汽轮机原理讲稿a刘.pptx

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1、1 6-1 6-1 叶片强度与振动叶片强度与振动一，叶片强度一，叶片强度一，叶片强度一，叶片强度 汽轮机的动叶片在工作时，作用在其上的力主要有两种：一是叶片随叶轮高速旋转，要承受叶片自身和围带、拉金的质量所产生的离心力，从而产生拉伸应力；二是蒸汽通过叶片通道时产生的汽流作用力，以产生弯曲应力。离心力除了产生拉伸应力之外，当离心力不通过计算截面形心时，由于偏心，还会产生弯曲应力。从喷嘴流出的汽流是不均匀的，对叶片形成的激振力，引起叶片振动，产生弯曲应力和扭转应力。离心力和汽流力作用点与弯曲中心不重合将引起扭转应力。另外，在机组启动、停机和负荷变动时，由于受热不均匀而存在温差，叶片还产生热应力。第

2、1页/共76页2 在进行叶片强度校核时，应分析各种不同的级有不同的最危险工况，选择其最危险工况进行分析计算。例如：调节级的危险工况是第一调节阀接近全开而第二调节阀尚未开启时；低压级的最危险则在最大蒸汽流量及真空最好之时；中间级是在最大蒸汽流量时最危险。高压级处于高温下，须考虑材料的热稳定及蠕变问题；低压级处于湿蒸汽区，应考虑湿汽的冲蚀问题。总之，在进行叶片强度校核时，必须根据其危险工况及工作条件，选定适当的许用应力，以保证叶片的安全。第2页/共76页3（一）叶片的拉伸应力 叶片的拉伸应力是叶片作高速旋转时质量离心力而产生的。1，等截面叶片 对于等截面叶片，沿高度各截面所承受离心力是逐渐增大，其

3、应力也是逐渐增加的。现在在任意半径R处(图530)取一微段dR叶片进行分析，则该微段的离心力为：式中 F 叶片截面积()；叶片材料的密度()；角速度(rad/s)，；n 转速(rmin)。图530第3页/共76页4 对于半径为R的截面，作用在该截面上的离心力用积分可求得：由上式可知，最大离心力发生在根部截面。则等截面叶片叶根截面处的离心力和拉应力可表达式为 （51）（52）式中 级的平均半径(m)；叶片高度(m)。第4页/共76页5 若用径高比 代入上二式，且平均轮径处叶片的圆周速度 ，则以上二式可以改写为 （53）（54）由以上公式可知，等截面叶片根部的拉应力只与 、有关，而与叶片截面积无关

4、。也就是说，增加等截面叶片截面积并不能降低叶片的根部拉应力。在圆周速度和径高比不能改变的情况下，采用密度较小的材料可以减小叶片的质量（拉应力）。第5页/共76页62 2变截面叶片变截面叶片 对于径高比 10的级为长叶片级。对于长叶片，如果采用等截面叶片，则叶片叶根拉应力会很大，无法满足强度要求。为了减少离心力，把叶片做成变截面形式。变截面叶片在任意半径R处的截面所承受的离心力为 （55）离心拉应力为 （56）上式表明，变截面叶片离心力不仅与 有关，还与叶片截面沿半径变化的规律F(R)有关。在变截面叶片中，离心力引起的拉伸应力不一定在根部截面是最大。一般来说，应通过计算才能确定最大拉伸应力所在截

5、面。第6页/共76页7 变截面叶片截面积沿半径R的变化规律，一般难以用解析式表示。根据面积沿叶高的变化曲线，可以采取数值积分的办法，近似计算各截面的拉伸应力。譬如，可将叶片沿叶高等距离分为若干段（一般取510段），而把每一段看成为等截面叶片，则可先计算各等截面叶片段的离心力，再确定各段面上的离心拉应力。根据本节所讲的长叶片截面积沿半径的变化规律和第一章所讲的长叶片级速度三角形动叶片进出口角的变化规律，长叶片都做成“变截面扭叶片”。“变截面”是为了保证其强度，“扭”是为了避免沿半径的增加而引起的各种损失，以提高长叶片级的级效率。第7页/共76页83 3 3 3围带和拉金的影响围带和拉金的影响 叶

6、片多用围带、拉金或者既有围带又有拉金将叶片联成一体，成为叶片组。在汽轮机转动时，围带、拉金也会产生离心力，这些离心力也作用在叶片上，由叶片组内各叶片分摊其离心力的作用。因此，在计算叶片离心拉应力时，必需考虑进去。这样，对于根部截面，叶片受到总的离心拉应力为 （57）式中 叶片型线部分的离心力(MN)；一个节距围带段的离心力(MN)；一个节距拉金段的离心力(MN)。第8页/共76页9(二二)叶片的弯曲应力叶片的弯曲应力 1 1蒸汽作用力引起的弯曲应力蒸汽作用力引起的弯曲应力 蒸汽对叶片产生作用力，可以分解为圆周分力和轴向分力。蒸汽作用力的大小和级的焓降、反动度及流过叶栅的蒸汽量有关。圆周分力为

