理学理论力学09.pptx

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1、1第4章 运动分析基础4.1 点的运动学4.2 刚体的简单运动4.3 结论与讨论第1页/共75页24.1 点的运动学 (1)(1)参考系参考系 物体的运动都是相对的，因此在研究某一物体的运动时，必须选择另一作为参考的物体来描述该物体的运动，这个作为参考的物体称为参参考考体体(reference(reference body)body)。在参考体上固连的坐标系称为参参考考坐坐标标系系或参参考考系系(reference system)(reference system)。一般工程问题都取与地面固连的坐标系为参考坐标系。位矢、位矢、速度和加速度速度和加速度 点(point)的运动主要有直直线线运运动

2、动(rectilinear(rectilinear motion)motion)和曲曲线线运运动动(curvilinear motion)(curvilinear motion)两种形式。后者又有平面曲线平面曲线和空间曲线空间曲线之分。第2页/共75页3 曲线运动最一般的情形为三维变速曲线运动4.1 点的运动学 (2)(2)第3页/共75页44.1 点的运动学 (3)(3)曲线运动最一般的情形为三维变速曲线运动第4页/共75页5x xz zy yOrM描述点的运动的矢量法描述点的运动的矢量法 考察定参考系中，沿空间曲线运动的点M。自坐标原点O向点M作矢量r，称为点M对于原点O的位位置置矢矢量量

3、(position(position vector)vector)，简称位位矢矢。当点M运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间t 的单值函数：r=r(t)因此，位矢为变矢量变矢量。r=r(t)是用变矢量表示的点的运动方程。点M在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位位矢矢端端图图。显然，位矢端图就是点M的运动轨迹运动轨迹。rMrM4.1 点的运动学 (4)(4)第5页/共75页6x xz zy yOOr r(t t)r r(t t+t t)rvt 时间间隔内矢径的改变量，称为点的位移位移：r(t)=r(t+t)r(t)点在 t 瞬时的速度速度：描述点的运动的矢量法描述点的运动

4、的矢量法 在时间间隔t内，点由位置M运动到M。t 瞬时：矢径 r(t)；t+t 瞬时：矢径 r(t+t)或r(t)+r(t)其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。MM4.1 点的运动学 (5)(5)第6页/共75页7t 时间间隔内速度的改变量：v(t)=v(t+t)v(t)点在 t 瞬时的加速度加速度：vx xz zy yOO显然，速度v和加速度a也都是变矢量。rMM v v vMMrv4.1 点的运动学 (6)(6)描述点的运动的矢量法描述点的运动的矢量法 t 瞬时：速度 v(t)；t+t 瞬时：速度 v(t+t)或v(t)+v(t)第7页/共75页8ay yx xz zj ji ik k

5、x xz zy yOOrvMM 不受约束的点在空间有3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)4.1 点的运动学 (7)(7)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法 点M在空间的位置既可以由相对于原点的位矢r表示，也可以由点M在直角坐标系中的坐标(x,y,z)表示。第8页/共75页9ay yx xz zj ji ik kx xz zy yOOrvMM上式也是点的轨迹的参参数数方方程程。如果从方程中消去参数t，则得到轨轨迹方程迹方程：F1(x,y)=0,F2(y,z)=0在平面中，轨迹方程为：F(x,y)=0 由左图可知，点M的

6、坐标 x、y、z 是矢径 r 在各坐标轴上的投影，因此有 r=xi+yj+zk4.1 点的运动学 (8)(8)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)第9页/共75页10ay yx xz zj ji ik kx xz zy yOOrvMM将位矢表示成：r=xi+yj+zk点的速度为：4.1 点的运动学 (9)(9)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法考虑到在Oxyz定参考系中，i、j、k均为常矢量第10页/共75页11ay yx xz zj ji ik kx xz zy yOOrvMM4.1 点的运动学 (10)(10)描述点的

