晶格振动与晶体的热学性质精.ppt

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1、晶格振动与晶体的热学性质第1页，本讲稿共89页v晶体中的原子处在不停的运动中；晶体中的原子处在不停的运动中；热运动较弱热运动较弱在在平衡位置平衡位置附近微振动附近微振动,平衡位置是晶平衡位置是晶格格点格格点,所以称为所以称为晶格振动晶格振动；热运动较强热运动较强少数原子脱离格点热缺少数原子脱离格点热缺陷；陷；热运动很强热运动很强整个晶体瓦解，溶解。整个晶体瓦解，溶解。绪言绪言温度较低:温度较高:温度很高:晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能起晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能起主要贡献。主要贡献。第2页，本讲稿共89页晶格振动的研究晶格振动的研究 晶体的热学性质晶体的热学性质 固体热

2、容量固体热容量 是晶体热运动宏观性质的表现是晶体热运动宏观性质的表现 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 一摩尔固体有一摩尔固体有N个原子，有个原子，有3N个振动自由度，按能个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量摩尔热容量总的内能总的内能第3页，本讲稿共89页 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量摩尔热容量 与温度无关与温度无关 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律本章的主要内容本章的主要内容:首先利用简谐近似（非谐近似首先利用简谐近似（非谐近似得到热膨胀等性质）得到原子振动

3、的色散关系，得到热膨胀等性质）得到原子振动的色散关系，引入声子概念，利用徳拜的连续介质波模型得到引入声子概念，利用徳拜的连续介质波模型得到原子振动对晶格热容的影响原子振动对晶格热容的影响 第4页，本讲稿共89页点阵振动点阵振动1、简谐近似、简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。所谓所谓简谐近似简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种振即认为振动是小振动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。动的位移与力之间是满足线性关系的。第第n个原子个原子第第n-2个原子个原子第第n-1个原子个原子第第n+1个原子个原子第第n+2个原子个

4、原子a un-2un-1 unun+1 un+2第5页，本讲稿共89页v从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原从能量的角度来看，认为原子间有了相对位移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数：子间的相互作用势也有了变化将势能展开成级数：恢复力常数恢复力常数第6页，本讲稿共89页一维无限原子链一维无限原子链 每个原子质量每个原子质量m，平衡时原子间距，平衡时原子间距a 原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开平个原子离开平 衡位置的位移衡位置的位移 第第n个原子和第个原子和第n1个个 原子间的相对位移原子间的相对位移v第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原

5、子间的距离3.1 3.1 一维晶格振动一维晶格振动 一、模型和动力学方程一、模型和动力学方程第7页，本讲稿共89页平衡位置时，两个原子间的互作用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移发生相对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能 常数常数 平衡条件平衡条件第8页，本讲稿共89页简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 恢复力常数恢复力常数第9页，本讲稿共89页原子的运动方程原子的运动方程:只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力v第第n个原子的运动方程

6、个原子的运动方程 每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似 方程的数目和原子数相同方程的数目和原子数相同第10页，本讲稿共89页方程解和振动频率方程解和振动频率 设方程组的通解设方程组的通解:A是振幅是振幅,为角频率为角频率,q=2/波矢波矢naq 第第n个原子振动相位因子个原子振动相位因子得到得到应用三角公式应用三角公式色散关系色散关系(这样的线性齐次方程应有一个波形式的解这样的线性齐次方程应有一个波形式的解)第11页，本讲稿共89页这里这里可正可负，可正可负，我们我们取正值，因为在物理上频率应大于对于零取正值，因为在物理上频率应大于对于零。这个结果与这个结果与 n 无关，说明无关，说明

7、 N 个方程都有同样结果，个方程都有同样结果，即所有原子都同即所有原子都同时以相同的频率时以相同的频率和相同的振幅和相同的振幅 A 在振动，但不同的原子间有一个相差，在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是相邻原子间的相差是 。该结果还表示：该结果还表示：只要只要和和q q 满足上述关系，试解就是联立方程的满足上述关系，试解就是联立方程的解。通常把解。通常把和和 q q 的关系称作色散关系。的关系称作色散关系。色散关系色散关系 Dispersion curves第12页，本讲稿共89页v解的物理意义解的物理意义格波格波原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距原子振动以波的方式在

