概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第一章.ppt

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1、概率论与数理统计概率论的起源概率论的起源之一是博奕问题。1516世纪意大利数学家帕乔利(Pacioli)、塔尔塔利亚(Tartaglia)和卡尔达诺的著述中曾讨论过“如果两人赌博提如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷（AGCde Mere）向帕斯卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。荷兰数学家惠更斯（CHuygens，16291695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究，对这类问题产生兴趣并著论赌博中的计算 (1657）探讨概率问题

2、的原理。这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论作为一门科学的诞生。内容与学时内容与学时第一章第一章 第五章第五章第六章第六章 第九章第九章参考学习书目：参考学习书目：概率论与数理统计概率论与数理统计，同济大学，同济大学概率论与数理统计学习辅导与习题解答概率论与数理统计学习辅导与习题解答概率论概率论数理统计数理统计如何学习概率统计如何学习概率统计?1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣2.学数学最好的方式是做数学读、听、作 在科学上没有平坦的大道,只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人,才有希望到达光辉的顶点.马

3、克思马克思3.学习要求:预习听课(记笔记)复习、巩固自然界和社会中有两类现象：自然界和社会中有两类现象：确定性现象确定性现象：在一定条件下必然发生的现象：在一定条件下必然发生的现象例例 抛一石子必然落下；抛一石子必然落下；（结果可以事先预言的）（结果可以事先预言的）随机现象：随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性在个别试验中其结果呈现出不确定性在大量的重复观察中又具有某种在大量的重复观察中又具有某种统计统计规律性规律性的现象。的现象。（结果不可事先预言结果不可事先预言）例例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；绪绪 言言 同性电荷互斥同性电荷互斥 第

4、一章 第1节随机事件及其运算一、随机试验一、随机试验二、样本空间与随机事件二、样本空间与随机事件三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算（重点）（重点）一、随机试验一、随机试验对随机现象进行观察的试验对随机现象进行观察的试验1、可以在相同的条件下重复进行；、可以在相同的条件下重复进行；2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能 预先知道全部可能结果；预先知道全部可能结果；3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。E1:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：例：E2:将一枚硬

5、币连抛三次，观察出现正反面的情况。将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E4:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命。E3:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E(experimentation)，具有以下特点：，具有以下特点：二、样本空间与随机事件二、样本空间与随机事件定义定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间样本空间,记为S,样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点样本点,记为记为e。例如上页引例中：=H,T=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT有限个样本点可列无穷个=0,

6、1,2,3=t|t0连续、不可列.样本空间样本空间S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 例：例：将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况,2)观察正面出现的次数,.随机事件随机事件定义定义2 样本空间中的子集称为随机事件随机事件，简称事件事件，一般记为 A,B,C等。A 点数之和为7,例：例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，注意：注意：样本空间的元素是由 试验目的试验目的所决定的。=HHH,HHTS1=0,1,2,3S2 2 S=11,12,13,61,66 A=16,25,34,43,52,61特殊随机事件：特殊随机事件：3.基本事件：基本事件：一个样本点组成的单点集一个样本点

7、组成的单点集(试验试验E的每个的每个可能结果）可能结果）例：例：有两个基本事件有两个基本事件 H 和和 T 1.必然事件：必然事件：每次试验中必然发生的事件每次试验中必然发生的事件,记为记为S。2.不可能事件：不可能事件：每次试验一定不发生的事件每次试验一定不发生的事件,记记事件事件A发生发生A中的某一个样本点在试验中出现中的某一个样本点在试验中出现 包含、相等关系包含、相等关系A发生必然导致B发生1.1.事件的关系事件的关系三、事件间的关系及其运算三、事件间的关系及其运算（重点）（重点）事件B包含事件AA与B相等，记为 A=B。事件的和A和B的和事件表示A与B中至少有一个发生，即：A与B中至

8、少有一个发生时，发生。事件的积表示事件A和B同时发生，即：且A与B的积事件当且仅当A与B同时发生时，通常简记为AB。发生。事件的差A-B 表示事件A发生但事件B不发生但互斥事件(互不相容)，则称A,B为互不相容事件即：A、B不能同时发生。对立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A与B的差事件且，则称事件A与B互为逆事件或互为对立事件。A的对立事件记为,=S-A。2.事件的运算法则事件的运算法则交换律交换律；结合律结合律分配律分配律德德摩根律：摩根律：；推广：推广：;，则，设注：事件的一些关系式注：事件的一些关系式 例例1.设A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件(1)A 发生,B 与C 不发生