7、运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。第11页/共75页12求：P P点的运动方程、速度、加速度。4.1 点的运动学 (11)(11)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法补充例题补充例题椭圆规机构第12页/共75页13解题一般步骤：解题一般步骤：1.1.建立固定参考系建立固定参考系OxyOxy；2.2.将将所所考考察察的的点点置置于于坐坐标标系中的一般位置；系中的一般位置；3.3.根根据据已已知知的的约约束束条条件件列列写点的运动方程。写点的运动

8、方程。4.1 点的运动学 (12)(12)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法第13页/共75页14P P点的运动方程：从中消去t t 得到P P点的轨迹方程4.1 点的运动学 (13)(13)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法第14页/共75页15P P点的运动方程：4.1 点的运动学 (14)(14)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法P P点的速度：P P点的加速度：第15页/共75页16几点讨论几点讨论:1.建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。2.关于P P

9、点运动的性质：何时作加速度运动？何时作减速度运动？这一问题请同学们自己研究。这一问题请同学们自己研究。4.1 点的运动学 (15)(15)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法第16页/共75页17解：解：1)分析杆AC上点C 的运动轨迹 以固定点O为坐标原点，建立图示直角坐标系Oxy。以点C为研究对象，在任 意 瞬 时，OAB为 等 腰 三 角 形，BAO=BOA=/2=/2t。由几何关系可得：例题例题 4-14-1 在图示机构中，曲柄OB沿逆时针方向转动，并带动杆AC上点A在水平滑槽内运动。已知：AB=OB=20cm，BC=40cm，曲柄OB与铅直线的夹角=t(t以s计)。试分析

10、杆AC上点C的运动轨迹，并计算当=/2时，点C的速度和加速度。OABC4.1 点的运动学 (16)(16)xy第17页/共75页18xyOABC消去时间t便得到轨迹方程：这是一个短半轴为20cm、长半轴为60cm的椭圆方程，可见点C的轨迹为椭圆。4.1 点的运动学 (17)(17)例题例题 4-1(4-1(续续1)1)第18页/共75页192)求=/2时，点C的速度和加速度将运动方程对时间t求导，得点C的速度：当t=/2时，vx=0,vy=60 cm/s,ax=20 2cm/s2,ay=0。即当=/2时，点C的速度和加速度为：将速度对时间t求导，得点C的加速度：OABCva4.1 点的运动学

11、(18)(18)例题例题 4-1(4-1(续续2)2)第19页/共75页20 这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧弧 坐坐 标标(arc(arc coordinate coordinate of of a a directed directed curve)curve)。弧坐标s完全确定了动点P在轨迹上的位置。点运动时，其弧坐标随时间而变化：s=s(t)这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。4.1 点的运动学 (19)(19)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法 如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长s=OP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。

12、第20页/共75页21弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1.有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；2.有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；3.有相应的坐标系。4.1 点的运动学 (20)(20)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法第21页/共75页22弧坐标中的速度表示弧坐标中的速度表示 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。4.1 点的运动学 (21)(21)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法第22页/共75页234.1 点的运动学 (22)(22)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法讨论讨论 若，则v 0，即点沿着s+的方

13、向运动；反之点沿着s的方向运动；v=v 中 v 和 分别表示速度的大小与方向。第23页/共75页244.1 点的运动学 (23)(23)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式第24页/共75页254.1 点的运动学 (24)(24)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示第25页/共75页26 n n 当0时，的极限方向垂直于 ，亦即n方向。P P sP P 4.1 点的运动学 (25)(25)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标

14、中的加速度表示第26页/共75页274.1 点的运动学 (26)(26)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示第27页/共75页284.1 点的运动学 (27)(27)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示a 切向加速度，表示速度矢量大小大小的变化率。an 法向加速度，表示速度矢量方向方向的变化率。第28页/共75页294.1 点的运动学 (28)(28)描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示a 称为全加速度全加速度，它的大小和方向为：Maana第29页/共

15、75页304.1 点的运动学 (29)(29)自然轴系自然轴系 当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。自然轴系密切面第30页/共75页314.1 点的运动学 (30)(30)自然轴系自然轴系自然轴系密切面 过P点与运动轨迹相切的 平 面 称 为 密密 切切 面面(osculating plane)(osculating plane)。第31页/共75页32密切面s-s+P PT(切线)N(主法线)B(副法线)P空间曲线上的动点；T过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；N密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；B过动点P垂直于切线和

