概率论与数理统计第8章.ppt

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1、SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN1第第8章章 假设检验假设检验8.1 8.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念8.3 8.3 两个正态总体的参数假设检验两个正态总体的参数假设检验8.2 8.2 单个正态总体的参数假设检验单个正态总体的参数假设检验8.4 8.4 总体比率的假设检验总体比率的假设检验8.3 8.3 非参数假设检验非参数假设检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN8.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念一、假设检验的概念一、假设检验的概念二、假设检验的基本原理二、假设检验的基本原理三、假设检验可能犯的两类错误三、假设检

2、验可能犯的两类错误四、四、假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN3若对若对总体总体参数参数有所有所了解了解但有但有怀疑怀疑需要需要证实证实之时之时用假用假设检设检验方验方法来法来处理处理若对总体参若对总体参数一无所知数一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理一、假设检验的概念一、假设检验的概念SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN4 假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设布或参数的假设.所作假设可能是正确的所作假设可能是正确的,也可能是错误的也可能

3、是错误的.为判为判断所作的假设是否正确断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本从总体中抽取样本,根据样根据样本的取值本的取值,按一定原则进行检验按一定原则进行检验,然后作出接受或拒然后作出接受或拒绝所作假设的决定绝所作假设的决定.何为何为假设检验假设检验?例如例如,提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设;SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN5参数假设检验参数假设检验非非参数假设检验参数假设检验参数检验假设参数检验假设是针对总体分布函数中的未知参数而是针对总体分布函数中的未知参数而提出的假设进行检验；提出的假设进行检验；分布函数形式或类型的假设进行检验分布函

4、数形式或类型的假设进行检验.本章主要讨论参数假设检验问题，本章主要讨论参数假设检验问题，非参数检验假设非参数检验假设是针对总体是针对总体下面结合实例来说明参数假设检验的基本思想下面结合实例来说明参数假设检验的基本思想.假设检验的内容假设检验的内容SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN6例例1 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定:次品率次品率p不超过不超过4%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查12件发现件发现3件次品件次品,问该批问该批产品能否出厂？若抽查结果发现产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品件次品,问能否厂？问能否厂？为此提出如下

5、假设为此提出如下假设:例例2 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为68/mm2,而实际而实际生产的强度生产的强度X 服服 .若若 ,则认为则认为这批螺钉符合要求这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求否则认为不符合要求.现从整批螺现从整批螺钉中取容量为钉中取容量为36的样本的样本,其样本均值为其样本均值为68.5,问原假问原假设是否正确设是否正确?为此提出如下假设为此提出如下假设:SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN7在在例例1中中在在例例2中中均称为均称为参数假设参数假设参数假设一般是一对互逆的假设参数假设一般是一对互逆的假设,比较参数的相等比较参数的

6、相等或大小或大小称其中的一个为称其中的一个为原假设原假设,也称也称零假设零假设或或基本假设基本假设称另一个为称另一个为备择假设备择假设,也称也称备选假设备选假设或或对立假设对立假设一般将含有等号的假设称为原假设一般将含有等号的假设称为原假设必须在原假设与必须在原假设与备择假设备择假设 之间作一选择之间作一选择假设检验假设检验的的任务任务SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN10二、假设检验的基本原理二、假设检验的基本原理假设检验的理论依据是假设检验的理论依据是“小概率原理小概率原理”小概率原理小概率原理:如果一个事件发生的概率很小如果一个事件发生的概率很小,那么在一那么

7、在一次实验中次实验中,这个事件几乎不会发生这个事件几乎不会发生.事件事件“掷掷100枚均匀硬币全出现正面枚均匀硬币全出现正面”事件事件“某人随机买一注彩票中一等奖某人随机买一注彩票中一等奖”事件事件“在一副扑克中随机抽取在一副扑克中随机抽取4张全为张全为A”以上几个事件都可称为以上几个事件都可称为“小概率事件小概率事件”如如:SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN11 无论原假设中是否含不等号，在实际检验时，无论原假设中是否含不等号，在实际检验时，均可按原假设仅含等号的检验进行检验均可按原假设仅含等号的检验进行检验.例例1 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定:次品率次