7、（510）或者 （511）式中 通过一级的蒸汽流量(kgs)；、级的轮周功率、轮周效率、绝热焓降；、叶片进、出口汽流在圆周方向的分速度；、部分进汽度、圆周速度、级中动叶片数。第9页/共76页10 轴向分力的大小为：（512）式中 、叶片进、出口汽流在轴向的分速度(ms)；、叶片前、后蒸汽的静压力()；叶片节距(m)；_叶片高度(m)。在应用以上公式进行计算时，应选择蒸汽作用力为最大值的工况，即级的最危险工况。由图531可以看出，蒸汽作用在叶片上的合力应为 （513）图531第10页/共76页11 在计算时，通常把叶片看成一端刚性固定的悬臂梁，并假定载荷沿叶片高度均匀分布，这样均布载荷为 ，则离

8、叶片根部x处的任意截面上的弯矩为 （514）根部截面有最大弯矩值：（515）为了计算弯曲应力，把最大弯矩可以分解为沿最大、最小主惯性轴方向上的两个弯矩，即图532第11页/共76页12 如图532所示，用 、代表叶型的最小(对于轴)和最大(对于轴)主惯性矩。则 和 在叶片底部截面出汽边、进汽边和背弧上产生弯曲应力分别为：（516）（517）（518）式中 、图532所示；、截面系数，。第12页/共76页13 一般说来，汽流作用力 与最大主惯性轴（轴）之间的夹角很小（）。这样，因此，可以采用如下简化计算：对于叶片底部截面进、出汽边 （519）对于叶片底部截面的背弧 （520）图533上的AB线表

9、示弯曲应力沿叶型的分布情况：最大的拉应力发生在叶片的两个边缘上，即线段AC所示；最大压应力发生在叶片背弧上，如线段BD所示。而叶片的拉伸应力在整个截面上是均匀分布的。可以用增加叶片的宽度（叶片的截面积和主惯 性矩增大），以降低叶片的弯曲应力。第13页/共76页142 2离心力引起的弯曲应力 使离心力产生弯矩有两种情况：在叶片设计时，有意让叶片偏斜，使其离心力不通过计算截面的中心，即所谓叶片的偏装；另一个是由于叶片受到蒸汽力作用而产生弯曲所引起的。(1)(1)叶片的偏装 叶片在工作时，离心力弯矩与蒸汽作用力的弯矩方向相反，这样，使叶片的最大弯矩或弯曲应力减小，甚至接近于零。在设计时，常采用两种方

10、法：一种是使叶片顺着转动方向在圆周上(或同时在轴向方向)倾斜一角度(图534a)；另一种办法是使整个叶型相对于辐向线在圆周方向平移一个距离(图534b)。(2)(2)叶片弯曲变形后离心力所引起的弯矩 当叶片在蒸汽力的作用下产生弯曲变形后，离心力不再通过截面形心0点，在叶片上引起了附加弯矩。第14页/共76页15图534a,b第15页/共76页163 3围带、拉金对外片汽流弯应力的影响 用围带或者拉金将单个叶片连成叶片组：改善叶片的振动特性；可以设置轴向汽封以减少漏汽；围带和拉金的质量增加了叶片的离心力；叶片产生弯曲变形而使围带和拉金相应产生弯曲变形，从而形成对叶片的反力矩，该反力矩可以部分地抵

11、消汽流力引起的弯矩。第16页/共76页17反力矩由下式确定：式中 剪切力，可由围带变形公式确定；围带节距。第17页/共76页18此弯矩作用在叶轮平面yy上，它在最大惯性轴平面上的分量为即 （523）在最大惯性轴（）平面内，围带作用在叶片的实际弯矩为 （524）式中 围带材料的弹性模量()；围带截面的惯性矩()；刚性连接修正系数（）；叶片个数修正系数。上式中，最大惯性轴（）平面内叶片弹性线顶部固定围带处的倾角 由汽流力弯矩和围带反弯矩合成而引起。第18页/共76页19 经过一系列推导后即可得围带作用在叶片上的反弯矩与叶片根部截面弯矩的关系式：（526）根据上式绘成的曲线如图537所示。从图可以看

12、出，用围带将叶片连成组之后，围带作用在叶片上的反弯矩最大值不会超过等截面叶片最大弯矩的30，这就定量地说明了围带、拉金对叶片弯矩、弯应力的影响。式中 叶片组刚性连接系数；叶片高度(m)；叶片材料的弹性模量()；叶片截面的最小惯性矩()；汽流力引起叶片根部截面的弯矩(N.m)。第19页/共76页20作业：作业：1、分析调节级、末级、转子叶轮的最危险工况。2、叶片工作时受到哪些力的作用？3、为什么长叶片必需做成变截面扭叶片的型式？4、试求等截面叶片的最大弯曲应力和最大拉伸应力。已知级的流量 ，级的平均直径 ，叶片高度 ，动叶前的压力 ，级后压力 ，喷嘴出口速度 ，出汽角 ，余速 ，级的圆周速度 ，

