求代数方程的近似根解精.ppt

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1、求代数方程的近似根解求代数方程的近似根解第1页，本讲稿共27页1l 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一多应用领域中不可避免的问题之一l 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要解决，至少可以满足实际需要l 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：

2、对分法对分法，不动点迭代法不动点迭代法 和和 牛顿法牛顿法。同时要求大家学会如何利用。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解来求方程的近似解q 问题背景和实验目的问题背景和实验目的代数方程近似求解代数方程近似求解第2页，本讲稿共27页2相关概念相关概念l 如果如果 f(x)是一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方程线性方程；否；否则称之为则称之为非线性方程非线性方程q 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程本实验主要讨论本实验主要讨论非线性方程非线性方程的数值求解的数值求解第3页，本讲稿共27页3主要内容主要内容n 对分法对分法q 本实验讨论的数值算

3、法本实验讨论的数值算法n 牛顿迭代法牛顿迭代法l 不动点迭代一般形式不动点迭代一般形式l 松弛加速迭代法松弛加速迭代法n 不动点迭代法不动点迭代法第4页，本讲稿共27页4q 基本思想基本思想对分法对分法将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止q 适用范围适用范围求有根区间内的求有根区间内的 单重实根单重实根 或或 奇重实根奇重实根q 数学原理：数学原理：介值定理介值定理设设 f(x)在在 a,b 上连续，且上连续，且 f(a)f(b)0，则由介值定理，

4、则由介值定理可得，在可得，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f()=0第5页，本讲稿共27页5q 具体步骤具体步骤对分法对分法设设 f(x)在区间在区间 a,b 内连续，且内连续，且 f(a)f(b)0。对于给定的精度要求对于给定的精度要求 ，若有，若有|f(z)|，则则 z 就是我们所就是我们所需要的需要的 f(x)=0 在区间在区间 a,b 内的内的 近似根近似根例例：用对分法求：用对分法求 x3-3x+1=0 在在 0,1 中的解。（中的解。（fuluA.m）(1)令令 x=(a+b)/2,计算计算 f(x)(2)若若|f(x)|，则停止计算，输出近似解，则停止计算，输

5、出近似解 x(3)若若 f(a)f(x)0，则令，则令 b=x;否则令否则令 a=x(4)返回第一步返回第一步第6页，本讲稿共27页6q 收敛性分析收敛性分析对分法收敛性对分法收敛性设方程的根为设方程的根为 x*(ak,bk)，又，又 ，所以，所以0(k )对分法总是收敛的对分法总是收敛的l 对分法的收敛速度通常对分法的收敛速度通常较慢较慢l 对分法通常用来试探实根的对分法通常用来试探实根的分布区间分布区间，或给出根的一个较，或给出根的一个较为为粗糙的近似粗糙的近似根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列间序列 ak,bk ，在，在

6、(ak,bk)中含有方程的根。中含有方程的根。第7页，本讲稿共27页7主要内容主要内容n 对分法对分法q 本实验讨论的数值算法本实验讨论的数值算法n 牛顿迭代法牛顿迭代法l 不动点迭代一般形式不动点迭代一般形式l 松弛加速迭代法松弛加速迭代法n 不动点迭代法不动点迭代法第8页，本讲稿共27页8不动点迭代法不动点迭代法q 基本思想基本思想u 构造构造 f(x)=0 的一个等价方程：的一个等价方程：u 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 k=0,1,2,.(x)的不动点的不动点f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的零点的零点第9页，本讲

7、稿共27页9u 若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x)连续，则连续，则q 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛性迭代法的收敛性即即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！注：若得到的点列发散，则迭代法失效！第10页，本讲稿共27页10q 定义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断如果存在如果存在 x*的的某个某个 邻域邻域 =(x*-,x*+),使得对使得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+1=(xk)都收敛都收敛,则称该迭代则称该迭代法在法在 x*附近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理：已知方程已知方程 x=(x)，且且(1)对对 x a,b，有有 (x)a,b；(2)对对 x a,b，有

