概率论与数理统计 6-2抽样分布1.ppt

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1、16.2 6.2 抽抽 样样 分分 布布统计量的概念统计量的概念 几个常用的统计量几个常用的统计量常用统计量的分布常用统计量的分布2一、统计量的概念一、统计量的概念定义：定义：设设X1,X2,，Xn 为来自总体为来自总体X的一个样本，的一个样本，g说明说明 1.统计量是随机变量统计量是随机变量.是是X1,X2,，Xn的函数，若的函数，若g是连续函数，且是连续函数，且g中不含中不含任何任何未知未知参数，则称参数，则称g(X1,X2,，Xn)是统计量是统计量.统计量是一组独立同分布随机变量的函数统计量是一组独立同分布随机变量的函数2.统计量引入的目的在于对所研究的问题进行统计量引入的目的在于对所研

2、究的问题进行统计推断与分析统计推断与分析.a)对未知参数进行估计对未知参数进行估计;b）在总体分布已知或未知的情况下，对分布）在总体分布已知或未知的情况下，对分布中的参数进行假设检验中的参数进行假设检验.3.设设(x1,x2,xn)是相应于样本（是相应于样本（X1,X2,，Xn）的值，的值，g(x1,x2,xn)是相应于是相应于g(X1,X2,，Xn)的观查值的观查值.抽样分布抽样分布3例例1 1其中其中未知，未知，2已知，已知，问：下列随机变量中那些是问：下列随机变量中那些是若若X1,X2,，Xn是来自总体是来自总体XN(,2)的的一个样本一个样本,统计量？统计量？抽样分布抽样分布4 统计量

3、是样本的函数，它是一个随机变量，统计统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计 随机样本随机样本量的分布称为量的分布称为抽样分布抽样分布.5经验分布函数经验分布函数设设x1,x2,，xn 为总体分布函数为为总体分布函数为F(x)为样本经验分布函数为样本经验分布函数.的一个样本的一个样本,将将x1,x2,xn 按由小到大的顺序排列，并按由小到大的顺序排列，并重新编号重新编号,设为设为x(1)x(2)x(n）,则称函数则称函数 抽样分布抽样分布6说明说明 经验分布函数经验分布函数Fn(x)对于任意一实数，在对于任意一实数，在n 相当相当大时，是以概率大时，是以概率1的形式逼近于总体分布函数的形式逼

4、近于总体分布函数F(x)格列文科定理格列文科定理例例1 P132 例题例题6-9抽样分布抽样分布7二、几种常用的统计量二、几种常用的统计量样本样本均值均值样本样本方差方差证明证明设设X1,X2,，Xn 为总体为总体X的一个样本的一个样本 样本样本标准差标准差样本样本k 阶原点矩阶原点矩样本样本k 阶中心矩阶中心矩抽样分布抽样分布8说明：说明：1.样本均值是一阶原点矩样本均值是一阶原点矩.2.(x1,x2,xn)是样本是样本(X1,X2,Xn)的一个样的一个样本值，则有本值，则有样本均值样本均值观察值观察值样本方差样本方差观察值观察值样本标准差样本标准差观察值观察值样本样本k 阶原点矩、样本阶原

5、点矩、样本k 阶中心矩的阶中心矩的观察值观察值抽样分布抽样分布9定理定理1设设x1,x2,xn总体总体x的一个样本，记的一个样本，记 为样本均值为样本均值(1)若总体若总体XN(,2),则则在在n相当大时，相当大时，(2)若总体分布未知或不是正态分布若总体分布未知或不是正态分布,EX=,D(E)=2，抽样分布抽样分布10定理定理2设设X1,X2,Xn总体总体X的一个样本，记的一个样本，记k=E(Xk)利用辛欣大数定律利用辛欣大数定律(k=1,2,n),则则有有g(x1,x2,xn)是连续函数是连续函数.3.结论结论 设设X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X 的一个样本，的一个样本，请记熟此结

6、论！请记熟此结论！抽样分布抽样分布11证明证明抽样分布抽样分布12说明说明 他们在统计中有不同效应，他们在统计中有不同效应，在数理统计中流行两种形式的样本方差，在数理统计中流行两种形式的样本方差，S12作为总体作为总体X方差的无偏估计量方差的无偏估计量，S22不能作为总体不能作为总体X方差的无偏估计量方差的无偏估计量，但当，但当n 很大时两者相差很小很大时两者相差很小.抽样分布抽样分布13极大极小顺序统计量极大极小顺序统计量 若若x(1)=minx1,x2,xn,x(2)=maxx1,x2,xn为极为极小与极大顺序统计量，则小与极大顺序统计量，则x(1)和和x(2)的概率密度分别为的概率密度分

