理论力学刚体力学.pptx

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1、第三章第三章 刚体力学刚体力学 刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。第1页/共103页3.2 角速度矢量3.1 刚体运动的分析 第三章 刚体力学 3.3 欧勒角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量 3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的运动 3.9 重刚体绕固定点转动的解 3.10 拉莫尔进动 第2页/共103页3.1 刚体运

2、动的分析 1.1.描写刚体位置的独立变量描写刚体位置的独立变量质点3个变量质点组3n个变量第3页/共103页A确定刚体在空间的位置，需要几个变量？CB6个变量可以确定刚体位置第4页/共103页2.2.刚体运动的分类刚体运动的分类平动的独立变量为三个平动的独立变量为三个1）平动第5页/共103页定轴转动的独立变量只有一个定轴转动的独立变量只有一个2）定轴转动世界最大的摩天轮“伦敦眼”第6页/共103页平面平行运动的独立变量有三个平面平行运动的独立变量有三个3）平面平行运动第7页/共103页 定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转

3、确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。动的角度。4）定点转动第8页/共103页Euler定理 定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。第9页/共103页5）一般运动(Chasles定理)刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动，即刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动刚体一般运动的独立变量有六个刚体一般运动的独立变量有六个第10页/共103页有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律3.2 角速度矢量1.1.有限转动与无限小转动有限转动与无

4、限小转动第11页/共103页无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律证明位移矢量平面若是矢量它应当满足矢量加法交换律第12页/共103页2）转动 后：1）转动前：3）再转动 后：不计二阶微量，则有交换转动次序，则有已知对线位移，有即可得第13页/共103页2.2.角速度矢量角速度矢量第14页/共103页角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）关）第15页/共103页正交变换正交变换 对于作定点运动的刚体，如何描述其转轴的取向？一种可行的方法是，对于作定点运动的刚体，如何描述其转轴的取向？一种可行的方法是，以定点以定点O为原点，建立两个坐标系：一个固定在地球

5、上，称为空间坐标系或静为原点，建立两个坐标系：一个固定在地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，也叫随体坐标系或体轴坐止坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间坐标系的取向就代表标系。后者可以看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取向。了刚体在空间中的取向。3.3 3.3 欧勒角欧勒角第16页/共103页第17页/共103页第18页/共103页第19页/共103页转动矩阵的性质：转动矩阵的性质：第20页/共103页第21页/共103页第22页/共103页第

6、23页/共103页第24页/共103页第25页/共103页第26页/共103页张量张量第27页/共103页第28页/共103页第29页/共103页求证求证C C为一张量为一张量第30页/共103页第31页/共103页讨论阶数讨论阶数N N取几种特定值的张量取几种特定值的张量第32页/共103页第33页/共103页第34页/共103页第35页/共103页第36页/共103页 用用9 9个方向余弦描述刚体的定点转动引入了个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗余的参数，实际上只需要用冗余的参数，实际上只需要用3 3个独立的参数个独立的参数就可以确定它在任何一个时刻的位形。在文就可以确定它在任何一个时刻

7、的位形。在文献中可以找到多种对这组参量的描述，但最献中可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的是有用的是欧勒角。现在，我们来引入这些角欧勒角。现在，我们来引入这些角欧勒角。现在，我们来引入这些角欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用它们来表示变换矩阵。度，并用它们来表示变换矩阵。度，并用它们来表示变换矩阵。度，并用它们来表示变换矩阵。1.1.欧勒角欧勒角第37页/共103页节线ON进动角自转角章动角Z轴位置由，角决定第38页/共103页第39页/共103页第40页/共103页 将将3 3个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系间系 到本体系的变换矩阵

8、到本体系的变换矩阵第41页/共103页第42页/共103页第43页/共103页2.2.欧勒运动学方程欧勒运动学方程第44页/共103页第45页/共103页第46页/共103页1.力系的简化3.4 刚体运动方程与平衡方程力的作用线不能随意移动力的可传性原理第47页/共103页共点力系的简化 平行四边形法则共面非平行力系的简化 力的可传性原理+平行四边形法则平行力系的简化 合力的量值和方向由代数和确定 合力的作用线用力矩关系确定 （合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸 分力对同一轴线力矩的代数和相等）第48页/共103页力偶矩第49页/共103页空间力系的简化空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩

9、既不平行又不汇交的力第50页/共103页2.2.刚体运动微分方程刚体运动微分方程质心的运动方程质心的运动方程对质心的角动量定理对质心的角动量定理思路 将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩。第51页/共103页6个方程正好确定刚体的6个独立变量动能定理可作为辅助方程第52页/共103页3.3.刚体平衡方程刚体平衡方程对共面力系，有第53页/共103页例 p171，如图，求A处的摩擦系数。解 是共面力系的平衡问题 解出第54页/共103页1.刚体的动量矩3.5 转动惯量刚体对O点的动量矩第55页/共103页第56页/共103页令有第57页/共103页第58页/共103页2.刚体的转动

