本科概率论与数理统计课件第三章新.ppt

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1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第三章第三章多维随机变量及其分布 一、二维随机变量一、二维随机变量 二、边缘分布二、边缘分布 三、相互独立的随机变量三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布四、两个随机变量的函数的分布CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定义定义1 1 设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。定义定义2 设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函数。第一节第一节 二维随机变量二

2、维随机变量CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二维分布函数的几何意义二维分布函数的几何意义处的函数值:在随机点落在以为顶点的左下方矩形开域上的概率。所以CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY性质：性质：是变量 和的不减函数，即对任意固定的，当时，对任意固定的，当时，关于右连续，即CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1.设的分布函数为求常数的值及概率解 由分布函数的性质得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定义

3、：定义：若二维随机变量的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量的分布律。称为二维随机变量性质：性质：二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布函数为的分布函数为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1、将骰子抛两次，X第一次出现的点数，Y第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。解：解：YX1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例2.2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任

4、取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。解解可能取值均为1,2,3.CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY同理可得所以的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定义：定义：设二维随机变量的分布函数为若存在使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。二、二维连续型随机变量二、二维连续型随机变量f(x,y)的性质的性质

5、:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若在点连续，则有,即连续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。注：注：的区域,CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 设二维随机变量的概率密度试求：常数的值；分布函数 概率 概率解解 由概率密度的性质得从而得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 由分布函数的性质CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 将看

6、作平面上随机点的坐标，有CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4 设二维随机变量的概率密度为试求概率解解 积分区域如右图所示CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY的分布函数为例例5 已知试求：的概率密度解 由概率密度的性质知CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY的概率密度为例例6 已知 求常数A的值；求的分布函数解解 由性质可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY所以所以 由于由于 当当或或时，时，当当时，时，（如

7、下图（如下图3-5(1)）当当时，时，（如下图（如下图3-5(2)）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 当当时，时，（如下图（如下图3-5(3)）当当时，时，（如下图（如下图3-5(4)）故故CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY边缘分布 第三章 二、边缘分布律二、边缘分布律一一、边缘分布函数、边缘分布函数 三、边缘概率密度三、边缘概率密度第二节第二节CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、一、边缘分布函数边缘分布函数 的分布函数为分别的分布函数为设记和的边

8、缘分布函数。，称为关于和则同理可得研究问题：研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1:1:已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解:的边缘分布函数为关于同理，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、二、离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 设的分布律为则关于的边缘分布律为记做记做同理CHINA UNIVERSITY OF MINING

9、 AND TECHNOLOGY通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律的分布律和边缘分布律CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度若是二维连续型随机变量,其概率密度为则:同理关于X 和Y 的边缘概率密度。分别是CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解:例例2.上服从均匀分布,密度 和的概率密度为xy01y=x当当CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY当当CHINA UNIVERSITY

10、 OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 已知已知解解当当合并即可CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4 已知已知解解当当合并即可CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY由对称性得注：注：联合分布边缘分布书70页：例5，6，7说明：说明：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布；边缘分布与无关，说明了由边缘分布不能确定联合分布。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY相互独立的随机变量 第三章 二、二、n个随机变量的独立性个随机变量的独立性 一、两个

11、随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性 第四节第四节CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY均有一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义定义1 1 若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量是相互独立的。即1)对于离散型的随机变量，X与Y独立的充要条件为：2)对于连续型的随机变量，X与Y独立的充要条件为：几乎处处成立。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1 1 设随机变量相互独立，试确定 a,b,c 的值？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY

12、解：解：因为相互独立CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 2 设随机变量的概率密度为试问与是否相互独立?解解 因为关于的边缘概率密度故与是相互独立的。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上7:007:30,且时间相互独立,求：两人在5分钟之内能见面的概率。解解 设张三到达的时间为X；李四到达的时间为Y，所以，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 所求概率为注：注：关于正态分布的重要