8、品率p不超过不超过4%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查12件发现件发现3件次品件次品,问该批问该批产品能否出厂？若抽查结果发现产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品件次品,问能否厂？问能否厂？解解假设假设 一万件产品中任意抽查一万件产品中任意抽查12件发现件发现3件次品是件次品是小概小概率事件率事件,那么在一次实验中那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发这个事件几乎是不会发生的生的,现在竟然发生了现在竟然发生了,故认为原假设不成立故认为原假设不成立,即即该批产品次品率该批产品次品率 ,则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.SCHOOL OF STATISTICS

9、 JUNBAI REN13 这不是小概率事件这不是小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接受从而接受原假设原假设,即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.若从一万件产品中任意抽查若从一万件产品中任意抽查12件发现件发现1件次品件次品SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN14例例2 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为68/mm2,而实际而实际生产的强度生产的强度X 服服 .若若 ,则认为则认为这批螺钉符合要求这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求否则认为不符合要求.现从整批螺现从整批螺钉中取容量为钉中取容量为36的样本的样本,其样本均值为其样本

10、均值为68.5,问原假设问原假设是否正确是否正确?解解假设假设若原假设正确若原假设正确,则则SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN15因此因此,可以确定一个常数可以确定一个常数c 使得使得反反查正态分布表可得临界值查正态分布表可得临界值称区间称区间(,66.82)与与(69.18,+)为为原假设的原假设的拒绝域，拒绝域，而而区间区间(66.82,69.18)为为原假设原假设的接受域的接受域(实际上没理实际上没理由拒绝由拒绝)。接受原假设，接受原假设，认为这批螺钉符合要求认为这批螺钉符合要求均值均值 置信度为置信度为95%置信区间置信区间SCHOOL OF STATIST

11、ICS JUNBAI REN18假设假设检验方法是检验方法是 概率意义下的反证法概率意义下的反证法.要注意的是小概率事件毕竟不是不可能事件要注意的是小概率事件毕竟不是不可能事件,只只是小概率事件发生的概率很小是小概率事件发生的概率很小,在一次实验中在一次实验中“几几乎乎”不会发生不会发生.因此上述方法就可能出现错误因此上述方法就可能出现错误,即真即真的假设被拒绝了的假设被拒绝了,而错误的假设却可能被接受了而错误的假设却可能被接受了.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN191.第一类错误第一类错误:弃真错误弃真错误此时我们便犯了此时我们便犯了“弃真弃真”错误错误,也称为

12、也称为第一类错误第一类错误三、假设检验可能犯的两类错误三、假设检验可能犯的两类错误SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN20则犯弃真错误的概率为则犯弃真错误的概率为小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率 越大越大,犯第一类错误的概率越大犯第一类错误的概率越大,即越显著即越显著.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN212.第二类错误第二类错误:纳伪错误纳伪错误此时我们便犯了此时我们便犯了“纳伪纳伪”错误错误,也称为也称为第二类错误第二类错误犯纳伪错误的概率为犯纳伪错误的概率为SCHOOL OF STATI

13、STICS JUNBAI REN22 我们希望这两类错误都很小我们希望这两类错误都很小.但可以证明，但可以证明，在样本在样本容量容量n固定时固定时,同时减小同时减小 和和 是办不到的是办不到的.当当 减小减小时必导致时必导致 增大增大,反之亦然反之亦然.要想使要想使 和和 同时减小，同时减小，只有增大样本容量只有增大样本容量n.在实际应用中，在实际应用中，一般原则一般原则是：是：在给定犯第一类错在给定犯第一类错误的概率误的概率 之后之后,使得犯纳伪错误的概率使得犯纳伪错误的概率 尽可能的小尽可能的小.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN23在在例例2 中中()计算犯第

14、二类错误的概率计算犯第二类错误的概率 H0不真不真,即即 68,可能小于可能小于68,也可能大也可能大于于68,的的大小取决于大小取决于 的真值的大小的真值的大小.若若例例2 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉,按标准强度为按标准强度为68/mm2,而实际而实际生产的强度生产的强度X 服服 .若若 ,则认为则认为这批螺钉符合要求这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求否则认为不符合要求.现从整批螺现从整批螺钉中取容量为钉中取容量为36的样本的样本,其样本均值为其样本均值为68.5,问原假设问原假设是否正确是否正确?区间区间(66.82,69.18)为为原假设原假设的接受域的接受域 SCHOOL OF S