9、(2)A 与B 发生,C 不发生(3)A,B 与C 都发生(4)A,B 与C 至少有一个发生(5)A,B 与C 全不发生(6)A,B 与C 至少有两个发生例例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 为(A)甲滞销，乙畅销 (B)甲乙两种产品均畅销(C)甲种产品畅销 (D)甲滞销或乙畅销 解解 设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”则，故选(D)例例3 关系()成立，则事件A与B为对立事件。(a)(b)(c)(d)与为对立事件(c)显然成立，(d)也成立。解释解释(d)：例例4.在掷子的试验中,样本空间事件A 出现偶数点,事件B 出现奇数点 事件C 出现点数大于4,事件D 点数大于5

10、求:解解:A=2,4,6 ,B=1,3,5 ,C=5,6 D=6A与B为对立事件二、概率的统计定义二、概率的统计定义 一一、频率、频率 第第2节节 频率与概频率与概 率率三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义 重点掌握利用关系式计算概率重点掌握利用关系式计算概率一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现出一定的数量规律，频率这一概念近似反映了这个数量规律。1.定义定义 1 设 E,S,A为E中某一事件，在相同条件下进行n次独立重复试验，事件A发生的次数记为称为A的频率频率。(frequency)2.性质：性质：01一、频率一、频率则比值若两两互不相容结论：结论

11、：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005这种现象称为这种现象称为频率稳定性频率稳定性，也就是通常所说的统计规律，也就是通常所说的统计规律性，性，频率稳定值频率稳定值注：注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动 范围越小。范围越小。即即概率的统计定义概率的统计定义。二、概率（概率的公理化定义）

12、二、概率（概率的公理化定义）1.定义定义 设设 E,S,对于对于E的每一事件的每一事件A，赋予一个实数，赋予一个实数，记为记为P(A),称为事件称为事件A的的概率概率,如果如果P()满足以下三个公理：满足以下三个公理：非负性非负性：规范性规范性：可列可加性可列可加性：2.性质：性质：故由可列可加性又因为0，有限可加性其中两两互不相容。，则证明证明 取所以如果则证明证明 且 A 和 BA互不相容得式成立；，01证明证明推广：推广：(加法公式)BA提示：可用归纳法证明例例1.已知证明:例例2、解：例例3 某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨

13、的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：解：设A第一天下雨，B第二天下雨则(5)至少有一天不下雨(1)(2)(3)(4)(5)例例4 (订报问题)在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列事件的概率：(1)只订购A的(2)只订购A，B的(3)只订购一种报纸的(4)只订购两种报纸的(5)至少订购一种报纸的(6)不订购任何报纸的解解 设A，B

14、，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”(1)(2)(3)两两互不相容的(4)两两互不相容(5)(6)例例5 已知求 A,B,C 中至少有一个发生解解的概率。例例6 证明证证例例7，求解解 第一章 第3节等可能概型（古典概型）一、等可能概型的定义一、等可能概型的定义二、计算公式二、计算公式三、计算方法三、计算方法1.定义定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。例例：E1抛硬币,观察哪面朝上2.计算公式：计算公式：等可能概型也称为古典概型。E2投一颗骰子，观察出现的点数=H,T S1 1=1,2,3,4,

15、5,6S2 2 若事件A包含k个基本事件，即其中(表示中的k个不同的数)则有例例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求解解 法一：出现点数之和的可能数值11 12 21 不是等可能的法二：36个 要注意对于用的时候要两个条件都满足。例例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。解解 令A点数之和为奇数法一，36个18个法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A=(奇,偶)，(偶,奇)说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。3.方法：方法：构造A和S的样本点(当样本空间S的元素较少时，先一一列出S和A中的元素，直接利用求

16、解)用排列组合方法求A和S的样本点个数预备知识预备知识.加法原理：加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有种，(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：种方法。.乘法原理：乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有，则完成该项工作一共有：种方法。种方法（i=1,2,m).排列：排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r个元素的排列。(n，r均为整数)进行排列，共有(无放回选取)从n个不同元素中无放回的取出m个(mn)种方法。(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有.组合组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序

17、，组合数为或,例：例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次 无放回，考虑顺序12,13,21,23,31,32 无放回，不考虑顺序 12,13,23 有放回，考虑顺序11,12,13,21,22,23,31,32,33例例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解解 a.(1)(2)(乘法原理)S：66=36求下列事件的概率：(3)表示“两只都是红球”，若直接考虑：(1)(2)(3)b.无放回(考虑先后顺序)思考：如果不考虑顺序呢？思考