13、动叶数Z=144,叶片最小截面系数 ，部分进汽速 e=1，叶片材料密度 。第20页/共76页21（接上页）5 5、根据条件校核等截面叶片的离心应力和弯曲应力。、根据条件校核等截面叶片的离心应力和弯曲应力。已知级的平均直径已知级的平均直径 ，叶高，叶高 ，最小截，最小截面系数面系数 ，叶片材料密度，叶片材料密度 ，转速，转速n=3000r/min n=3000r/min，轮周功率，轮周功率 ，叶片数，叶片数z=182z=182，级为全周进汽，动叶前后的压，级为全周进汽，动叶前后的压力分别为力分别为 ，轴向分速可忽略。，轴向分速可忽略。第21页/共76页22（三）叶根和轮缘应力（三）叶根和轮缘应力

14、 叶片是通过叶根与轮缘相连并固定在叶轮上。在核算叶根和轮缘强度时，一般不考虑蒸汽的作用力，只计算叶片离心力所产生的拉应力、弯应力、挤压应力和剪切应力。常见的几种叶根有T型叶根、叉型叶根、枞树型叶根。A，T型叶根 1 1叶根应力(1)在AB截面上所受的拉伸应力由图538可以看出，AB截面在整个叶根中是截面积最小的受拉截面，故T型叶根最大的拉伸应力发生在AB截面上。其拉伸应力为图538第22页/共76页23 （527）式中 叶片型线部分、围带和拉金的离心力的总和，即 图538中MN截面以上部分质量所产生的离心力(MN即 叶型与叶根的分界线)，(MN)；叶片MN截面和AB截面之间部分质量离心力(MN

15、)；AB截面的面积()，即图538中面积befd(若垫块和 叶片分开制造时，则等于面积befd)。（2）AD及BC 截面上所受的剪切应力 （528）式中 ABCD部分的离心力(MN)；受剪切的面积()，等于ADbd亦即BCef所表示的面积(若垫块和 叶片分开制造，则等于面积Adbd)。第23页/共76页24(3)(3)abdcabdc和eghfeghf截面上所受的挤压应力 （529）式中 叶片根部(截面MN与xx之间)的总离心力(MN)；面积abdc或eghf；2 2轮缘应力 由图538可以看出，轮缘xx截面所受离心拉应力最大。其承受离心力(包括叶片及轮缘)引起的拉伸力、偏心载荷所引起的弯曲应

16、力和剪切应力。由于轮缘可被认为是从叶轮上切割下来的圆环，它本身的离心力不仅引起径向应力，还将产生切向应力，计算中近似认为只有2/3的离心力引起径向应力。第24页/共76页25(1)(1)截面xxxx上受到的拉伸应力 （530）式中 xx截面以上的轮缘部分(不含叶根)的离心力(MN)；所有叶片和叶根的总离心力(MN)；b 轮缘每侧宽度。第25页/共76页26(2)(2)偏心截荷p p在截面xxxx上引起的弯矩和弯曲应力弯矩 弯曲应力 （531）式中 p 为xx截面上作用在一个节距轮缘上的偏心载荷(其中 为环BEFG的离心力，（N）)；W 一个节距轮缘在xx截面的抗弯断面系数，。所以轮缘在xx截面

17、上的总应力为 （532）(3)(3)轮缘FGFG截面上受到的剪切应力 （533）第26页/共76页27B B B B，枞树型叶根，枞树型叶根 现代大型汽轮机叶片的叶根多用枞树型叶根。枞树型叶根两侧的根齿与轮缘齿是一一对应的(图539)。严格地说，各个根齿所受力是不相同的。但在计算中，近似地认为枞树型叶根各齿受力相等。作用于垂直各齿接触面的力为 式中 整个叶片的离心力，（MN）；叶片型线部分的离心力(MN)；ll截面以上叶根部分离心力(MN)；1l截面以下叶根部分离心力(MN)；2n 齿的对数(包括两面，故乘以2)；叶根锥角()。图539第27页/共76页281 1叶根计算(1)1)叶根任意截面

18、i ii i上的离心拉应力 （534）式中 叶根ii截面到ll截面间叶根部分离心力(MN)；截面序号；第i截面叶根的宽度、厚度(m)。(2)l(2)ll l截面的蒸汽弯应力 （535）式中 作用在叶片上圆周方向的汽流力(MN)；叶片型线部分高度(m)；叶型底部截面到11截面的距离(m)；叶根l1截面的断面系数，。第28页/共76页292 2轮缘计算 在图539中，01线代表叶片离心力方向，02线代表轮缘齿槽部分离心力方向，03 线代表叶根齿与轮缘齿槽接触面上作用力p方向。根据三角形内外角的关系可知，02与03线的夹角为()，将p力投影到02线上，即可求得轮缘宽度为的第i截面上的离心拉应力：（5

