概率论与数理统计 第二节 概率的概念.ppt

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1、随机事件及其概率随机事件及其概率第二节第二节 概率的概念概率的概念一、事件的频率一、事件的频率A=“出现正面”u随机试验抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数n 将硬币抛掷n次u随机事件u事件A出现次数nA出现正面nA次u随机事件的频率试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现

2、的次数及频率.波动最小随n的增大,频率 f 呈现出稳定性一、事件的频率一、事件的频率实验者德 摩根蒲 丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005一、事件的频率一、事件的频率 可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性.一、事件的频率一、事件的频率二、概率的定义二、概率的定义1.概率的统计定义 在相同的条件下重复进行n次试验，其中事件发生了次，当试验次数充分大时，事件的频率nA/n将稳定在某一个常数p附近，则称此常数p为事件出现的概率，记作注：当试验次数n充分大时，根据频率的稳定性，

3、可以用频率近似的代替概率，即显然，二、概率的定义二、概率的定义1.概率的古典定义 设随机试验E的样本空间中所含基本事件数为n，A为任意一个事件，若满足条件：（1）中基本事件总数n有限有限性（2）每个基本事件发生的可能性相同等可能性设事件A包含的基本事件数为nA，则A发生的概率为注：利用该定义计算时应考察有限性和等可能性这两个条件二、概率的定义二、概率的定义例1 掷一均匀硬币，求出现正面的概率。解：样本空间例2 掷一均匀骰子，求（1）出现6点的概率；（2）出现偶数点的概率。二、概率的定义二、概率的定义解:（1）（2）例3 一付扑克牌54张，任取一张，求它是黑桃的概率。二、概率的定义二、概率的定义

4、解:以每一张扑克牌为基本事件，所以设A表示“任取一张是黑桃”，注：若以花色为基本事件，共5种花色，即此种解法等可能性被破坏了，故结果是错误的。二、概率的定义二、概率的定义 若题目条件改为：一付扑克牌无大小王共52张，从中任取一张，求它是黑桃的概率，则以张数或花色为基本事件数求解均正确。即以张数为基本事件：以花色为基本事件：三、概率的性质三、概率的性质性质1性质2 设事件A与B互不相容，则证明：设总的试验次数为n，事件A与B发生的次数分别为频率将分别在附近摆动，增加越来越接近它们。以频率代替概率，有且随着n的因为三、概率的性质三、概率的性质推论1 若事件两两互斥，则同理，若事件两两互斥，则推论2

5、 对立事件的概率和等于1，即三、概率的性质三、概率的性质推论3 若则证明：故即也可得出三、概率的性质三、概率的性质性质3 设A，B为任意两个随机事件，则证明：故即加法公式推广当n=3时，有三、概率的性质三、概率的性质BCA解解三、概率的性质三、概率的性质SABAB三、概率的性质三、概率的性质三、概率的性质三、概率的性质 例例3 某工厂职工可以订阅两种读物某工厂职工可以订阅两种读物报纸和杂志，报纸和杂志，其中订阅报纸的概率为其中订阅报纸的概率为0.7，订阅杂志的概率为，订阅杂志的概率为0.2,两种都订阅的概率为两种都订阅的概率为0.1.求求解解 事件事件A,B分别表示分别表示“订阅报纸和订阅杂志

6、订阅报纸和订阅杂志”(1)(1)订阅报纸而不订阅杂志的概率订阅报纸而不订阅杂志的概率;(2)至少订阅一种读物的概率至少订阅一种读物的概率;(3)两种读物都不订阅的概率两种读物都不订阅的概率.(2)(3)三、概率的性质三、概率的性质 例例4 设设A,B满足满足 P(A)=0.8,P(B)=0.7,在何条在何条件下，件下，P(AB)取得最大取得最大(小小)值？最大值？最大(小小)值是多少？值是多少？解解最小值在最小值在 时取得时取得.-最小值最小值-最大值最大值最大值在最大值在 时取得时取得.三、概率的性质三、概率的性质例例5 5、三、概率的性质三、概率的性质例例6 6、设同时发生时，设同时发生时

7、，C必然发生，则：必然发生，则：解：解：而：而：三、概率的性质三、概率的性质 定义定义 我们主要学习等可能概型(古典概型)四、例题分析四、例题分析 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.四、例题分析四、例题分析 【注注】求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的求解古典概型问题的关键是弄清样本空间中的基本事件总数基本事件总数和对所求概率事件

8、和对所求概率事件有利的事件个数有利的事件个数在考虑在考虑事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的问题，掌握以下关于排列组合的知识是有用的：(1)(1)加法原理：加法原理：设完成一件事有设完成一件事有k类方法，每类又分类方法，每类又分别有别有m1,m2,mk种方法，而完成这件事只需其中一种种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有方法，则完成这件事共有m1+m2,+mk种方法种方法 (2)(2)乘法原理：乘法原理：设完成一件事有设完成一件事有n个步骤第一步有个步骤第一步有m1种方法、第