8、晶体中传播。当两原子相距 的的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。该解表明：该解表明：晶体中所有原子共同晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。晶体中传播，称为格波。从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位置这样的格点位置这样的孤立值。孤立值。第13页，本讲稿共89页由连续介质中由连续介质中的机械波的机械波波矢波矢晶体中的格波晶体

9、中的格波波长波长第14页，本讲稿共89页格波波长格波波长:格波波矢格波波矢:格波相速度格波相速度:不同原子间相位差不同原子间相位差:格波方程格波方程:相邻原子的相位差相邻原子的相位差:v总结总结:格波的群速度：格波的群速度：第15页，本讲稿共89页二、格波的色散关系二、格波的色散关系:（）（）v特点特点:、是是q的周期函数的周期函数,周期为周期为2/a。波矢的取值波矢的取值 第一布里渊区第一布里渊区只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 其它区域不能提供新的物理内容其它区域不能提供新的物理内容(l为整数）为整数）一维晶格倒格矢一维晶格倒格矢第16页，本讲稿共8

10、9页、频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数第17页，本讲稿共89页三、玻恩卡门（三、玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件）周期性边界条件实际晶体是有限的，处在表面的原子的所力显然跟内部不同，应该有不同实际晶体是有限的，处在表面的原子的所力显然跟内部不同，应该有不同的方程。的方程。跟晶体内部原子数比起来，表面的特殊性对晶体的整体性质产生的影响可跟晶体内部原子数比起来，表面的特殊性对晶体的整体性质产生的影响可以忽略以忽略,也就是说表面的运动方式可以按也就是说表面的运动方式可以按数学上的方面任意选择数学上的方面任意选择。表面原。表面原子的运动方式称为边界条件。子的运动方式称为边界条件。B

11、ornBornKarmanKarman 最早利用周期性边界条件解最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。决了此问题，成为固体理论的一个典范。N个原子头尾相接形成环链，保个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点持所有原子等价特点第18页，本讲稿共89页l=任意整数，因为已经把 q限制在第一布里渊区，可见，对可见，对N个原子组成的一维晶格，个原子组成的一维晶格，q 只可取只可取N个不同的值，每个个不同的值，每个q对应着一个格波。对应着一个格波。l l 取值数目是有限的：只有布里渊区内的取值数目是有限的：只有布里渊区内的 N N 个整数值。个整数值。第19页，本讲稿共89页l

12、 N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值波矢波矢给定一组给定一组(,q),q),就表示原子的一种振动形式，称之为就表示原子的一种振动形式，称之为振动模式振动模式，就标志晶，就标志晶体中的一种格波，在一维原子晶格中共有体中的一种格波，在一维原子晶格中共有N N个独立的振动模式，或者个独立的振动模式，或者说有说有N N 个独立的格波。个独立的格波。四、波矢四、波矢q q的个数、模式数的个数、模式数每一个每一个 q 的取值所占的空间为：的取值所占的空间为：q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）：值的分布密度（单位长度上的模式数目）：LNa 为晶体链的长度。第一布里渊区

13、中波数第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于的取值总数等于晶体链的原子个数，晶体链的原子个数，至此，我们可以有把握的说找到了至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模原子链的全部振动模。第20页，本讲稿共89页一维原子链第一布里渊区内的色散关系一维原子链第一布里渊区内的色散关系：一维原子链的相速和群速：一维原子链的相速和群速：相速度 是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。群速度 是平均频率为，平均波矢为q 的波包的传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。第21页，本讲稿共89页长波极限长波极限:在长波长极限区，即在长波长极限区，即 时，格波就是弹性波。时，格波就是弹性波。和弹性

