值问题 基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组

17、的问题。（2）有限差分的网格分割38令 h=x-x0，将 x=x1 和 x3 分别代入式(3)（3）由式（4）+（5）（7）同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为下 页上 页返 回（4）（5）（6）39将式(6)、式(7)代入式(1)，得到当场域中即即五点差分格式下 页上 页返 回40上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。41矩形网格剖分若场域离散为矩形网格，差分格式为423.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition)第二类边

18、界条件 第一类边界条件 分界面衔接条件 对称边界条件 其中介质分界面对称分界433.3差分方程的数值解法差分方程的数值解法 1.简单迭代法简单迭代法 图 3.2 节点序号 44 2.塞德尔塞德尔(Seidel)迭代法迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为 此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。453.超松驰迭代法超松驰迭代法 式中称为松弛因子，其值介于 1 和 2 之间。当其值为1时

19、，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。因子的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子0:46边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数 N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 打印 NY程序框图47 例例 设如图 所示的矩形截面的长导体槽，宽为 4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为 10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。48 解解：将待求的区域分为 12 个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：49解以上方程组，得 50 简简 单单 迭迭 代代 法法 12345600.00.00.00.00.00.012.50.02.50.02.50.023.1250.6253.750.6253.1250.625104.14351.53635.06982.02424.14351.5363114.15151.54195.07780.03564.15151.541951超松弛迭代法超松弛迭代法(=1.2)52松弛因子的影响松弛因子的影响 5354555657585960本章结束本章结束61