19、36）式中 两相邻截面之间轮缘部分的离心力(MN)；两相邻叶片中心线之间的夹角，；叶片数。轮缘最大拉应力位于齿槽的最下面的一个截面。第29页/共76页30 3 3 3 3叶根和轮缘的强度计算叶根和轮缘的强度计算(图540)(1)齿底的弯曲应力 （537）式中 e 作用力p相对齿底中点的力臂(m)；齿根高度(m)。(2)齿的剪切应力 （538）式中 齿与齿开始接触处的齿高(m)。(3)齿的挤压应力 （539）式中 m 扣除圆角和间隙后，齿的实际受力面的宽度(m)。第30页/共76页31C C C C，叉型叶根，叉型叶根 叉型叶根用于长叶片。叶片的离心力是通过铆钉传给轮缘的。1 1叶根应力ll截面

20、上叶根的拉伸应力为 （540）式中 根部截面MN线以上部分离心力（N）；ll截面以上叶根部分的离心力(MN)；在半径及n处的叶片节距，(m)；工作叶片数；d 铆钉直径(m)；叶根叉数；b叉尾宽度(m)。图541第31页/共76页32由于叶片重心不通过ll截面的形心0，所以ll截面亦要承弯矩：叶根ll截面的抗弯断面系数：则叶根ll截面的弯曲应力为 （541）2 2铆钉应力(1)剪切应力 （542）(2)铆钉与叶根间的挤压应力 （543）(3)铆钉与轮缘间的挤压应力 （544）上三式中 11截面以下叶根离心力(MN)。第32页/共76页333 3轮缘应力 轮缘应力最大的危险截面是22截面，其拉伸应

21、力为 （545）式中 22截面以上轮缘部分的离心力(MN)；轮周上一排铆钉的数目。在计算叶片强度时，必须知道叶片截面几何特性，即叶片截面的形心坐标、面积、惯性矩和截面系数等。而叶片型线非常复杂，难以用解析方法计算，故通常用高斯近似法计算。其详细计算请参考有关资料和书籍。第33页/共76页34二，叶片的振动二，叶片的振动 汽轮机的叶片在工作时，会受到不均匀汽流力（激振力）的作用，使叶片产生振动。特别是当叶片的自振频率等于激振力或者为其整数倍时，叶片将发生共振，就可能使叶片疲劳断裂。运行经验表明，叶片损坏主要原因是由于振动造成的。因此，研究叶片的振动，就应该研究引起叶片振动的激振力和叶片本身的自振

22、频率。（一）引起叶片振动的激振力 引起叶片振动的原因是叶片在工作时受到周期性的汽流激振力的作用。作用在叶片上的激振力按其产生原因可分为两类：一类是由于结构上的因素产生的；一类是由于制造、安装的误差产生的。前者称为高频激振力，后者称为低频激振力。第34页/共76页351 1，低频激振力 低频激振力产生的原因是由于结构件的制造、安装误差而导致汽流力分布不均所致。具体情况有如下几种：（1）上下隔板接口结合不良，当汽流流过接口处的喷嘴通道时，汽流速度的大小及方向不同，形成一个（或两个）激振源。（2）由于喷嘴或者隔板导叶制造误差，使个别喷嘴异常，其出口汽流速度的过大或过小，也就形成了一个激振力。（3）对

23、于喷嘴调节的汽轮机，采当部分进汽，调节阀依次开启，当叶片通过装有喷嘴弧段时，受到汽流力的作用，而叶片通过没有喷嘴弧段时，又不受汽流力的作用，从而引起了一个激振力。（4）级前后有抽汽口，在抽汽口附近的动静间隙中有大量的汽流作径向流动，使得这一部位的出口汽流速度的周向分速变小，从而会引起了一个激振力。上述几种情况产生的激振力，都会使动叶片每旋转一周，就要受到一次（或几次）激振力的作用，故称为低频激振力。第35页/共76页36 低频激振力的频率是汽轮机转速的整数倍，即 (546)式中，n-汽轮机转速；k为正整数，k=1,2,3,2 2，高频激振力 高频激振力产生的原因是由于喷嘴的存在所致。由于喷嘴通

24、道壁面的存在，使蒸汽在喷嘴出口处的汽流速度大小沿轮周分布呈近似抛物线（图542）。叶片每转过一个喷嘴通道时，所受汽流作用力就会发生一次由小到大、又由大到小的变化。这种激振力称之为高频激振力。高频激振力的频率用下式求得：（547）式中，n-转速；z-级内喷嘴数。当部分进汽度e 1 时，则有 式中，为当量喷嘴数。第36页/共76页37（二）叶片振动型式（二）叶片振动型式 叶片振动的基本形式有弯曲振动和扭转振动。而弯曲振动又分切向振动和轴向振动：绕叶片截面最小主惯性轴（轴）的弯曲振动称为切向振动；绕叶片截面最大主惯性轴（轴）的弯曲振动称为轴向振动；沿着叶片长度方向绕通过截面型心轴线往复作转过一角度的