10、动能第59页/共103页3.转动惯量转动惯量第60页/共103页令回转半径平行轴定理第61页/共103页4.惯量张量和惯量椭球对质量连续分布的刚体，转动惯量轴转动惯量惯量积注意 刚体绕不同轴转动，转动惯量不同至转动瞬轴的垂直距离是否有简单的计算公式？第62页/共103页因为由可得上式也可用惯量张量表出第63页/共103页 一般说来，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选一般说来，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选择有关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化。择有关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化。第64页/共103页惯量椭球方程在转动轴上取线段Q点的坐

11、标利用得到第65页/共103页 在各种本体坐标系中，有一类特别重要，就是主轴坐标系。惯量张量矩在各种本体坐标系中，有一类特别重要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在主轴坐标系中简单地取对角形式。阵在主轴坐标系中简单地取对角形式。5.惯量主轴及其求法第66页/共103页第67页/共103页 这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的3 3个互相个互相垂直的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主转动惯量。由初始坐标系到主轴垂直的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系的正交变换称为主轴变换。坐标系的正交变换称为主

12、轴变换。第68页/共103页一般坐标系下的惯量椭球若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球动能和角动量简化为第69页/共103页一般坐标系下的惯量椭球主轴坐标系下的惯量椭球第70页/共103页惯量主轴的求法 从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，或者线性代数里求本征值的方法。在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性方便地求出。x轴对称(x为主轴)x轴对称 xy面对称 xy面对称(z为主轴)第71页/共103页例 均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。p182解 （A）直接用定积分第72页/共103页解 （B）用计算第73页/共103页解 （C）取惯量主轴为

13、坐标轴第74页/共103页3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 1.刚体平动2.定轴转动 定轴转动时只有一个变量，用角位移就可以确定刚体位置。第75页/共103页定轴转动动力学方程转动方程机械能守恒第76页/共103页例 复摆解 运动微分方程由转动方程周期第77页/共103页讨论等值单摆长若以O为悬点振动周期第78页/共103页3.定轴转动轴上的附加力 刚体作定轴转动，可看作是AB两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。第79页/共103页第80页/共103页第81页/共103页为平衡方程，可求静约束反力。为运动方程，可求动约束反力。第82页/共1

14、03页要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有 该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和Izx同时为零，即重心在转动轴（惯量主轴）上。第83页/共103页 例 2 涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角1o巳知涡轮圆盘质量为20千克，半径r=0.2米，重心O在转轴上，O至两轴承A与B的距离各为a=b0.5米设轴以12000转分的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力。解 因是几何对称轴，而重心O在转轴上，故以O为参考点第84页/共103页第85页/共103页解出代入数据得附加压力静压力为静约束反力动约束反力第86页/共103页平面平行运动 刚体中的任一点始终在平

15、行于某固定平面 的平面内运动。3.7 刚体的平面平行运动1.平面平行运动运动学平面平行运动=基点平动+绕基点的转动第87页/共103页加速度表达式P点对O点的绝对加速度A点相对O点加速度P点的相对A点加速度在固定参考系的表示第88页/共103页 刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度为零，称为转动瞬心。2.转动瞬心对实验室坐标系对固着刚体坐标系第89页/共103页 利用转动瞬心C与刚体上任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心ABC转动瞬心的求法 转动瞬心C在固定平面xy上的轨迹称为空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨迹称为本体极迹。刚体的运动是本体极迹在空间极迹上的无滑滚动。例如车

16、轮在轨道上的滚动。第90页/共103页 例1 试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。转动瞬心空间极迹本体极迹解 第91页/共103页第92页/共103页3.平面平行运动动力学 平面平行一般分解为绕过质心C点的轴的转动和质心C的平动。若外力只有保守力作功，刚体的机械能守恒质心平动动能绕质心轴转动动能质心运动方程绕过质心轴的转动方程第93页/共103页例2 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。COmgNfOyxC解 （A）机械能守恒定律动能势能机械能求微商，得实心圆柱体空心圆柱体不能求约束反力第94页/共103页质心C点的平动方程：绕质心C点的转动方程：联立方程

17、可求得：COmgNfOyxC解 （B）运动定理第95页/共103页刚体定点转动的例子3.8 刚体绕固定点的运动 陀螺常平架第96页/共103页1.刚体定点转动运动学 定点转动的独立变量有三个，其中两个定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。动的角度。定点转动时，转动轴的方向随时间变化，转动瞬轴在空间描绘的锥面称空间极面，在刚体内描绘的锥面称本体极面。定点转动时，一个角速度矢量（有三个分量）就足以描述刚体运动。第97页/共103页转动加转动加速度速度向轴加向轴加速度速度速度加速度第98页/共103页解：解：这个是一般运动问题 例 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB l，螺旋桨自身旋转的角速度为1。因此，B点的速度为：第99页/共103页B B点的加速度为：点的加速度为：第100页/共103页2.刚体定点转动动力学方程基本方程将坐标系固着于刚体，则但为什么？取惯量主轴为坐标轴，有第101页/共103页欧勒动力学方程欧勒运动学方程机械能守恒第102页/共103页感谢您的观看！第103页/共103页