16、主法线的直线，其正向由B=T N确定。自然轴系 PTNB4.1 点的运动学 (31)(31)自然轴系自然轴系第32页/共75页33 上述三相互正交的轴线构成了随时间变化的直角坐标系，称为自自然然轴轴系系(trihedral(trihedral axes axes of of a a space space curve)curve)。于是上述关于速度和加速度的公式和结论均成立。而且，加速度在副法线方向的投影恒为零。自然轴系 PTNB4.1 点的运动学 (32)(32)自然轴系自然轴系s-s+密切面P PN(主法线)B(副法线)T(切线)第33页/共75页34自然轴系 PTNB4.1 点的运动学

17、(33)(33)自然轴系自然轴系自然轴系的特点 跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。第34页/共75页35s-s+T(切线)N(主法线)B(副法线)自然轴系的基矢量自然轴系 PTNB b bn n4.1 点的运动学 (34)(34)自然轴系自然轴系第35页/共75页36自然轴系 PTNB4.1 点的运动学 (35)(35)自然轴系自然轴系由由密切面得到的几点结论密切面得到的几点结论l l 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟一的。空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/表示。l l 曲线在垂直于密切面的平面内的

18、曲率，称为第二曲率。第36页/共75页37OABC解：解：在例题4-1中已求得:4.1 点的运动学 (36)(36)例题例题 4-24-2 确定例题4-1中C点的切向加速度、法向加速度的大小及轨迹的曲率半径。因此:第37页/共75页38OABC4.1 点的运动学 (37)(37)当=t=/2时:例题例题 4-2(4-2(续续1)1)第38页/共75页39OABC轨迹的曲率半径为:当=t=/2时，轨迹的曲率半径为:4.1 点的运动学 (38)(38)例题例题 4-2(4-2(续续2)2)第39页/共75页40例题例题 4-34-3 动点M由A点开始沿以R为半径的圆弧运动，动点到A点的距离以匀速u

19、增加，求M点沿轨迹的运动方程和以u,表示的加速度。为连线AM与直径AB间的夹角。解：解：已知点作曲线运动，故采用弧坐标。选A为弧坐标原点，并规定其正向如图所示。因AMO为等腰三角形，故M点的弧坐标为:(+)MABORR4.1 点的运动学 (39)(39)第40页/共75页41因 AM=2Rcos=ut，故=cos-1(ut/(2R)。而vM点的运动方程为:故:MABORRM点的速度为:4.1 点的运动学 (40)(40)例题例题 4-3(4-3(续续1)1)第41页/共75页42M点的切向和法向加速度为:anaa(+)MABORRM点的全加速度a的大小和方向为:4.1 点的运动学 (41)(4

20、1)例题例题 4-3(4-3(续续2)2)第42页/共75页43例题例题 4-44-4 如图所示，点P沿螺旋线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比。关于该点的运动，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的：(A)速度越来越快；(B)速度越来越慢；(C)加速度越来越大；(D)加速度越来越小。解：解：因为点的运动轨迹的弧长s与时间t的一次方成正比，故有：式中k为比例常数。速度分析：4.1 点的运动学 (42)(42)第43页/共75页44可见该点作匀速运动。但由于运动轨迹是曲线，速度的方向不断改变，还需作加速度分析:全加速度a为:当点由外向内运动时，运动轨迹的曲率半径逐渐变小，所以加速度a越

21、来越大，正确的答案是(C)。4.1 点的运动学 (43)(43)例题例题 4-4(4-4(续续)第44页/共75页454.2 刚体的简单运动 (1)(1)平移平移 刚体运动时，若其上任意直线永远平行于其初始位置，则这种运动称为刚体的平平行行移移动动(translation)(translation)，简称平平移移或平平动动。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。根据刚体和平移的定义，rBA 为常矢量：第45页/共75页464.2 刚体的简单运动 (2)(2)平移平移 刚体作平移时，若体内各点的轨迹是直线，则称为直直线线平平移移；若体内各点