18、：如果不考虑顺序呢？例4.某教研室共有11 名教师,其中男教师7 人,现在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解解(方法一)设 A=“3 名优秀教师中至少有一名女教师”=“3 名优秀教师中恰有 名女教师”则方法二 设 A=“3 名优秀教师全是男教师”注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。例例6(分房问题)将r个球随机地放入n(nr)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，解解求：每个盒子至多有一个球的概率。将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件例例5 袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第k个人摸出的是黑球

19、的概率。解解 将k个人取球的每一种取法看成一个样本点例例7(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解解 (1)设 A=“n个人的生日各不相同”(2)设 B=“n个人中至少有两个人生日相同”当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即 B几乎 总是会出现。第第4 4节节 条件概率条件概率一一 条件概率条件概率二二 乘法公式乘法公式三三 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 第一章 引例引例:取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽

20、中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解：解：A 抽中的是红桃,B 抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗上述式子具有普遍性吗?一一 条件概率条件概率1、定义：、定义：设 A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。3.设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:2.性质：条件概率满足概率的性质：条件概率满足概率的6条性质。条性质。(1)在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）(2)定义法例例1、设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的概率。解解 则由已知得如引例2、

21、条件概率的求法条件概率的求法例例2 盒子里有盒子里有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，一只二等品，只一等品，一只二等品，试验试验 E：依次取两只，做无放回抽样依次取两只，做无放回抽样.事件事件 A:第一次取第一次取得一等品；得一等品；事件事件 B:第二次取得一等品，求第二次取得一等品，求解解由由条件概率条件概率的公式的公式定理定理 设，则有推广推广 其中，则有或二、乘法公式二、乘法公式推广到n个事件，如果则有设袋中装有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取的同色的球，第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。若在袋中连续取球四次，求：“第 次取到

22、红球”解解:设例例3.i=1，2，3，4注：注：a=0时时,就是有放回抽样；就是有放回抽样；a=-1时时,就是无放回抽样。就是无放回抽样。设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？解解 设“第 名学生抓到电影票”i=1,2,30例例4、同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票思考：如果是两张电影票呢？思考：如果是两张电影票呢？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已号，求他拨号不超过三

23、次而接通所需电话的概率，若已知知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解解 设设表示第表示第i次次拨通所需电话；拨通所需电话；表示不超过三次而接通所需电话；表示不超过三次而接通所需电话；表示最后一个数为奇数时，不超过三次接通所需电话表示最后一个数为奇数时，不超过三次接通所需电话.三、全概率公式与贝叶斯（三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式）公式定义定义(1)(2)则称注注:对每次试验，例如例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为，而不是划分。1、全概率公式、全概率公式定理定理 设随机试验E的样本空间为A为E的事件，则有全概率公式证证:两两互

24、不相容321如图所示如图所示。解解有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3,箱内所放东西箱内所放东西球，求取得红球的概率球，求取得红球的概率.则则某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一例例6 6、=例例7、假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？解解 设 A 从乙中取到白球，B 从甲中取到白球 袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，=去构造这一组去构造这一组 Bi 往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于全概率公式的理论和实用意义在于:在较复杂情况下计在较复杂情

25、况下计算算P(A)不易不易,但但 A 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现，出现，所以适当地所以适当地运用全概率公式计算P(A)2、贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理设随机试验E的样本空间为S,A为E的任意一个事件,为S的一个划分,且则，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例8.设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设 A 表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式所以该产品是甲车间生产的可能

26、性最大。用全概率公式求得例例9、A某种临床试验呈阳性B被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95，已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？解解由题，已知注：注：样本空间划分的寻找样本空间划分的寻找1、直接找题目中概率相加等于、直接找题目中概率相加等于1的事件的事件;2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。、从问题分析，看影响问题的是什么事件。已知已知“结果结果”求求“原因原因”全概率公式全概率公式寻找导致寻找导致 A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯

27、公式是在观察到事件贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，已发生的条件下，注：注：全概率公式是在已知导致事件全概率公式是在已知导致事件A 的每个原因发的每个原因发生的概率的条件下，求事件生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。发生的概率。已知已知“原因原因”求求“结结果果”贝叶斯公式贝叶斯公式例例10 在电报系统中，不断发出在电报系统中，不断发出“0”和和“1”，发，发“0”和和“1”的概率为的概率为0.6和和0.4，发，发“0”分别以分别以0.7,0.1和和 0.2接受为接受为“0”“1”和模糊信息和模糊信息“X”，发，发“1”分别以分别以 0.85,0.05和和 0.1接收接收“1”