15、TATISTICS JUNBAI REN25若若 的大小取决于的大小取决于 的真值的大小的真值的大小.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN27仍取仍取 =0.05,得得因此，原假设的接受域为因此，原假设的接受域为(67.118,68.882)现增大样本容量现增大样本容量,取取n =64,=66,则则SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN28原假设的接受域为原假设的接受域为(67.118,68.882)样本容量为样本容量为36时的时的样本容量为样本容量为36时的时的SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN30SCHOOL O

16、F STATISTICS JUNBAI REN31（一）根据问题的要求提出假设，写明原假设（一）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和和备择假设备择假设H1的具体内容的具体内容.四、四、假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤（三）对给定（或选定）的显著性水平（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计，由统计量的分布查表确定出临界值，进而得到量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域的拒绝域和接受域和接受域.（二）根据二）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量的内容，建立（或选取）检验统计量并确定其分布并确定其分布.（四）由样本观察值计算出统计量的值（四）由样本观察值计算出统计量的值.（

17、五）做出推断：当统计量的值满足（五）做出推断：当统计量的值满足“接受接受H0的条件的条件”时就接受时就接受H0，否则就拒绝，否则就拒绝H0接受接受H1.（六）完整准确地写出检验的结论（六）完整准确地写出检验的结论.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN8.2 单个正态总体的参数假设检验单个正态总体的参数假设检验一、方差已知的正态总体均值的检验一、方差已知的正态总体均值的检验二、方差未知的正态总体均值的检验二、方差未知的正态总体均值的检验三、大样本场合下三、大样本场合下,非正态总体均值的检验非正态总体均值的检验四、单个正态总体方差的检验四、单个正态总体方差的检验SCHOO

18、L OF STATISTICS JUNBAI REN33一、方差已知的正态总体均值的检验一、方差已知的正态总体均值的检验由抽样分布定理由抽样分布定理SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN34SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN35构造小概率事件构造小概率事件H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN36双侧检验双侧检验H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN37例例1 某百货商场的日营业额近似服从正态分布某百货商场的日营业额近似服从正态分布,去年去年的日平均营业额为的日平均营业额为5

19、3.6万元万元,均方差为均方差为6万元万元,今年随机今年随机抽查了抽查了10天的营业额天的营业额,分是分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根据经验认为方根据经验认为方差没有变化差没有变化.问今年的日平均营业额与去年相比是否有问今年的日平均营业额与去年相比是否有显著变化显著变化?解解构造统计量构造统计量原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN38原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为由样本观测值得由样本观测值得统计量观测值统计量观测值查表得临界值查表得临界值即认为今年的日平均营业

20、额与去年有显著变化即认为今年的日平均营业额与去年有显著变化SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN39统计量统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN40构造小概率事件构造小概率事件H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN41单侧单侧(边边)检验检验 右侧右侧(边边)检验检验上述方上述方法称为法称为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN42例例2 某车间生产某种规格的钢丝某车间生产某种规格的钢丝,根据经验根据经验,其折断力其折断力 ,现改革了生产工艺现改革了生产工艺,生产了一批钢丝生产了一批

21、钢丝,从中随机抽取一个从中随机抽取一个n=10的样本的样本,测得测得 千克千克,问新工艺是否值得推广问新工艺是否值得推广?解解构造统计量构造统计量原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN43统计量观测值统计量观测值即可以认为平均折断力有显著提高即可以认为平均折断力有显著提高,故新工艺值得推广故新工艺值得推广查表得临界值查表得临界值原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN44统计量统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN45构造小概率事件构造小概率事件H0拒绝域

22、左侧左侧(边边)检验检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN46作业作业P204 练习8.11.2.P213 练习8.21.2.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN47二、方差未知的正态总体均值的检验二、方差未知的正态总体均值的检验构造统计量构造统计量构造小概率事件构造小概率事件SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN48H0拒绝域H0拒绝域拒绝域若统计量观测值若统计量观测值双侧检验双侧检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN49构造统计量构造统计量若统计量观测值若统计量观测值H0拒绝域单侧检验

23、单侧检验右侧检验右侧检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN50若统计量观测值若统计量观测值构造统计量构造统计量单侧检验单侧检验左侧检验左侧检验H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN51例例3 用传统方法养鸡用传统方法养鸡,经若干天后经若干天后,鸡的平均重量为鸡的平均重量为4斤斤,今改善饲养方法今改善饲养方法,经相同天数后经相同天数后,随机抽测随机抽测10只只,得数据如得数据如下下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤斤,经验经验表明同一批鸡的重量近似服从正态分布表明同一批鸡的重量近似服从正

