理论力学质点动力学教学详解.pptx

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1、动力学的任务动力学的任务：动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一研究作用于物体的力和物体运动之间的一般关系般关系.动力学的分类动力学的分类质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学动力学动力学质点系质点系-一群具有某种联系的质点称为质点系一群具有某种联系的质点称为质点系,刚体可以看刚体可以看成不变形的质点系。成不变形的质点系。质点质点-是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。第1页/共55页质点动力学基础质点运动微分方程质点动力学的基本问题质点的相对运动微分方程第2页/共55页动力学的基本定律惯性定律质点如不受力作用,则保持其运动状

2、态不变,即作直线匀速运动或者静止。力与加速度关系定律质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同,其大小与力成正比而与质量成反比。作用力与反作用力定律任何两个质点相互作用的力,总是大小相等方向相反,沿同一直线同时并分别作用在这两个质点上。第3页/共55页动力学的基本定律力的独立作用定律几个力同时作用于一个质点时所引起的加速度,等于每个力单独作用于这个质点时所引起的那些加速度的矢量和。第4页/共55页质点运动微分方程第5页/共55页质点动力学基本方程以 m 代表质点的质量,以 F 代表该质点所受的力,a 代表它在 F 作用下获得的加速度,则第二定律可以表示成ma=F即,质点的质量与加速度的乘积,

3、按大小与方向,等于所受的力。上式称为质点动力学基本方程。第6页/共55页 设有可以自由运动质点设有可以自由运动质点 M，质量，质量是是 m，作用力的合力是，作用力的合力是 F，加速度是，加速度是 a。这就是这就是质点的运动微分方程的矢量形式质点的运动微分方程的矢量形式矢量形式x xy yz zr rMMF Fa aO第7页/共55页把上式投影到固定直角坐标系把上式投影到固定直角坐标系 Oxyz 的各轴的各轴,得得 Fx,Fy,Fz 是作用力是作用力 F 的合力法各轴上的投影的合力法各轴上的投影.上式是上式是质质点运动微分方程的直角坐标形式点运动微分方程的直角坐标形式.直角坐标形式x xy yz

4、 zr rMMF Fa aO第8页/共55页 如采用自然轴系如采用自然轴系 Mnb,并把上式向并把上式向各轴投影各轴投影,可得可得式中式中是加速度是加速度 a 在切线在切线,主法线和副法线正向的投影主法线和副法线正向的投影;F,Fn 和和 Fb 是合力是合力 F 在相应轴上的投影在相应轴上的投影.上式式就是上式式就是质点运动微分方程质点运动微分方程的自然形式的自然形式.x xy yz zr rMMF Fa aO On n b b自然形式第9页/共55页质点动力学的基本问题第10页/共55页由由微微分分方方程程可可以以解解决决自自由由质质点点动动力力学学的的两两类类问问题题.第第一一类类问问题题

5、:已已知知运运动动,求求力力;第第二类问题二类问题:已知力已知力,求运动求运动.解解决决第第一一类类问问题题,只只需需根根据据质质点点的的已已知知运运动动规规律律 r =r (t),通通过过导导数数运运算算,求求出出加加速速度度,代代入入左左边边各各式式，即得作用力即得作用力 F.求解第二类问题求解第二类问题,是积分过程是积分过程.必须注意必须注意,在求解第二类问题时在求解第二类问题时,方程的积分中要出现积分常数方程的积分中要出现积分常数,为了完全确定质点的运动为了完全确定质点的运动,必须必须根据运动的初始条件定出这些积根据运动的初始条件定出这些积分常数分常数.mm a a=F F质点动力学基

6、本问题第11页/共55页解题步骤根据题意适当选取某质点或物体作为根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象研究对象。根据运动特点根据运动特点选取坐标系选取坐标系。若需要建立运动微分方。若需要建立运动微分方程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动量之间的关系。量之间的关系。受力分析，画受力分析，画受力图受力图。建立建立动力学方程组动力学方程组并求解。并求解。第12页/共55页设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度a 上升上升,求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重G 的物的物块块M 对地板的压力。对地板的压力。解解:将物体将物体 M 看称自由质点看称