22、的轨迹是曲线，则称为曲线平移曲线平移。平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点(例如质心)的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。第46页/共75页474.2 刚体的简单运动 (3)(3)平移平移平移的实例第47页/共75页484.2 刚体的简单运动 (4)(4)平移平移平移的实例第48页/共75页494.2 刚体的简单运动 (5)(5)平移平移平移的特点平移的特点 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分

23、析。第49页/共75页504.2 刚体的简单运动 (6)(6)定轴转动定轴转动 刚体运动时，若其上(或其扩展部分)有一条直线始终保持不动，则称这种运动为定定轴轴转转动动(fixedaxis(fixedaxis rotation)rotation)。这条固定的直线称为转转轴轴，简称轴轴。轴线上各点的速度和加速度均恒为零，其它各点均围绕轴线作圆周运动。电机转子、机床主轴、传动轴等的运动都是定轴转动的例子。第50页/共75页51 如果研究位于定系中的平面刚体绕垂直于纸面的轴O（图上未示出的轴z）转动，则取与刚体固结并通过轴O的任意直线OP，以OP与定坐标轴Ox之间的夹角为坐标。于是，转转角角 随时间

24、t的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转动的运动方程运动方程为：定轴转动刚体xyOP 转角 的单位为弧度(rad)。规定从转轴的正向向负向看，逆时针方向为正，反之为负。4.2 刚体的简单运动 (7)(7)定轴转动定轴转动 第51页/共75页52 刚体的角角速速度度(angular(angular velocity)velocity)与角角加加速度速度(angular acceleration)(angular acceleration)分别为：定轴转动刚体xyOP4.2 刚体的简单运动 (8)(8)定轴转动定轴转动 与的单位分别为 rad/s和rad/s2。如果 与 同号，则转动是加速的；

25、如果 与 异号，则转动是减速的。第52页/共75页534.2 刚体的简单运动 (9)(9)定轴转动定轴转动 在工程上，转动的快慢还常常用每分钟的转数n来表示，称为转转速速，单位为转/分(rpm)。角速度与转速的换算关系为：两种特殊情况：两种特殊情况：(1)(1)匀速转动匀速转动 =常量，=0，其转角方程为 =0+t其中0 是 t=0 时的转角。第53页/共75页54定轴转动定轴转动(2)匀变速转动 与匀变速曲线运动类似，=常量，其速度方程、转角方程和轨迹方程分别为其中 0 和0 分别是 t=0 时的角速度和角加速度。4.2 刚体的简单运动 (10)(10)第54页/共75页554.2 刚体的简

26、单运动 (11)(11)例题例题 4-5 4-5 计算机硬盘驱动器的马达以匀变速转动，启动后为了能尽快达到最大工作转速，要求在3s内转速从0增加到3000r/min，求马达的角加速度及转过的转数。解：解：马达的角速度：因马达作匀变速转动，故马达的角加速度为：第55页/共75页564.2 刚体的简单运动 (12)(12)例题例题 4-5(4-5(续续)马达3s内转过的转角为：马达3s内转过的转数为：第56页/共75页57定轴转动刚体PxyOvaana4.2 刚体的简单运动 (13)(13)定轴转动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度 第57页/共75页584.2 刚体的简单运动 (14)(1

27、4)定轴转动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度 在每一瞬时，转动刚体内任一点的速度和加速度的大小都与该点到转动轴的距离成正比，且各点的全加速度与转动半径之间的夹角 都相同。定轴转动刚体a第58页/共75页594.2 刚体的简单运动 (15)(15)例题例题 4-64-6第59页/共75页604.2 刚体的简单运动 (16)(16)例题例题 4-6(4-6(续续1)1)已知：O1A=O2B=l；O1A杆的角速度 和角加速度。求：板中心C点的运动轨迹、速度和加速度。第60页/共75页614.2 刚体的简单运动 (17)(17)例题例题 4-6(4-6(续续2)2)解解：板运动过程中，其上任意