14、波的结果一致。在在 的长波极限下：的长波极限下：即声速。即声速。的色散关系称为声学支的色散关系称为声学支(acoustic branch)。每组。每组(,q),q)对应的振动模式称为声学模对应的振动模式称为声学模(acoustic mode)原胞中两原子的振动相位相同原胞中两原子的振动相位相同第22页，本讲稿共89页相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波也不向左传播，形成驻波群速度为零群速度为零当当相邻原子振动方向相反相邻原子振动方向相反第23页，本讲稿共89页3.3 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 一维复式格

15、子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链u系统有系统有N个原胞个原胞u 两种原子两种原子m和和M _(M m)构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1，2n+1，2n+3 m原子位于原子位于2n，2n+2，2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a晶格常数晶格常数第24页，本讲稿共89页 N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子振动两种原子振动的振幅的振幅A和和B一般来一般来说是不同的说是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式第25页，本讲稿共89页 A、B有非零的解，系

16、数行列式为零有非零的解，系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解第26页，本讲稿共89页 一维复式晶格中存在两种独立的格波一维复式晶格中存在两种独立的格波第27页，本讲稿共89页 与与q之间存在着两之间存在着两 种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在 两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波第28页，本讲稿共89页两种格波的振幅：两种格波的振幅：光学波光学波 声学波声学波第29页，本讲稿共89页(横波情形横波情形)光学支原子振动光学支原子振动声学支原子振动声学支原子振动声学支光学支第30页，本讲稿共89页相邻

17、原胞相位差相邻原胞相位差 M和和m原子方程原子方程周期性边界条件与独立振动模式密度周期性边界条件与独立振动模式密度波矢波矢q的值的值 第一布里渊区第一布里渊区 布里渊区大小布里渊区大小周期性边界条件周期性边界条件第31页，本讲稿共89页 h为整数为整数每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N：原子的数目原子的数目:2Nq的取值的取值第32页，本讲稿共89页三维的晶格振

18、动三维的晶格振动:N个原胞个原胞每个原胞有n个原子个原子的三维晶体，晶体中格波的支数支数 原胞内的自由度数：3n 其中 3 支为声学支支为声学支（1支纵波、2支横波）3n3支为光学支支为光学支（也有纵波、横波之分）晶格振动的波矢数波矢数 晶体的原胞数原胞数 N 晶格振动的模式数模式数 晶体的自由度数自由度数 3nN思考思考 Cu，金刚石，金刚石，NaCI 晶体应该分别有几支色散关系？晶体应该分别有几支色散关系？以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定。第33页，本讲稿共89页3.3.2 3.3.2 声子声子(phonon)(phonon)声子声子:晶格振

19、动中格波的能量量子晶格振动中格波的能量量子根据量子理论根据量子理论,振子的能量是量子化的，频率为振子的能量是量子化的，频率为 l l谐谐振子能量振子能量本征值本征值为为晶格振动的总晶格振动的总能量为能量为:一个格波就是一个振动模式一个格波就是一个振动模式,对应一种声子对应一种声子.每个振动模式的能量均以每个振动模式的能量均以 为单位为单位,能量递增能量递增为为 的整数倍的整数倍声子的能量声子的能量,第34页，本讲稿共89页准粒子：准粒子：能量能量:准动量准动量:（晶体动量）（晶体动量）温度为温度为T时时,频率频率的格波的声子的平均数：的格波的声子的平均数：格波在晶体中传播受到散射声子与晶体中的

20、原子的碰撞；格波在晶体中传播受到散射声子与晶体中的原子的碰撞；电子波在晶体中的散射电子波在晶体中的散射 电子与声子的碰撞电子与声子的碰撞声子声子:第35页，本讲稿共89页 声子是晶格振动的能量量子声子是晶格振动的能量量子 。声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，它的行为类似，它的行为类似 于电子或光子，具有粒子的性质于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是但声子与电子或光子是 有本质区别的，有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并

21、不是一种真实 的粒子。的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子。所以，体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。声子是一种准粒子。而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。声子声子:第36页，本讲稿共89页因为晶体中有因为晶体中有3pN3pN个振动模式，一个振动模式，一种格波即一种振动模式种格波即一种振动模式称为一种声子称为一种声子,即有即有3pN3pN种不同的声子。因此，晶格振动的种不同的声子。因此，晶格振动的总能量为：总能量为：声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或声子