13、结论。（79页）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、二、n个随机变量的独立性个随机变量的独立性(参79-80页)定理定理 设随机变量相互独立，h,g 是连续函数，则随机变量也相互独立。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY课堂练习：课堂练习：设随机变量(X,Y)的概率密度为讨论X和Y是否相互独立。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二维随机变量的函数的分布 第三章 一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布 第五节第五节二、连续型随机变量函数

14、的分布二、连续型随机变量函数的分布 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、二维离散型随机变量的函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量的分布律为设为二元函数，求的分布律。当时，Z 相应的值为且有若Z的取值各不相同，则上式就是Z的分布律；若有些相同的，则把相应的概率求和即可。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1 假设随机变量(X,Y)的分布律为分别求的分布律，并判断是否独立？解解且CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY=0.19.Z

15、p0 1 2 30.07 0.37 0.37 0.19所以，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY同理可得下表化简整理，得各函数的分布律为：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY因为而不相互独立。故CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从参数为的泊松

16、分布。求的分布律。解解 由题意可知CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY故CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY故泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、二维连续型随机变量的函数的分布二、二维连续型随机变量的函数的分布.Z=X+Y 的分布的分布已知(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y的分布函数为解：解：(用分布函数法)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOL

17、OGY而令 x=u-y,则CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY特别地,当X 与Y 相互独立时,有上式称为的卷积公式,记为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3 假设 X 和Y 相互独立,且都服从标准正态分布，解解由题意可知X 与Y 的概率密度分别为由卷积公式可得 Z 的概率密度为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY结论：结论：正态分布的可加性（82页）例3 若随机变量相互独立，并且,则CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECH

18、NOLOGY例例4 4 设随机变量(X,Y)的概率密度为解：解：的概率密度为求PX+Y1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY当时，当时，所以CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例5 5 设随机变量X,Y 相互独立，X 服从区间(0,1)上的上的均匀分布，Y 服从的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERS

19、ITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY综上所述随机变量综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为的密度函数为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY总结：用公式求和函数总结：用公式求和函数X+Y的一般过程的一般过程1、根据X，Y是否独立，确定是否用卷积公式。并且决定用dx或是dy型的积分。以 为例3、画出x，z的平面图，确定积分区域不为零的范围。5、整理成完整的表达式。2、写出被积函数f(x,z-x)，确定x,z平面不为零的区域CHINA UNIVERS

20、ITY OF MINING AND TECHNOLOGY练习练习解法解法利用概率密度公式CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例5 5 设随机变量X,Y 相互独立，X 服从区间(0,1)上的上的均匀分布，Y 服从的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。（方法二）用分布函数法(先求出分布函数，再求导)由独立性可知CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数当当时，时，当当时，时，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY当

21、当时，时，再对随机变量再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数求导可得的分布函数求导可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例7 设随机变量(X,Y)的概率密度为试求随机变量的概率密度。解解 结合概率密度的非零区域可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY时时时CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY所以故 Z=X-Y 的概率密度为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布的分

22、布(随机变量相互独立）X和Y的分布函数为解解的分布函数为的分布函数为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY所以CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY推广推广 当独立同分布时，随机变量的分布函数为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例8 设随机变量X 的概率密度为随机变量相互独立且与X 有相同的分布,试求随机变量的概率密度和解解 X 的分布函数为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY的分布函数为所以M 的概率密度为所以

23、，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例9 9 设系统L 由两个相互独立的子系统 备用（当系统1损坏时，系统2开始工作）。设试求系统 L 的寿命Z 的概率密度。连结而成，连接的方式分别为 串联；并联；的寿命分别为X,Y,并且CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解 由题意可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY则 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(3)Z=X+YCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例10 设随机变量设随机变量X,Y 相互独立，且都服从标准相互独立，且都服从标准的概率密度。的概率密度。正态分布正态分布,则求则求解解时时当当利用极坐标变换可得利用极坐标变换可得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY时时当当所以所以