7、自由质点,它受重力它受重力 G 和和地板反力地板反力 N 的作用。的作用。ma ma=N N G G注意到注意到 m=G/g,则由上式解得则由上式解得MMNaGx例题1第13页/共55页MMNaGx上式第一部分称为上式第一部分称为静压力静压力，第二部，第二部分称为附加分称为附加动压力动压力，N称为称为动压动压力力。令令则则n1,动压力大于静力，这种现象称为超重超重。n1,动压力小于静力，这种现象称为失重失重。例题1第14页/共55页磅秤指针如何变化磅秤指针如何变化？思考第15页/共55页磅秤指针如何变化磅秤指针如何变化？思考第16页/共55页单摆单摆 M 的摆锤重的摆锤重 G,绳长绳长 l,悬

8、于固定点悬于固定点 O,绳的质量不计绳的质量不计.设开始时绳与铅垂线成偏角设开始时绳与铅垂线成偏角 0 /2,并被无初速释放并被无初速释放.求绳求绳中拉力的最大值中拉力的最大值.例题2第17页/共55页解解:任意瞬时任意瞬时,质点的加速度在切向和法向的质点的加速度在切向和法向的投影为投影为写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程OOMMMM0 0 0 0OOMMMM0 0 0 0N NGGanat例题2第18页/共55页 考虑到考虑到考虑到考虑到则式则式(1)化成化成对上式采用定积分对上式采用定积分,把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限从而得从而得把式把式(4)代入

9、式代入式(2),有有N N=GG(3cos(3cos 2cos 2cos 0 0)显然显然,当质点当质点 M 到达最低位置到达最低位置=0时时,有最大值有最大值.故故 N Nmaxmax=GG(3(3 2cos 2cos 0 0)OOMMMM0 0 0 0N NGGa an na at t例题2第19页/共55页粉粉碎碎机机滚滚筒筒半半径径为为R，绕绕通通过过中中心心的的水水平平匀匀速速转转动动，筒筒内内铁铁球球由由筒筒壁壁上上的的凸凸棱棱带带着着上上升升。为为了了使使铁铁球球获获得得粉粉碎碎矿矿石石的的能能量量，铁铁球球应应在在=0 时时（如如图图）才才掉掉下下来来。求求滚滚筒筒每每分分钟钟

10、的的转转数数n。0 0n n例题3第20页/共55页 视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。质质点点在在上上升升过过程程中中，受受到到重重力力mg、筒壁的法向反力筒壁的法向反力FN和切向反力和切向反力F的作用。的作用。mmg gF FN NF F解解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投列出质点的运动微分方程在主法线上的投列出质点的运动微分方程在主法线上的投列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式影式影式影式 质点在未离开筒壁前的速度等于

11、筒壁的速质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即度。即 n n例题3第21页/共55页于是解得于是解得 当当=0时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时FN=0，于，于是得是得 显然，显然，越小，要求越小，要求n 越大。当越大。当 时，时，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。碎矿石的作用。mmg gF FN NF F例题3第22页/共55页质质量量是是 m 的的物物体体 M 在在均均匀匀重重力力场场中中沿沿铅铅直直线线由由静静止止下下落落,受受到到空空气气阻阻力力的的作作用用.假假定定阻阻力力 R 与与速速度

12、度平平方方成成比比例例,即即 R=v2,阻阻力力系系数数 单单位位取取 kg/m,数数值值由由试试验验测测定定.试试求求物物体体的运动规律的运动规律.解解:取坐标轴取坐标轴 Ox 铅直向下铅直向下,原点在物体的初始位置原点在物体的初始位置.写出物写出物体体 M 的运动微分方程的运动微分方程加速度为零时加速度为零时以以 m 除式除式(1)两端两端,并代入并代入 u 的值的值,得得xxR RGGv v例题4第23页/共55页分离变量分离变量,并取定积分并取定积分,有有 由上式求解由上式求解v,得得于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为th 是双曲正切是双曲正切例题4第24

13、页/共55页于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律为了求出物体的运动规律,只需把只需把(3)再积分一次再积分一次,有有例题4第25页/共55页弹簧质量系统，物块的质量为弹簧质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k,物物块自平衡位置的初始速度为块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。求物块的运动方程。l l0 0mmk kv v0 0例题5第26页/共55页 解：解：这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故为第二类动力求运动规律，故为第二类动力学问题。学问题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立