22、与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，光子）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为单为单 元交换能量，若电子交给晶格元交换能量，若电子交给晶格 的能量，称为发射的能量，称为发射 一一 个声子；若电子从晶格获得个声子；若电子从晶格获得 的能量，则称为吸收一的能量，则称为吸收一 个声子。个声子。第37页，本讲稿共89页 声子气体不受声子气体不受 Pauli 不相容原

23、理的限制，粒子数目不守不相容原理的限制，粒子数目不守恒，故属于波色子系统，服从恒，故属于波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系统计，当系统处于热平衡状态时，频率为统处于热平衡状态时，频率为i i 的格波的平均声子数的格波的平均声子数由波色统计给出：由波色统计给出：所以所以 频率为频率为i的声子的平均声子数：的声子的平均声子数：第38页，本讲稿共89页 声子这个名词是模仿声子这个名词是模仿光子光子而来（因为电磁波也是一种而来（因为电磁波也是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。简谐振动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质或真空中，而声

24、子只能所不同的是光子可存在于介质或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有当晶体中的点阵由于热激发而存在于晶体之中，只有当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声子，在绝对零度下，即在振动时才会有声子，在绝对零度下，即在OKOK时，所有时，所有的简正模式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称的简正模式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即寄居之为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即寄居区不同。区不同。声子声子:晶格振动中格波的能量量子晶格振动中格波的能量量子第39页，本讲稿共89页3.4 3.4 晶格振动谱的实验测定晶格振动谱的实验测定 晶格振动的频率和波矢

25、间的关系晶格振动的频率和波矢间的关系(色散关系色散关系)一、晶格振动的振动谱测定方法一、晶格振动的振动谱测定方法:中子非弹性散射中子非弹性散射光子与晶格的非弹性散射光子与晶格的非弹性散射X射线散射射线散射布里渊散射和拉曼散射布里渊散射和拉曼散射晶格振动的振动谱晶格振动的振动谱:第40页，本讲稿共89页入射粒子入射粒子（中子、电子、光子）中子、电子、光子）的频率和波矢的频率和波矢散射粒子散射粒子。二、基本的原理和思想：二、基本的原理和思想：v 作用过程满足作用过程满足能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒v若能测定散射前后粒子的频率与波长的改变，就可以若能测定散射前后粒子的频率与波长的改变，就可以根据

26、上面式子确定声子的频率和波矢的关系根据上面式子确定声子的频率和波矢的关系(q).第41页，本讲稿共89页1、中子非弹性散射中子非弹性散射(课本图课本图 3.4.1)入射晶体时中子角频率：入射晶体时中子角频率：散射中子的波矢：散射中子的波矢：由于中子的德布罗意波长约由于中子的德布罗意波长约正好是晶格常数的数量级，因此，提供了格正好是晶格常数的数量级，因此，提供了格波波q、的最有利的条件。的最有利的条件。优点：优点：缺点：缺点：中子源反应堆比较复杂，给此种方法的普遍应用带中子源反应堆比较复杂，给此种方法的普遍应用带来一定的困难。来一定的困难。第42页，本讲稿共89页、光子散射光子散射 通过测定反射

27、前后入射光波长、频率的变化，来确定晶通过测定反射前后入射光波长、频率的变化，来确定晶格振动谱格振动谱(q).可见光的波矢可见光的波矢k的值只有的值只有108m-1的数量级，与之作用的的数量级，与之作用的声子波矢也只能是这个数量级，这个远小于布里渊区的声子波矢也只能是这个数量级，这个远小于布里渊区的线度。线度。局限性：局限性：因此光散射的方法只能测定布里渊区中心因此光散射的方法只能测定布里渊区中心很少一部分长波声子谱。很少一部分长波声子谱。第43页，本讲稿共89页1)光子与长声学波声子相互作用光子与长声学波声子相互作用 光子的布里渊散射光子的布里渊散射 长声学波的能量非常小，散射光的频率和波矢的