25、振动称为扭转振动。各种振型如图543所示。图543各种振型第37页/共76页381 1）切向振动：叶片切向振动如图5-43a所示。而叶片切向振动又有不同的振动型式：A型振动：根部固定、叶顶自由的振动（图544）。根据节点数的多少，A型振动又依次有 型振动、型振动、型振动等，即有无穷多个振型。其中，型振动的振幅最大、频率最低，随着振动阶次增加，其振幅逐渐减小，振动频率逐渐增大。对于等截面而言，其频率之间有一定比例关系，比值为：B型振动：根部固定、叶顶为铰支的振动（图545）。叶片作B型振动时，叶顶不产生位移，但要产生旋转。B型振动也依次有 型振动、型振动、型振动等。对于等截面各阶振动，有：第38

26、页/共76页392 2）轴向振动 叶片轴向振动的振型如图5-43b所示。与切向振动类似，叶片轴向振动分为A型振动和B型振动。3 3）扭转振动 叶片扭转振动的振型如图5-43c所示。按频率高低不同，扭转振动也分为第一、二、三阶等次的振动。4 4）叶片组的振动 叶片组的振型比自由叶片的振型复杂。叶片组的振动也有切向、轴向和扭转振动之分。叶片组的A型振动（叶片根部固定、顶部自由）：这种振动的特点是组内叶片作相同的振动，并且频率相同，有 型、型、型振动等，如图546所示。第39页/共76页40叶片组的B型振动（叶片根部固定、顶部铰支）用围带将叶片连成叶片组的B型振动，其顶部保持不动或几乎不动，可以分成

27、 型、型、型振动等。但叶片组的B型振动，又有两类对称振动，即第一类对称的型振动和第二类对称的型振动（图547）。由于围带的存在，使叶片的刚度增加，则使振动自振频率增加；但另一方面又增加了质量，使自振频率降低。当激发叶片组振动时，激振力的频率逐渐增加，会交替出现A型、B型振动。实践证明，最容易出现、并且振幅最大的主要是 、型振动；而更高阶次的振动，不容易发生，即使发生了，振幅也不大，也不危险。除了产生切向振动之外，叶片组也回产生轴向振动和扭转振动。第40页/共76页41作业：1 1、造成叶片振动的激振力有哪些？各是怎样产生的？、造成叶片振动的激振力有哪些？各是怎样产生的？2 2、叶片的振型有哪些

28、？并画出示意图。、叶片的振型有哪些？并画出示意图。第41页/共76页42（三）叶片振动自振频率计算（三）叶片振动自振频率计算 这里所讲的频率是指叶片不动时的静频率。实际上叶片是随大轴、叶轮一起旋转的，旋转时要产生离心力，在离心力作用下，叶片的弯曲刚度增加，故自振频率增高。叶片自振频率可以用实验测得，也可以通过理论计算求得。1 1，单个等截面叶片弯曲振动自振频率计算1 1）叶片弯曲振动微分方程式：）叶片弯曲振动微分方程式：这里把叶片看成是均布载荷的弹性梁，并作一些简化处理：不考虑阻尼的作用；对于叶高而言，叶片的断面尺寸很小，振动发生在一个平内，为单纯弯曲无扭转振动，叶片弯曲平面保持平面。第42页

29、/共76页43 叶片是简谐振动，y随时间t的变化为正弦规律变化，因此叶片的挠度曲线可用下式描述：（548）式中，-叶片各点振幅，它是x的函数。也称为振动的“振型”；-圆频率，=2f(f为频率）；-初相角。叶片作自由振动时，没有外力作用。振动时，弹性力与惯性力大小相等、方向相反，保持平衡。把叶片看成为在任意一时刻在惯性力载荷作用下的静止梁。则作用在单位长度上的惯性力惯性力为 （549）式中 材料密度；式中的负号是因为惯性力的方向和加速度的方向是相反的。第43页/共76页44 惯性力为作用在梁上的分布栽荷。取一微元叶高进行研究（图548）。距叶根x处，其弯矩为M，切力为Q。当x变化 时，弯矩和切力

30、变化，则微元叶高 段右边的弯矩 和切力 为：图548第44页/共76页45 叶片自由振动时，作用在微元体上的力和力矩应保持平衡，即化简后为：（550）力矩的平衡：化简并略去高阶微量得：（551）将式（551）代入式（550）中得 （552）根据材料力学中挠度和弯矩的关系得 （553）式中，E材料弹性模量；I叶片截面惯性矩；（EI）叶片抗弯刚度。第45页/共76页46将式（553）代（552）得 （554）对于等截面叶片来说，I，F为常数，则上式可写为：（555）令 ，则上式可写为：（556）再将此偏微分方程式变成常微分方程式。设叶单个叶片振动为简谐振动，圆频率为。则叶片的点在某一瞬间的位移为：