14、Ox坐标系，将坐标系，将物块置于任意位置物块置于任意位置 x 0 处。物块在处。物块在 x 方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力Fk x i。根据直角坐标系中的质点运动微分方程根据直角坐标系中的质点运动微分方程x xx xOOmmk kF Fl l0 0mm例题5第27页/共55页x xx xOOmmk kF Fl l0 0mm例题5第28页/共55页l l0 0mmk kv v0 0弹簧质量系统，物块的质量为弹簧质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k,物物块自平衡位置的初始速度为块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。求物块的运动方程。例题6第29页/共55页解：解

15、：这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，求运动规律，故为第二类动力学问题。故为第二类动力学问题。以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后作用下变形后的平衡的平衡位置为原点建立位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于坐标系，将物块置于任意位置任意位置 x 0 处。处。x xmmk kx xOOl l0 0ststF FWW 物块在物块在 x 方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力Fk x i 和重力和重力Wmgi。根据直角坐标系中的质根据直角坐标系中的质点运动微分方程：点运动微分方程：例题6第30页/共55页0 00,0,;0 00 0v vx xt tx xt t=&,0 0,)sin(sin

16、(t tA Ax x+=x xmmk kx xOOl l0 0ststF FWW例题6第31页/共55页l l0 0mmk kv v0 0l l0 0 x xx xOOmmk kv v0 01、重力、重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。2、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程的影响，这一问题请同学们自己研究。的影响，这一问题请同学们自己研究。计算结果分析第32页/共55页非惯性参考系中的质点动力学基本方程第33页/共55页设已知坐标系设已知坐标系 O O1 1x x1 1y

17、 y1 1z z1 1 对于基础坐标系对于基础坐标系 Oxyz Oxyz 进行着某种运进行着某种运动。动。以以 F F 和和 N N 代表作用于质点代表作用于质点 M M 的主动力和约束力的主动力和约束力 对于基础坐标系对于基础坐标系 Oxyz Oxyz，有，有m m a aa a=F F+N N 由运动学知，绝对加速度由运动学知，绝对加速度 a aa a 等于牵等于牵连加速度连加速度 a ae e ，相对加速度，相对加速度 a ar r 和科和科氏加速度氏加速度 a aC C 三者的矢量和。即三者的矢量和。即a aa a=a ae e+a ar r+a aC CMarxyzOy1z1O1ae

18、aaakvrx1质点的相对运动微分方程第34页/共55页则则mar=F+N+FIe+FIC 这就是这就是质点的相对运动微分方程质点的相对运动微分方程，又叫，又叫质点相质点相对运动的动力学基本方程对运动的动力学基本方程。FIe和和 FIC 分别称为质分别称为质点的点的牵连惯性力牵连惯性力和和科氏惯性力科氏惯性力，通称为，通称为欧拉惯性欧拉惯性力力。得得m(ae+ar+aC)=F+N令令FIe=mae,FIC=maCa aa a=a ae e+a ar r+a aC C质点的相对运动微分方程MarxyzOy1z1O1aeaaakvrx1第35页/共55页 这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系这时

19、质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度的绝对加速度.1.相对于平动坐标系的运动相对于平动坐标系的运动mma ar r=F F+N N+F FIeIe2.相对于惯性坐标系的运动相对于惯性坐标系的运动 mma ar r=F F+N N 设动坐标系设动坐标系 O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 本身在基础坐标系中作平动。在此本身在基础坐标系中作平动。在此情况下，没有科氏加速度和对应的科氏惯性力，故情况下，没有科氏加速度和对应的科氏惯性力，故 设动坐标系设动坐标系 O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 本身对于基础坐标系本身对于基础坐标系 Oxyz Oxyz 作匀作匀

20、速直线运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零，故速直线运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零，故讨论几种特殊情形第36页/共55页质点在动坐标系中相对平衡，质点在动坐标系中相对平衡，ar=0，有，有F+N+FIe+FIC=0 即，当质点处于相对平衡当质点处于相对平衡(匀速直线运动匀速直线运动)时，作时，作用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力、科氏用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力、科氏惯性力组成平衡力系。惯性力组成平衡力系。质点在动坐标系中相对静止，质点在动坐标系中相对静止，vr=0，ar=0，则科氏加，则科氏加速度速度aC=0，科氏惯性力，科氏惯性力 FIC也等于零。有也等于零。有F+N+FI