28、改变非常长声学波的能量非常小，散射光的频率和波矢的改变非常小。小。光子被长声学波声子散射，入射光子与散射光子的光子被长声学波声子散射，入射光子与散射光子的 波矢大小近似相等波矢大小近似相等第44页，本讲稿共89页长声学波声子的波矢近似地写成长声学波声子的波矢近似地写成 不同角度方向测得散射光子的频率，得到声子频率不同角度方向测得散射光子的频率，得到声子频率声子的波矢声子的波矢声子振动谱声子振动谱散射光和入射光的频率位移散射光和入射光的频率位移 布里渊散射布里渊散射第45页，本讲稿共89页入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子，或入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子，或者吸收一个声子。

29、者吸收一个声子。斯托克斯线斯托克斯线反斯托克斯线反斯托克斯线第46页，本讲稿共89页2)光子与光学波声子的相互作用光子与光学波声子的相互作用 光子的拉曼散射光子的拉曼散射 能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒 光子的拉曼散射限于光子与长光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用光学波声子的相互作用 长光学波声子能量较大，所以拉曼频移相当大。长光学波声子能量较大，所以拉曼频移相当大。光与长光学波的散射关系称为拉曼散射。已成为研究光与长光学波的散射关系称为拉曼散射。已成为研究凝聚态物质性质的常用工具凝聚态物质性质的常用工具第47页，本讲稿共89页3.6 晶格振动模式密度晶格振动模式密度u从振动模式

30、密度，研究晶格热容、晶体从振动模式密度，研究晶格热容、晶体 电学、光学性质电学、光学性质按振动频率分布按振动频率分布用晶格振动模式密度用晶格振动模式密度来描述来描述晶格振动模式密度晶格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数目单位频率间隔，振动模式的数目第48页，本讲稿共89页在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度在在q空间，空间，w（q）=常数确定了一个等频面，在常数确定了一个等频面，在Ww+dw频率间隔之间频率间隔之间的振动模式数目就是的振动模式数目就是q在在ww+dw两个等频面之间的波矢两个等频面之间的波矢q代表的数目代表的数目ds等频面上的面

31、积元，等频面上的面积元，dq为沿为沿dsq面元法面元法线方向的增量。线方向的增量。第49页，本讲稿共89页 +之间的振动模式数目之间的振动模式数目u模式密度的一般表达式为模式密度的一般表达式为:第50页，本讲稿共89页简单几种情况下振动模式密度的表示简单几种情况下振动模式密度的表示:一维无限长单原子链一维无限长单原子链波矢空间单位长度上的模式数：波矢空间单位长度上的模式数：，所以，所以 间隔内的模式数为：间隔内的模式数为：注意到：注意到：即即q0与与q D，Cv=3Nk当温度稳低时，当温度稳低时，T D，有：有：Cv与与T对的立方成比例，与实验结果相吻合对的立方成比例，与实验结果相吻合 第69

32、页，本讲稿共89页德拜模型的缺陷：德拜模型的缺陷：1、第70页，本讲稿共89页如果在晶体中存在温度梯度如果在晶体中存在温度梯度能流密度能流密度 单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能 不不考考虑虑电电子子对对热热传传导导的的贡贡献献，晶晶体体中中的的热热传传导导主主要要依依靠靠声声子来完成子来完成K为晶体的热导系数，反映了物体的导热性质为晶体的热导系数，反映了物体的导热性质3.9 晶格的热传导晶格的热传导 第71页，本讲稿共89页简谐近似：简谐近似：原子所受作用力与原子的位移成正比，原子所受作用力与原子的位移成正比，势能表达式只保留项势能表达式只保留项 晶格振动可描述成一系列

33、线性独立的谐振子，相互晶格振动可描述成一系列线性独立的谐振子，相互不发生作用，不能交换能量，声子一旦被激发出来，不发生作用，不能交换能量，声子一旦被激发出来，数目一直保持不变，不能传递能量，不能处于热平数目一直保持不变，不能传递能量，不能处于热平衡。衡。二、非简谐效应二、非简谐效应第72页，本讲稿共89页实际晶体：实际晶体：原子间的相互作用力并原子间的相互作用力并非完全简谐非完全简谐，晶格的原子振，晶格的原子振动动不能描述不能描述成为一系列严格线性谐振子，谐振子相互成为一系列严格线性谐振子，谐振子相互间要发生作用，声子与声子间将互相交换能量，某种间要发生作用，声子与声子间将互相交换能量，某种频