28、,“0”和模糊信息和模糊信息“X”，试求：，试求：收到信息为模糊信息的概率。收到信息为模糊信息的概率。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。分析分析发信息发信息 收信息收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.85“0”0.05“X”0.10.4解解设设Ai 表示表示“发出的信息为发出的信息为“i”，i=0,1Bi 表示表示“收到的信息为收到的信息为“i”，i=0,1,X，所以应为，所以应为“0”信息好。信息好。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解例例1111设设 A 表示表示“顾客买下所察看的一箱顾客买

29、下所察看的一箱”第第5节节 事件的相互独立性事件的相互独立性引例：引例：E 掷两枚硬币，观察正反面的情况掷两枚硬币，观察正反面的情况A 甲币出现甲币出现H，B 乙币出现乙币出现H=HH，HT，TH，TTS由此看出由此看出一一、两个事件相互独立、两个事件相互独立 定义定义1设设A、B是两个事件，如果有如下等式成立是两个事件，如果有如下等式成立则称则称事件事件A、B相互独立相互独立。定理定理 设设 A、B是两个事件是两个事件 若若，则，则A、B 相互独立的相互独立的充分必要条件充分必要条件为为 若若A、B 相互独立相互独立,证证相互独立相互独立,则有则有反之，由乘法公式反之，由乘法公式 若若，则，

30、则A、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为证：证：其余同理可证。其余同理可证。若若A、B 相互独立相互独立,思考思考:如图所示的事件独立吗如图所示的事件独立吗?则则A 与与B 不相互独立不相互独立.则则A,B不互斥不互斥.故故 A,B不独立不独立而而即即若若A,B互斥互斥,且且反之反之,若若A 与与B 相互独立相互独立,且且互斥互斥(互不相容互不相容)独立独立例例1、甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率分别为中率分别为0.6，0.5，求飞机被命中的概率。，求飞机被命中的概率。解：解：A 甲击中飞机，甲击中飞机，B 乙击中飞机，乙击

31、中飞机，C 飞机被击中飞机被击中=0.8注：判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，注：判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，或者题目会告知是否独立（如或者题目会告知是否独立（如24页例页例6）。）。利用德利用德摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。或或例例2.设设 ,且且试证试证证证:二、二、多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性若下面四个等式同时成立若下面四个等式同时成立定义定义2则称则称A,B,C相互独立相互独立，如果只有前三个等式成立，则称如果只有前三个

32、等式成立，则称A,B,C两两独立两两独立。注：注：A,B,C相互独立相互独立两两独立两两独立例：例：现有四张卡片，第一张只写有现有四张卡片，第一张只写有1，第二张只写有，第二张只写有2，第三张只写有第三张只写有3，第四张写有，第四张写有1,2,3三个数字，现从中任取三个数字，现从中任取一张卡片，卡片上出现什么数字？一张卡片，卡片上出现什么数字？设设 A 出现数字出现数字1，B出现数字出现数字2，C 出现数字出现数字3显然，显然，P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)但是，但是，P(ABC)P(A)P(B)P(C)推广：推广：同时成立，同时成立，

33、性质：性质：(1)其中任意其中任意k个事件也相互独立个事件也相互独立;若若n个事件相互独立个事件相互独立(2)其中任意其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的个事件的逆事件与其余的事件组成的n个个 事件仍然相互独立。事件仍然相互独立。例例3、设某型号高炮命中率为设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射，现若干门炮同时发射（每炮一发）（每炮一发）,欲以欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机，以上的把握击中来犯的一架敌机，至少需要配备几门炮？至少需要配备几门炮？解：解：设设n为所需炮数，为所需炮数，所以至少需要配备所以至少需要配备6门高炮。门高炮。例例4.某电路如图所示某电路如图所示,已知

34、已知正常工作的概率为正常工作的概率为假定假定能否正常工作是相互独立的能否正常工作是相互独立的,试求试求:1)整个电路正常工作的概率整个电路正常工作的概率解解:设设表示表示 正常工作正常工作,2)若整个电路正常工作若整个电路正常工作,求求 正常工作的概率正常工作的概率D=“电路正常工作电路正常工作”则相互独立则相互独立备备.为为0.01，求这批产品是合格品的概率。，求这批产品是合格品的概率。一批产品共一批产品共100件件,其中有其中有4件次品件次品.每次抽取每次抽取一件检验一件检验,有放回有放回,连续抽取检验连续抽取检验3 次次.如发现次品如发现次品,则认为这批产品不合格则认为这批产品不合格,但检验时但检验时,一正品被误判为一正品被误判为次品的概率为次品的概率为0.05，而一次品被误判为正品的概率，而一次品被误判为正品的概率解解:设设A=“任取一件被认为是正品任取一件被认为是正品”B=“任取一件是次品任取一件是次品”C=“这批产品是合格品这批产品是合格品”由题意由题意