31、（557）对式（557）关于时间t求二阶导数，关于x求4阶导数，然后代入式（556），经整理可得：令 （558）第46页/共76页47则有 (559)方程（559）的通解为：（560）其中，、为积分常数，kx为所求的未知常数，因此求得kx 之后，便可以求出叶片的自振圆频率 。而kx可根据叶片两端不同的边界条件确定。2 2）单个等截面叶片弯曲振动自振频率 ，A型振动的自振频率A型振动的边界条件：叶叶根根固固定定，即根部的挠挠度度和转转角角均为零；叶顶自由叶顶自由，即顶部的弯矩弯矩和切力切力均为零。其数学形式为：（）当 =0，；（）当 ，则有：；，则：。第47页/共76页48 将以上边界条件代入式

32、（560），经过推导变化之后可得以系数 、为未知数的线性方程组，求解此方程组后，就最后得到包含未知量kl 的频率方程式 （561）上式为一超越方程，可用图象法求解，此方程有无穷多个根，前三个根值为：1.875,4.694,7.855而更高阶的解，前后两者只相差一个“”。根据（558）式，得振动圆频率公式为 （562）自振频率公式为 （563）根据所求得不同阶次的 值，代入式（563），便可求得叶片A型振动不同阶次振动的自振频率。第48页/共76页49对于 型振动，其自振频率为：（564）对于 型振动，其自振频率为：（565）以上各式中的单位：面积F为 ，惯性矩I为 ，叶高 l为 ，材料密度 为

33、 ，材料弹性模量E为 。，B型振动的自振频率B型振动的边界条件：叶根固定，即根部的挠度和转角均为零；叶顶铰支，即顶部的挠度和弯矩均为零。其数学形式为：（）当 =0，；（）当 ，；，则有：。通过和A型振动类似的推导，可得到B型振动的频率方程式为：（566）第49页/共76页50 此方程也有无穷多个解，前三个根的值为：3.927,7.069,10.21 根据所求得不同阶次的 值，代入式（563），便可求得叶片B型振动不同阶次振动的自振频率。对于 型振动，其自振频率为：（567）同样,可以求得其他各阶B型振动的自振频率。由上述讨论可知，A型振动和B型振动的自振频率公式是相同的，所不同的只是 而已。根

34、据前面的讨论又知道，对于同一个叶片，最容易发生、并且振幅最大、最危险的振型主要是切向 、型振动，它们之间的频率比为：（568）因此，在计算等截面叶片振动的自振频率时，只需要计算 型振动的自振频率，则根据上式求得 、型振动的自振频率。第50页/共76页51作业：1、试求根部紧固、叶顶自由的单个等截面叶片的切向 、振动的自振频率。已知叶高 ，截面 ，最小惯性矩 ，叶片材料弹性模量 ，材料密度 。2、试求单个等截面叶片的切向 、振动的自振频率。叶片工作部分高度 ，最小惯性矩 ，截面积 ，工作温度 ，叶片材料密度 ，弹性模量 。第51页/共76页522，等截面叶片组弯曲振动自振频率计算 叶片组自振频率

35、计算，仍然可用微分方程式（559）。由于支承条件(边界条件)不同，其结果就不相同。对于用围带连成的叶片组，根部固定，则边界条件和单个叶片的边界条件相同，即：（）当 =0，；。顶部的边界条件:在叶顶作用有一个反弯矩（）和一个往复振动的质量惯性力（），即（）当 =1，；。建立了这样一个力学模型之后，对于用围带连成的叶片组，可看成为在顶部作用有一个弯矩（）和一个切力（）的单个叶片。而围带的反弯矩为 （569）第52页/共76页53式中，为刚性连接系数，（570）切力（）为 （571）根据材料力学中弯矩和挠度的关系，则有 一般，叶片和围带的材料相同，则 。经推导整理，最后可得到这种一般边界条件下的频率

36、方程：第53页/共76页54 而方程（572）为超越方程，有无穷多个根，最小的根 为对应叶片组 型（第一阶）振动频率的根。这样，叶片组第n阶振动A型或B型振动的自振频率为：（573）显然叶片组振动的自振频率公式和单个叶片振动的自振频率在形式上是相同的，只是 值不同。对上式作一些变化：（574）即 （574a）式中 为叶片组内任意一个根部固定、叶顶自由单个叶片 Ao型振动的自振频率；为考虑了围带影响的修正系数，称为成组系数。第54页/共76页55 可见，等截面叶片组自振频率可用成组系数乘以叶片组内任意一个根部固定、叶顶自由单个叶片Ao型振动的自振频率而求得。叶片组成组系数与振动的阶次、叶片组的结

