正项级数的审敛准则精.ppt

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1、正项级数的审敛准则2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系1第1页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系2第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数项级数常数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数第2页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第1 1节节 常数项级数常数项级数1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则

2、第3页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系41.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.充要条件充要条件2.比较法比较法4.比值法比值法5.根值法根值法3.积分积分审敛审敛法法定义定义:这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.第4页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系5正项级数的特性正项级数的特性第5页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系61.1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定理定理1.21.2注第6页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院

3、 数学系7证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界2.比较比较审敛审敛法法定理定理1.31.3(比较准则比较准则I)I)第7页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系8不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法比较审敛法:须有参考级数须有参考级数.第8页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系9例例1证明证明第9页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系10例例2解解第10页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系11由图可知由图可知重要参考级数重要参考级数:几何级

4、数几何级数,P-P-级数级数,调和级数调和级数.第11页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系12再次强调：再次强调：第12页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系13例例3解解第13页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系143.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nna与与 =1nnb都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnb发

5、散发散,则则 =1nna发散发散;定理定理1.4 1.4(比较准则比较准则II)II)第14页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系15证明证明由比较判别法的推论由比较判别法的推论,得证得证.第15页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系16原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.解解第16页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系17第17页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系18第18页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系

6、19由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.解解?第19页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系204.柯西积分审敛法柯西积分审敛法定理定理1.51.5(积分准则积分准则)第20页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系21证明证明由图可知由图可知第21页，本讲稿共44页例例5 5 试证级数试证级数，当时收敛；当时收敛；当时发散。时发散。连续且单调减小（因为连续且单调减小（因为）证 设则函数则函数在区间在区间上满足上满足当 时当时发散第22页，本讲稿共44页2008年12月25日

7、南京航空航天大学 理学院 数学系23注第23页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系24第24页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系25证明证明第25页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系26第26页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系27比值比值审敛审敛法的优点法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.注第27页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系28解解例例5 5 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:第28页，本讲稿共4

8、4页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系29第29页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系306.根值审敛法根值审敛法(柯西柯西审敛审敛法法)第30页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系31级数级数 收敛收敛.第31页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系33反之未必反之未必!第33页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系34小结小结正项级数敛散性的正项级数敛散性的六个判敛散定理六个判敛散定理第34页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航

9、天大学 理学院 数学系352 2第35页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系36第36页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系372 2证明证明第37页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系38二、判敛散性二、判敛散性第38页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系39解解第39页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系40第40页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系41再用比值法或根值法！再用比值法或根值法！第41页，本讲稿共44页7.7.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:第42页，本讲稿共44页2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系43第43页，本讲稿共44页第44页，本讲稿共44页