24、态分布,问改进饲养方法问改进饲养方法后的这批鸡的平均重量是否显著提高了后的这批鸡的平均重量是否显著提高了?解解构造统计量构造统计量原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN52统计量观测值统计量观测值即可以认为这批鸡的重量没有显著提高即可以认为这批鸡的重量没有显著提高由由查表得临界值查表得临界值原假设的拒绝域为原假设的拒绝域为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN53三、大样本场合下三、大样本场合下,非正态总体均值的检验非正态总体均值的检验构造统计量构造统计量构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS

25、 JUNBAI REN54四、单个正态总体方差的检验四、单个正态总体方差的检验由抽样分布定理由抽样分布定理,构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN55若小概率事件若小概率事件发生发生H0拒绝域拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN56则则SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN57例例4 正常生产知某维尼纶厂所产维尼纶的纤度近似服从正常生产知某维尼纶厂所产维尼纶的纤度近似服从正态分布正态分布,标准差为标准差为0.048,某日任意抽取某日任意抽取20根测量其纤根测量其纤度的样本标准差为度的样本标准差为

26、0.067,试判断该日产品的纤度波动是试判断该日产品的纤度波动是否有显著变化否有显著变化?解解则则构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN58由由查表得临界值查表得临界值统计量的观测值统计量的观测值即认为该日产品的纤度波动与以前有显著变化即认为该日产品的纤度波动与以前有显著变化SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN59构造统计量构造统计量H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN60构造统计量构造统计量H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN61应构造统计量应构造统计

27、量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN62作业作业P213 练习8.23.4.5.6.SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN8.3 两个正态总体的参数假设检验两个正态总体的参数假设检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN64 参照单个正态总体的假设检验对两个正参照单个正态总体的假设检验对两个正态总体的参数的假设进行检验态总体的参数的假设进行检验SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN65相互独立相互独立SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN77SCHOOL OF STATI

28、STICS JUNBAI REN78由抽样分布定理由抽样分布定理构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN79SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN80因此因此H0拒绝域为拒绝域为H0拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN81H0拒绝域为拒绝域为方差检验的双侧检验改为方差检验的双侧检验改为构造统计量构造统计量简化的简化的H0拒绝域拒绝域SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN82构造统计量构造统计量因此因此H0拒绝域为拒绝域为应用上述检验应用上述检验SCHOOL OF STATI

29、STICS JUNBAI REN83H0拒绝域为拒绝域为构造统计量构造统计量假设变为假设变为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN84例例3 有两台机床生产同一型号的滚珠有两台机床生产同一型号的滚珠,测得直径近似服测得直径近似服从正态分布从正态分布,从这两台机床加工的产品中分别抽取了从这两台机床加工的产品中分别抽取了9个和个和7个个,测得滚珠直径如下测得滚珠直径如下:(单位单位mm)甲机床甲机床:15,15.2,14.8,15.2,15,14.9,15.1,14.8,15.3乙机床乙机床:15.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7问甲机床生产的

30、产品是否更稳定问甲机床生产的产品是否更稳定(方差更小方差更小)?解解构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN85由由由样本观测值由样本观测值,得得查表得临界值查表得临界值统计量观测值为统计量观测值为即甲机床生产的产品比乙机床更稳定即甲机床生产的产品比乙机床更稳定SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN86例例4 某灯泡厂在使用一项新工艺前后某灯泡厂在使用一项新工艺前后,各取各取10个灯泡进个灯泡进行寿命试验行寿命试验,计算得到相关数据如下计算得到相关数据如下:若灯泡寿命近似服从正态分布若灯泡寿命近似服从正态分布,问采用新工艺后的灯

31、泡问采用新工艺后的灯泡寿命是否显著提高寿命是否显著提高?解解两个总体的方差未知两个总体的方差未知,而本题对总体均值的大小进行而本题对总体均值的大小进行检验必须知道方差是否相等检验必须知道方差是否相等,故先检验方差的相等故先检验方差的相等构造统计量构造统计量SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN87H0拒绝域为拒绝域为查表得临界值查表得临界值统计量观测值为统计量观测值为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN88构造统计量构造统计量H0拒绝域为拒绝域为查表得临界值为查表得临界值为统计量观测值为统计量观测值为SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN89即可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命提高了即可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命提高了SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN90 8.4 总体比率的假设检验 8.5 非参数假设检验(略)(略)SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN91作业作业P222 练习8.32.3.5.