21、e=0 即，即，当质点处于相对静止时，作用在质点的主当质点处于相对静止时，作用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力组成平衡力系。动力，约束力和牵连惯性力组成平衡力系。3.相对平衡和相对静止相对平衡和相对静止讨论几种特殊情形第37页/共55页设车厢以匀加速度 a 沿水平直线轨道由静止开始向右行驶。求当车刚开时，由车厢棚顶 M0 处自由落下的质点 M 的相对运动。例题7第38页/共55页解解:取动坐标系 O1x1y1z1 固连车厢。因为动坐标系作直线平动,有 mar=G+FIe (1)FIe=mae,方向与车厢加速度a 相反把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程即例题7第39页/共55页

22、当t=0 时,把式(2)积分，并利用初始条件(3)确定积分变量，求得质点得相对运动规律为消去时间t 后，得到相对轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。根据所选坐标系，质点运动的初始条件写成例题7第40页/共55页装在圆盘上的胶带的变形分析装在圆盘上的胶带的变形分析工程实例第41页/共55页在北半球的南北向河流冲刷河岸分析在北半球的南北向河流冲刷河岸分析工程实例第42页/共55页在北半球的南北向河流冲刷河岸分析在北半球的南北向河流冲刷河岸分析工程实例第43页/共55页北半球向东发射炮弹偏右现象北半球向东发射炮弹偏右现象工程实例第44页/共55页工程实例第45页/共55页工程实例第46页/共5

23、5页工程实例第47页/共55页细管 AB 以匀角速度 绕铅直轴 O1z1 转动,管内放一质量是 m 的光滑小球 M.欲使小球在管内任何位置处于相对静止,或沿管作匀速相对运动,则细管应在铅直平面 O1y1z1 内弯成何种曲线?小球相对静止小球相对静止小球作匀速相对运动小球作匀速相对运动例题8第48页/共55页解解:设细管弯成图示形状.实际作用于小球的力有重力G 和管壁的法向反力N.此外,当研究小球M 相对与转动坐标系O1y1z1 的运动时,还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力.小球牵连惯性力 FIe的大小等于 FIe=m 2|y1|,其方向水平而背离铅直转轴 O1z1。科氏惯性力 FIC 方向垂

24、直于相对速度 vr 和转轴 O1z1，即垂直于 O1y1z1平面;当相对静止时,vr=0,因而FIC=0.MMy y1 1z z1 1O O1 1c c A AB B GGF FI Ie eN Na ae e例题8第49页/共55页当小球相对于细管作匀速运动时,相对加速度ar 的方向垂直于细管曲线的切线。m ma ar r=G G +N N+F FIe Ie+F FICIC投影到细管曲线的切线方向,则得 FIe G=0即 my12cos mgsin =0其中 是切线对O1y1 轴的倾角,由此求得切线的斜率 求出积分,并确定积分常量,得式中,c 是细管最低点的纵坐标,如图所示.可见细管应弯成抛物

25、线形状.把相对运动的动力学基本方程例题8MMy y1 1z z1 1O O1 1c c A AB B GGF FIe eN Na ae e第50页/共55页一质量是 m 的小环 M 套在半径是 R 的光滑圆环上,并可沿大圆环滑动,而大圆环在水平面内以匀角速度 绕通过点 O 的铅垂轴转动.在初瞬时,=0,=2,试写出小环 M 相对于大圆环的运动微分方程,并求出大圆环对小环M 的约束力.例题9第51页/共55页解解:取动坐标系与大圆环固连,小环M 相对于大圆环的位置用弧坐标s=R表示.作用与小环M 的力有大圆环的约束力N.为了写出小环的相对运动微分方程,还要加上相应的牵连惯性力FIe 和科氏惯性力FIC.例题9OOC COO RMM FIeNFIC第52页/共55页式中由式(1)得这就是小环M 相对于大圆环的运动微分方程.应用循环变换 将式(a)的变量分离并代入初始条件进行积分写出小环相对运动微分方程在相对切向和法向的投影例题9OOC COO RMM FIeNFIC第53页/共55页于是有 而所以,大圆环对小环的约束力为将上式代入式得OOC COO RMM FIeNFIC例题9第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页