34、率的声子可以转换成另一种频率的声子，经过一段频率的声子可以转换成另一种频率的声子，经过一段时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。非简谐项是使晶体振动达到热平衡的重要原因。非简谐项是使晶体振动达到热平衡的重要原因。考虑非谐振动，相互作用势考虑非谐振动，相互作用势 至少含有至少含有 项。项。第73页，本讲稿共89页非简谐效应使格波间不再完全独立非简谐效应使格波间不再完全独立.格波间的相互作用可表示格波间的相互作用可表示成成声子与声子间的相互碰撞声子与声子间的相互碰撞.二、热传导二、热传导1、声子与声子碰撞、声子与声子碰撞声子相互碰撞过程遵守能量守恒和准动量守恒

35、：声子相互碰撞过程遵守能量守恒和准动量守恒：第74页，本讲稿共89页波矢波矢q q1 1,q,q2 2较小，合成较小，合成q q3 3仍在第一布里渊区范围内。仍在第一布里渊区范围内。这种作用称为这种作用称为正常过程正常过程(1)正常过程（正常过程（Normal process)如果所有声子的碰撞都属于这种类型，则晶体的热导率将为如果所有声子的碰撞都属于这种类型，则晶体的热导率将为无穷大，热阻为零。即正常过程对建立声子的热平衡起作用，无穷大，热阻为零。即正常过程对建立声子的热平衡起作用，对热阻无贡献。对热阻无贡献。总能量和总波矢没有改变，只是把两个声子的能量和动量传递给总能量和总波矢没有改变，只

36、是把两个声子的能量和动量传递给第三个声子，净的热能流并不由于碰撞而减小，方向也不发生偏第三个声子，净的热能流并不由于碰撞而减小，方向也不发生偏转转.第75页，本讲稿共89页这种过程称为倒逆过程，表示一种大角度的散射，这种过程称为倒逆过程，表示一种大角度的散射，声子的运动方向有很大的改变，其作用使声子的平声子的运动方向有很大的改变，其作用使声子的平均自由程减小，所以倒逆过程会产生热阻。均自由程减小，所以倒逆过程会产生热阻。（2）倒逆过程（）倒逆过程（Umklapp process)动状态一样。可将这个新波矢加上倒格矢移到第一布动状态一样。可将这个新波矢加上倒格矢移到第一布里渊区。里渊区。超过第一

37、布里渊区，由于晶格振动的波矢超过第一布里渊区，由于晶格振动的波矢具有周期性具有周期性，波矢波矢与与描述的晶格振描述的晶格振第76页，本讲稿共89页 固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时时，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布布是是不均匀的不均匀的 这这些些声声子子通通过过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发发生生碰碰撞撞，总总使使得得温温度度较较低低的区域具有同样的的区域具有同样的“声子声子”密度密度 因因而而“声声子子”在在无无规规则则运运动动的的基基础础上上产产生生定定向向运运动动 声声子子的的扩扩散散运运动动，相相应应的的热热量量从从晶晶体体较较高高温温度度区区域域传传到到温温度度较较

38、低低区区域域 温温度度较较高高的的区区域域将将有有产产生生较较多多的的振振动动模模式式和和具具有有较较大大的振动幅度，即有较多的声子被激发，的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度高密度高第77页，本讲稿共89页 但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。会引起声子频率和原子位移的改变。即从物理上看，他们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。但在处理声即从物理上看，他们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，子同声子、声子同其它粒子之间的

39、相互作用时，又具有一定的动量性质，所以叫做又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量准动量”。第78页，本讲稿共89页 引入声子概念后，对于由强相互作用的原子的集体运动状态晶格振动的每一个格波，便可看作是由数目为 能量为 的理想声子组成，而整个系统则是由众多声子组成的声子气体。引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。声子的能量是 ，动量是 。又例如：