37、构尺寸有关。图549为叶片组 、型振动的 值与 和 的关系曲线。从曲线可以看到：（）随着叶片组的刚度（即 ）增大，则 随之增大。也就是说，叶片组的刚度增大时，其自振频率提高；（）当叶片组的刚度 不变，值随 的增大而减小。说明围带质量增大，使叶片组自振频率降低。（）对于 型振动，叶片组成组系数 变化范围不大（4.44.9）,说明 和 对 的影响不大。这是因为叶片组作型振动时，叶顶基本不动，围带基本不变形。第55页/共76页56图549图550用拉金将叶片连成组之后，叶片组弯曲振动自振频率仍可以用类似用围带连成的叶片组公式进行计算：第56页/共76页57（四）叶片弯曲振动自振频率的修正（四）叶片弯

38、曲振动自振频率的修正 上述叶片自振频率计算公式中，是将叶片看成根部绝对刚性固定，没计阻尼、温度和离心力的影响。应该予以修正。1，叶片根部刚度的影响 实际上，叶片是通过叶根和轮缘固定在叶轮上的，不可能绝对刚性联接的。要用一个紧固系数来修正。（575）式中，-为计算所得叶片的自振频率；-为紧固修正系数，见图5-51。第57页/共76页582，工作温度的影响 当温度变化时，材料弹性模量E也随着变化。一般说来，随着温度的升高，材料弹性模量E会减小，因此叶片的抗弯刚度（EI）减小，使叶片自振频率降低。工作温度对自振频率的影响，用温度修正系数加以修正。对于等截面单个叶片，即有 （576a）对于等截面叶片组

39、，则有 （576b）式中 温度修正系数，；在20 下叶片材料的弹性模量；在工作温度下叶片材料的弹性模量。第58页/共76页593，离心力对叶片自振频率的影响 叶片工作时，离心力使叶片刚度增加，因此叶片自振频率要升高。未考虑离心力的影响时的频率称为静频率；考虑了离心力影响时的称为动频率。随着转速的升高，离心力增大，动频率也就越高。这样，叶片的动频率与转速、静频率的关系为：（577）式中 叶片的动频率；叶片的静频率；转子每秒转速；B动频系数。离心力对叶片自振频率的影响非常复杂，一般是采用经验公式来计算动频系数B：第59页/共76页60对于等截面叶片的 型振动，；对于变截面叶片的 型振动，。对于 型

40、振动，。对于 型振动，。以上各式中，-级平均直径；-叶高。对于频率较高的短、宽、厚的叶片，可不进行动频率计算，对于高阶次振动振型的自振频率，也不必进行动频率计算。第60页/共76页61作业：1、计算等截面叶片组的切向 、振动的自振频率。已知叶片高度 ，最小惯性矩 ，叶片截面积 ，安装角 。组内叶片数为 。工作温度 ，此时的材料弹性模量 。围带截面积 ，围带节距 ，最小惯性矩 。叶片和围带材料相同，弹性模量 ，密度 。连接牢固系数 ，喷嘴数 。第61页/共76页62（六）叶片振动安全准则和调频（六）叶片振动安全准则和调频 为了保证汽轮机叶片能安全可靠的工作，则必须对叶片振动的安全性予以校核和评价

41、。我国早期对汽轮机叶片的安全评价的标准所采用的提高叶片振动安全性主要措施是：调整叶片自振频率或者激振力的频率，避开叶片共振条件；减少汽流力对叶片产生的弯曲应力。这里没有考虑叶片承受动应力和静应力的关系，并且忽视了叶片工作条件对动应力和材料耐振强度的影响。其后制定了新叶片振动安全准则。其主要特点是：，采用了表征叶片抵抗疲劳破坏能力的安全倍率安全倍率这一新概念；，采用叶片材料在静、动载荷联合作用下的耐振强度来衡量叶片的动强度，并考虑了叶片实际工作条件对耐振强度及静应力(蒸汽弯曲应力)的影响。第62页/共76页63 运行实践证明，叶片最危险的共振有三种：，切向A。型振动与低频激振力频率kn共振，称为

42、第一种共振；，切向B。型振动与高频激振力频率zn 相等时的共振，称为第二种共振；，切向A。型振动与zn 相等时的共振，称第三种共振。这几种振型又称为叶片振动的主振型。叶片允许其某个主振型频率与某类激振力频率在共振状态下长期运行，不会导致叶片疲劳破坏，这个叶片对这一主振型，称为不调频叶片；叶片要求其某个主振型频率避开某类激振力频率才能安全运行，这个叶片对这一主振型，称为调频叶片。对一具体叶片而言，它具有各种振型，对某一主振型为不调频叶片，对另一主振型可能是调频叶片。第63页/共76页641 1，耐振强度 在工作时，叶片受静应力、动应力作用。评价叶片在静、动应力复合作用下的安全性，要用耐振强度表示

