概率论与数理统计第三章1.ppt

《概率论与数理统计第三章1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第三章1.ppt（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n边缘分布与独立性边缘分布与独立性n两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布例如例如 E E：抽样调查抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y Y各自的

2、性各自的性质，质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为记为(X,Y),称为称为二维二维随机变（向）量随机变（向）量。设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量，则称向量量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。n定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若（X

3、X，Y Y）是是是是随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.n n定义定义定义定义称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数n n性质性质性质性质(3)(x,y)x1x2y1y2 P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y Y y y2 2）=F(x=F(x2 2,y,y2 2)-F(x)-F(x2 2,y,y1 1)-F(x)-F(x1 1,y,y2 2)+F(x)+F(x1 1,y,y1 1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y y y2 2）F(xF(x

4、2 2,y,y2 2)-F(x-F(x2 2,y,y1 1)-F(x-F(x1 1,y,y2 2)+F(x+F(x1 1,y,y1 1)二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 （X X X X，Y Y Y Y）的所有可能取值的所有可能取值只有限对或可列对，则称只有限对或可列对，则称（X X X X，Y Y Y Y）为为二维离散型随二维离散型随机变量。机变量。如何反映（如何反映（X X，Y Y）的取值规律呢？的取值规律呢？n n定义定义定义定义n研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。（X X，Y Y）的联合概率分布（分布律）

5、的联合概率分布（分布律）n n表达式形式表达式形式表达式形式表达式形式。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。n n表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）表格形式（常见形式）性质性质 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次依次标标有数字有数字1，2，2，从中任从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设设每次取球每次取球时时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分以、分别记别记第一次和第二次取到的球第一次和第二次取到的球上上标标有的数字，有的数字，求求的的联联合分布列合分布列.的可能取的可能取值为值为(1，2)

6、，(2，1)，(2，2).，(1/3)(1/3)(2/2)(2/2)1/31/3，(2/3)(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，=(2/3)=(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例解解 见书见书P69，习题习题1的可能取的可能取值为值为例例解解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（，（2，0）（X，Y）的的联合分布律为联合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200 若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对任意使对任意实数实数x x，y y，二元随机变量二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布

7、函数 可表示成如下形式可表示成如下形式 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随机变量称为二元随机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 n n定义定义定义定义联合概率密度函数联合概率密度函数的性质的性质n非负性非负性n n几何解释几何解释几何解释几何解释n.n.随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设二二维维随机随机变变量量的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(2)求求的分布函数；的分布函数；.(4)

8、求求例例(1)所以所以 解解 (2)当当 时，时，当当 时，时，所以，所以，(3)4 1或解或解 (4)224例例 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为的分布密度为 求概率求概率 解解 1续解续解 .x+y=3 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为的分布密度为 求概率求概率 2241解答解答 二维均匀分布二维均匀分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域服

9、从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求（区域。求（1）分布函数；（）分布函数；（2）解解 （X,Y）的密度函数为的密度函数为 y=2x+1-1/2 （1）当）当 时，时，分布函数为分布函数为 y=2x+1-1/2 （2）当）当 时，时，y=2x+1-1/2 （3）当）当 时，时，所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 0.5y=2x+1-1/2 二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为 其中其中均为参数均为参数 则称则称 服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布