40、热传导可以看成是声子的扩散；热阻是于声子被散热传导可以看成是声子的扩散；热阻是于声子被散射等等。射等等。使许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。第79页，本讲稿共89页 声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。这种高度抽象化出概念是固体物理的一大特量子化的特点。这种高度抽象化出概念是固体物理的一大特征，他们被称作征，他们被称作元激发（元激发（Elementary excitation）元激发方法就是把有

41、元激发方法就是把有强相互作用的多粒子体系强相互作用的多粒子体系化成化成准粒子的准粒子的气体问题气体问题来处理的一种方法来处理的一种方法,元激发正是针对着我们各种不同元激发正是针对着我们各种不同物理问题提出来得一类准粒子物理问题提出来得一类准粒子.固体物理中的元激发很多固体物理中的元激发很多,如能带中的电子、空穴、等离激如能带中的电子、空穴、等离激元、极化子、磁振子、声子等元、极化子、磁振子、声子等.现代固体理论都是建立在这套现代固体理论都是建立在这套处理方法之上的处理方法之上的 声子是固体中重要的元激发。声子是固体中重要的元激发。第80页，本讲稿共89页3.3.晶格热容晶格热容一、晶格的模式密

42、度（态密度）一、晶格的模式密度（态密度）N 个原子一维单原子链：个原子一维单原子链：l 整数整数L=Na原子链长度原子链长度v沿沿q q轴把这些值标出时，形成轴把这些值标出时，形成由规则间隔的点组成的一维格由规则间隔的点组成的一维格状结构，相邻点之间距离：状结构，相邻点之间距离：qv当当L L很大，间距很小，构成准连续的格很大，间距很小，构成准连续的格状结构，对每一状结构，对每一q q值（每一点）代表一值（每一点）代表一种振动模式种振动模式第81页，本讲稿共89页v在在q空间中选择一任意间隔空间中选择一任意间隔dq，求，求在这一间隔内的数目（模数）在这一间隔内的数目（模数）dn由于由于q 和频

43、率和频率 通过色散关系相联系，因此可以通过色散关系相联系，因此可以求在（求在（,+d）范围内的振动模数。）范围内的振动模数。q模式密度（态密度）：模式密度（态密度）：单位频率间隔内的振动模数：单位频率间隔内的振动模数：第82页，本讲稿共89页1、一维单原子链模式密度、一维单原子链模式密度对应频率对应频率 值，有对称的两个值，有对称的两个q值值色散关系色散关系：第83页，本讲稿共89页色散关系色散关系：第84页，本讲稿共89页、一维双原子链、一维双原子链每一支每一支相应相应、三维晶格、三维晶格频率相等的状态点构成一闭合曲面频率相等的状态点构成一闭合曲面等频面。等频面。绘出第绘出第j支的频率等值面

44、。支的频率等值面。第85页，本讲稿共89页然后计算这两个面之间所包括的模数然后计算这两个面之间所包括的模数dnj即为即为对所有各支的态密度求和得总的态密度对所有各支的态密度求和得总的态密度确定确定第86页，本讲稿共89页3.5 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化 波长很长的光学波：长光学波波长很长的光学波：长光学波 波长很长的声学波：长声学波波

45、长很长的声学波：长声学波 声学波代表原胞质心的振动声学波代表原胞质心的振动 光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动波长波长 原胞的线度原胞的线度第87页，本讲稿共89页由上式可以看出：在由上式可以看出：在(q)(q)对对q q的梯度为的梯度为0 0的地方，的地方，(q)(q)应显出某种奇异性。称应显出某种奇异性。称 的点为的点为范霍夫奇点范霍夫奇点（von Hove singularityvon Hove singularity）。范霍夫奇点是与晶体对称性范霍夫奇点是与晶体对称性相联系的，常常出现在布里渊区的某些高对称点上。相联系的，常常出现在布里渊区的某些高对称点上。第88页，本讲稿共89页金刚石金刚石理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 T第89页，本讲稿共89页