9、二步有种方法、第二步有m2种方法，种方法，第第n步有步有mn 种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有m1 m2 mn种方法种方法.四、例题分析四、例题分析(3)(3)、不同元素的选排列、不同元素的选排列 从从n个不相同的元素中无放回取个不相同的元素中无放回取k个的排列个的排列(k n)，称为从称为从n个不同元素中取个不同元素中取k个元素的选排列个元素的选排列,共有共有 种。种。当当 n k 时，称时，称n个元素的全排列共有个元素的全排列共有n！种。种。例如：例如：从从3个元素取个元素取出出2个的排列总数有个的排列总数有6种种四、例题分析四、例题分析(4)(4)、不同元素的重复排列、不

10、同元素的重复排列例如例如：从装有：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法从从n个不同的元索中，有放回地取个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排个元素进行的排列，共有种（元素允许重复列，共有种（元素允许重复 ）。）。四、例题分析四、例题分析(5)(5)、不全相异元素的排列、不全相异元素的排列在在n个元素中，有个元素中，有m类不同元素、每类各有类不同元素、每类各有k1,k2,km 个，个，将这将这n个元素作全排列，共有如下种方式：个元素作全排列，共有如

11、下种方式：k1个个元素元素k2个个元素元素km个个元素元素n个个元素元素因为因为:四、例题分析四、例题分析(6)(6)、环排列、环排列 从从n个不同元素中，选出个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：个圆圈的排列，共有：(7)(7)、组合、组合从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列个而不考虑其次序的排列（组合），共有（组合），共有 种种.4123412311242343每个排列每个排列重复了重复了4次次排列数为排列数为四、例题分析四、例题分析四、例题分析四、例题分析1.抽球模型（1）不放回抽取例13 袋中有4个白球2个红球，从中任取2球，

12、不放回n 取得两个白球的概率n 恰有一个白球的概率基本事件总数为第一个白球第二个红球第一个红球第二个白球四、例题分析四、例题分析1.抽球模型（1）不放回抽取n 至少一个白球的概率或者四、例题分析四、例题分析1.抽球模型（2）放回抽取若为有放回抽取，则基本事件数为四、例题分析四、例题分析1.抽球模型超几何概率：超几何概率公式则不放回四、例题分析四、例题分析1.抽球模型 在例13中，不放回抽球模型满足超几何概率的条件，由超几何概率公式，有注：超几何概率公式可推广到元素个数N可分解为多组的情况四、例题分析四、例题分析1.抽球模型例14 袋中有10个球，编号110，从中任取3球，不放回求：最小号码是5

13、的概率；最大号码是7的概率。解：四、例题分析四、例题分析2.生日问题模型（分房问题）特点：（1）每个人的生日有 种可能；（2）任意一天可以容纳很多人的生日。例15 房内有500人，问至少一人生日是10月1日的概率。解：因每人生日都有365种可能，故四、例题分析四、例题分析2.生日问题模型（分房问题）u分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子相似地有分房问题 房子 盒子人 小球四、例题分析四、例题分析2.生日问题模型（分房问题）例16 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。n个

14、球共 种放法，解：每球都有N种放法，（1）当n=N时，每盒恰有一球，n个球共 n!种放法，设A表示“每盒恰有有一球”，则四、例题分析四、例题分析2.生日问题模型（分房问题）例16 设有n个球，随机地放入N个盒子中，试求：（1）当n=N时，每盒恰有一球的概率；（2）当nN时，任意n个盒子中各有一球的概率。解:（2）当nN时，盒多球少，先从N个盒中任取n个，共有 种可能，再在取出的n个盒中每盒放一个，共 n!种放法，设B表示“任意n个盒中各有一球”，则四、例题分析四、例题分析2.生日问题模型（分房问题）例17 将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数最多为1，2，3的概率各是多少？解：设A，B，C

15、分别表示杯中球数最多为1，2，3，于是放球过程所有可能结果为练习练习1 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取问取到的整数既不能被到的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率整除的概率是多少是多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解于是所于是所求求概率为概率为练习练习2 2 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每一个班每一个班级各分配到一

16、名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为因此所求概率为(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为因此所求概率为练习

17、练习3 3 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知

18、接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为练习练习4 4 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相

19、同的概率为人生日相同的概率为解解说明说明我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.练习练习5 5 有有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少相邻的概率是多少?解：解：(2)排成一圈是环排列，排成一圈是环排列，n个人的环排列有个人的环排列有(n1)!种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一一2)!种，考种，考虑互换性，有利事件有虑互换性，有利事件有2(n一一2)!种故：种故：更为简单的想法是：设想一个圆周上更为简单的想法是：设想一个圆周上：有：有n个位置，个位置，甲占了一个位置后，乙还有甲占了一个位置后，乙还有n一一1个位置可选，其中与个位置可选，其中与甲相邻的位置有甲相邻的位置有2个所以个所以:练习练习6 6、从、从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?解：解：A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双只鞋子中至少有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双只鞋子中没两只鞋子配成一双