28、直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。1.运动轨迹 C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。2.速度 vC=vA=vB=l第61页/共75页624.2 刚体的简单运动 (18)(18)例题例题 4-6(4-6(续续3)3)3.加速度4.讨论 虽然平板上各点的运动轨迹均为圆，但是，平板并不作转动，而是作平面曲线平移。因此，在分析中，需要注意刚体运动与刚体上点的运动的区别。第62页/共75页634.2 刚体的简单运动 (19)(19)ACOBhv0例题例题 4-74-7 如图所示，杆AC以匀速v0沿水平导槽向

29、右运动，通过滑块A使长为l的杆OB绕O轴转动。已知O轴与导槽相距h，试求杆OB的角速度、角加速度及B点的速度和加速度(设开始时杆OB处于铅锤位置)。第63页/共75页64解：解：先建立A点的运动方程：ACOBhv0 设杆与铅垂线夹角为，则：将上式对时间 t 求导，得：求导公式：4.2 刚体的简单运动 (20)(20)例题例题 4-7(4-7(续续1)1)第64页/共75页65vBaB因此B点的速度、切向和法向加速度分别为：ACOBhv0aBn4.2 刚体的简单运动 (21)(21)例题例题 4-7(4-7(续续2)2)第65页/共75页66vBaBB点的全加速度为：ACOBhv0aBaBn4.

30、2 刚体的简单运动 (22)(22)例题例题 4-7(4-7(续续3)3)第66页/共75页674.2 刚体的简单运动 (23)(23)用矢量表示角速度与角加速度用矢量表示角速度与角加速度 考察三维定轴转动刚体 k角速度矢量、角加速度矢量：若刚体加速转动，则 与 同向；若刚体减速转动，则 与 反向。第67页/共75页684.2 刚体的简单运动 (24)(24)用矢积表示刚体上点的速度与加速度用矢积表示刚体上点的速度与加速度 考察三维定轴转动刚体第68页/共75页694.2 刚体的简单运动 (25)(25)用矢积表示刚体上点的速度与加速度用矢积表示刚体上点的速度与加速度 考察三维定轴转动刚体 定

31、轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即切向加速度与法向加速度。第69页/共75页704.3 结论与讨论 (1)(1)点的运动学的两类应用问题点的运动学的两类应用问题 第一类问题(微分问题)：已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。第二类问题(积分问题)：已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹第一类问题的反运算。第70页/共75页714.3 结论与讨论 (2)(2)描述点的运动的不同方法描述点的运动的不同方法l 变矢量法 结果简明，具有概括性，且与坐标选择无关。对于实际问题需将变矢量及导数表示成标量及导数的形式。l 直角坐标法 实际问题中，一种广泛

32、应用的方法。l 弧坐标法 应用于运动轨迹已知的情形，其最大特点是将速度矢量大小的变化率和方向变化率区分开来，使得数学表达式的含义更加清晰。第71页/共75页724.3 结论与讨论 (3)(3)刚体简单运动分析中要注意的几个问题刚体简单运动分析中要注意的几个问题l 根据刚体平移(包括直线平移和曲线平移)的特点，刚体平移运动分析可归结为其上一点的运动分析。因此点的运动分析是刚体平移运动分析的基础。l l 应该特别注意点的运动与刚体运动(注意刚体运动分类和定义及其特点)概念上的区别和联系，特别是定轴转动刚体的角速度、角加速度与刚体上任一点的速度和加速度含义的区别以及数值关系，并能熟练计算刚体上任一点的速度和加速度瞬时值。第72页/共75页734.3 结论与讨论 (4)(4)刚体简单运动分析中要注意的几个问题刚体简单运动分析中要注意的几个问题l 要将计算结果与点的运动性质联系起来。例如，对于图示之瞬时点的运动，请判断：在图中所示之几种速度与加速度的情形下，点在图示瞬时的运动性质。a 0a=0,an 0a 0,an=0不可能实现不可能实现第73页/共75页74本章作业 4 34 54 84 10第74页/共75页范钦珊著：理论力学/第4章75感谢您的观看！第75页/共75页