7、别为抽样分布抽样分布 设设x1,x2,，xn 为总体分布函数为为总体分布函数为F(x),概率密度函概率密度函数为数为f(x)的一个样本的一个样本,称称x(1)=minx1,x2,xn,x(2)=maxx1,x2,xn,为该样本的极小与极大顺序统计为该样本的极小与极大顺序统计量量.定理定理214证明证明 先求先求x(1)和和x(2)的的分布函数分别为分布函数分别为F1(x)和和F2(x).X与与Y相互独立相互独立抽样分布抽样分布15X与与Y相互独立相互独立在分别对在分别对x(1)和和x(2)的的分布函数分布函数F1(x)和和F2(x)求导，得求导，得.抽样分布抽样分布16三、正态总体的抽样分布三

8、、正态总体的抽样分布几种常用的统计量几种常用的统计量若统计量若统计量2=X12+X22+Xn2 的概率密度函数为的概率密度函数为则称统计量则称统计量2服从自由度为服从自由度为n的的2分布。分布。常用统计量的分布常用统计量的分布定义定义 1.1.2-分布分布 设（设（X1,X2,Xn）是来自正态总体）是来自正态总体N(0,1)的样本，的样本，172-分布的性质分布的性质常用统计量的分布常用统计量的分布1)若若X 2(m),Y 2(n),且且X，Y相互独立，则有相互独立，则有X+Y 2(m+n),2)2-分布的概率密度函数图形见书分布的概率密度函数图形见书P137，其随，其随n值值的不同图形而不同

9、，的不同图形而不同，n越大，图形越平缓；图形不对称越大，图形越平缓；图形不对称.3)若若2 2(n),则则 E(2)=n,D(2)=2n.18常用统计量的分布常用统计量的分布4)2分布的分位点分布的分位点定义定义对于给定的对于给定的（01),),称满足条件称满足条件的点的点2(n)为为2 (n)分布的分布的上上分位点分位点.19例例2 解解 例例3 常用统计量的分布常用统计量的分布设（设（X1,X2,Xn）是来自正态总体）是来自正态总体N(，2)的样的样本，则本，则且相互独立且相互独立20定义定义 常用统计量的分布常用统计量的分布2.t-分布分布 X1 N(0,1),X2 2(n),且且X1,

10、X2相互独立相互独立,则称则称随机变量随机变量的分布是自由度为的分布是自由度为n的的t分布分布。对于给定的对于给定的（01时，时，t分布的期望存在且为分布的期望存在且为0.当自由当自由度度n较大较大(30)时，时，t分布与标准正态分布逼近。分布与标准正态分布逼近。4）t分布又称学生氏分布分布又称学生氏分布,是哥赛特于是哥赛特于1908年以年以Student的笔名发表的结果的笔名发表的结果.开创了小样本的统计推断开创了小样本的统计推断.3)t分布的概率密度函数图像关于分布的概率密度函数图像关于y轴对称，比标轴对称，比标准正态分布的图形平缓。准正态分布的图形平缓。22常用统计量的分布常用统计量的分

11、布对于给定的对于给定的（01),),称满足条件称满足条件的点的点t(n)为为t分布的分布的上上分位点分位点.定义定义 由由t分布的概率密度的对称性知分布的概率密度的对称性知23例例4 例例5常用统计量的分布常用统计量的分布24定义定义常用统计量的分布常用统计量的分布3.F 分布分布定理定理3若若X1 2(n1),X2 2(n2),X1,X2相互独立相互独立,则称则称随机变量随机变量的分布是自由度为的分布是自由度为 n1,n2的的F分布分布.记为记为 FF(n1,n2).若若 FF(n1,n2)，则，则1/FF(n2,n1)25常用统计量的分布常用统计量的分布对于给定的对于给定的（01),),称

12、满足条件称满足条件定义定义 的点的点F(n1,n2)为为F分布的分布的上上分位点分位点.26常用统计量的分布常用统计量的分布结论结论 F1-(n1,n2)=1/F(n2,n1)27例例6 例例7 常用统计量的分布常用统计量的分布28例例8 解解常用统计量的分布常用统计量的分布29定理定理4常用统计量的分布常用统计量的分布四.正态总体的样本均值与样本方差的分布：正态总体的样本均值与样本方差的分布：30定理定理5常用统计量的分布常用统计量的分布且它们独立。且它们独立。则由则由t-分布的定义：分布的定义：提示提示31定理定理6 6常用统计量的分布常用统计量的分布分别是两个样本的均值与方差，则有：分别是两个样本的均值与方差，则有：32（1）即即常用统计量的分布常用统计量的分布33定理定理7常用统计量的分布常用统计量的分布