8、有|(x)|q p=2,-1,0,3;x=roots(p)例：例：已知已知 p=2x3-x2+3，求，求 p(x)的零点的零点 q 多项式多项式的零点的零点第20页，本讲稿共27页20线性方程组求解线性方程组求解q 线性方程组求解线性方程组求解linsolve(A,b)：解线性方程组解线性方程组 Ax=b 例：例：解方程组解方程组 A=1 2-1;1 0 1;1 3 0;b=2;3;8;x=linsolve(A,b)b 是列向量！是列向量！第21页，本讲稿共27页21非线性方程的根非线性方程的根q 非线性方程的非线性方程的数值数值求解求解fzero(f,x0)：求方程求方程 f=0 在在 x0

9、 附近的根附近的根l 方程可能有多个根，但方程可能有多个根，但 fzero 只给出只给出 x0 附近的一个附近的一个l fzero 先找出一个包含先找出一个包含 x0 的区间，使得的区间，使得 f 在这个区间两个端在这个区间两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程 f=0 的根；如的根；如果找不到这样的区间，则返回果找不到这样的区间，则返回 NaNl x0 是一个标量，为参考点，不能缺省是一个标量，为参考点，不能缺省l 由于由于 fzero 是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因此它无是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因此它无法确定函数曲线仅

10、触及横轴但不穿越的零点，如法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如|sin(x)|的的所有零点所有零点第22页，本讲稿共27页22非线性方程的根非线性方程的根q fzero 的另外一种调用方式的另外一种调用方式fzero(f,a,b)l 方程在方程在 a,b 内可能有多个根，但内可能有多个根，但 fzero 只能求一个只能求一个l 求方程求方程 f=0 在在 a,b 区间内的根。区间内的根。q 参数参数 f 可通过以下方式给出：可通过以下方式给出：l 字符串：字符串：l 内联函数：内联函数：f 不是方程，即不含等号！不是方程，即不含等号！f=inline(x3-3*x+1);fzero(f,

11、2)fzero(x3-3*x+1,2)第23页，本讲稿共27页23 fzero(sin(x),10)fzero(sin,10)fzero(x3-3*x+1,1)fzero(x3-3*x+1,1,2)fzero(x3-3*x+1=0,1)X fzero(x3-3*x+1,-2,0)f=inline(x3-3*x+1);fzero(f,-2,0)用用 fzero 求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围例：例：fzero 举例举例第24页，本讲稿共27页24符号求解符号求解s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解求方程关于指定自变量的解s=solv

12、e(f)：求方程关于求方程关于默认自变量默认自变量的解的解l f 可以是用字符串表示的可以是用字符串表示的方程方程，或符号，或符号表达式表达式l 若若 f 是字符串，可以不含等号，表示解方程是字符串，可以不含等号，表示解方程 f=0l 若若 f 是符号表达式，是符号表达式，不能不能 含等号含等号例：例：解方程解方程 x3-3*x+1=0 syms x;f=x3-3*x+1;s=solve(f,x)s=solve(x3-3*x+1,x)s=solve(x3-3*x+1=0,x)q 非线性方程的非线性方程的符号符号求解求解第25页，本讲稿共27页25符号求解符号求解l solve 也可以用来解方程

13、组也可以用来解方程组solve(f1,f2,.,fN,v1,v2,.,vN)求解由求解由 f1,f2,.,fN 确定的方程组关于确定的方程组关于 v1,v2,.,vN 的解的解例：例：解方程组解方程组 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3,.x2+3*y2=28,x,y,z)输出变量的顺序要书写正确！输出变量的顺序要书写正确！solve 在得不到解析解时，会给出数值解在得不到解析解时，会给出数值解第26页，本讲稿共27页26上机作业上机作业1.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法和牛顿切线分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法和牛顿切线法，求方程法，求方程 0.5*x=sin(x)的正的近似根的正的近似根.2、已知多项式、已知多项式(a)求出求出 p(x)的所有零点；的所有零点；(b)用用 fzero 计算计算 p(x)的第二个零点的第二个零点3、求方程组、求方程组 的解的解第27页，本讲稿共27页27