43、叶片材料在静、动应力复合作用下的动强度指标，它由材料试验确定。图555所示为叶片材料的耐振强度曲线（复合疲劳强度曲线）示意图。纵坐标为耐振强度 ，横坐标为静应力 ，不同工作温度对应相应的曲线。由图可知，耐振强度与静应力大小有关。在同一工作温度下，越大，越小，表明材料承受动应力的能力越差。当 0时，达到最大值（疲劳极限 ）。当静应力达到该材料工作温度下的屈服极限或高温应力极限时，材料再无余力来承受动载荷，故 0。随着工作温度升高，材料承受静、动应力的能力减小。不论哪一种情况下，只有当叶片所承受的动应力 小于该工作条件下的耐振强度 才是安全的。第64页/共76页652 2，不调频叶片的安全准则 不

44、调频叶片主要是要保证叶片在共振条件下的动应力是否在许用耐振强度值以内。1 1）安全倍率不调频叶片在共振条件下的动应力幅值应小于许用耐振强度，即 （578）式中，为安全系数。叶片的动应力幅值正比于蒸汽弯曲应力，即 （579）式中 动应力系数；叶片振动方向的蒸汽弯曲应力。将式（579）代入式（578）得 （580）式中，值至今还不能用理论计算方法确定，但 和 可通过材料试验确定。第65页/共76页66 用比值 作为评价动强度的指标，对于具体的叶片，其耐振强度与蒸汽弯曲应力应考虑各种因素的影响加以修正。修正后的 、用（）、（）表示。（581）上式中 介质腐蚀修正系数；叶片表面质量修正系数；应力集中修

45、正系数；尺寸修正系数；通道修正系数；叶片成组影响系数；流场不均匀修正系数。第66页/共76页67经修正之后，的比值（）定义为安全倍率安全倍率，用符号 表示 （582）2 2）不调频叶片的安全准则）不调频叶片的安全准则 为了得到不同阶次振动下的许用安全倍率 ，根据大量统计计算，得到了在共振状态下能长期安全运行的和已经因共振损坏了的各种叶片的安全倍率值，把它们标记在k 坐标系中（图557）。横坐标是振动倍率k（，其中，为叶片动频率，n为转速）；纵坐标是安全倍率 。在安全点和事故点之间，有一条较明显的分界线。位于该曲线以上的值的叶片是安全的，位于该曲线以下的值的叶片是危险的，曲线上的值是叶片安全和危

46、险的界限值。把这一界线的定义为安全倍率，并用 表示，并作为判别不调频叶片的安全准则，其安全条件为：第67页/共76页68安全准则的安全条件为：（583）不调频叶片的安全准则对不同振型所推荐的许用安全倍率值如下：，对于 型振动与低频激振力kn共振的不调频叶片，其 值见表57。当k2(有时当K3)时，不采用不调频叶片，而用调频叶片，避开共振，以确保叶片安全远行。，对于 型振动与高频激振力zn共振的不调频叶片，取 =10。，对于 型振动与高频激振力zn 共振的不调频叶片，全周进汽级的 45，部分进汽级的 55。第68页/共76页693 3，调频叶片的安全准则 由于调频叶片不允许在某一主振型共振条件下

47、长期运行，因此要求叶片该主振型的动频率与激振力频率避开一安全范围。当有阻尼时，叶片振动的振幅迅速成小（即动应力），所以可取较小的许用安全倍率值。也就是说，要保证调频叶片长期安全运行，就要满足频率避开的要求，还要求安全倍率大于某一许用值，即 。对不同振型和转速的工作叶片，其频率避开值和许用安全倍率值是不相同的。下面介绍转速为3000rm的汽轮机的几种主要振型的调频叶片安全准则。第69页/共76页701 1）型振动频率与低频率振力频率knkn的避开要求和安全倍率 由于制造、安装质量不可能绝对相同，同一个叶轮上各叶片或叶片组内各叶片的振动频率有高有低，则叶片的频率分散度为 （584）式中，、表示级中

48、测得的叶片 型振动的最大与最小静频率。8，不合格，应消除缺陷，使 8。但需要说明的是，调频叶片的频率只能避开振动倍率K=26的低频率振力频率。当K7时，对于 型振动和频率为kn的低频激振力发生振动的叶片，只能制成不调频叶片。第70页/共76页71 对于转速为3000r/m的汽轮机，叶片动频率 介于低频率振力频率kn和(k1)n之间时，则动频率与激振力频率之间的避开要求应满足以下两式：（585a）（585b）式中 、汽轮机转速变化的上下限值；转速整级叶片中的实际最低动频率（Hz）；d z转速整级叶片中的实际最高动频率（Hz）；k振动倍率。同时，该调频叶片的安全倍率按式(583)算还应大于表69推

49、荐的许用安全倍率值。第71页/共76页722 2）型振动频率与高频激振力频率zn zn 的避开要求和安全倍率 当要求叶片的动频率避开高频激振力频率时，该叶片的静频率已经很高，动频率与静频率已很接近，可以用静频率代替动频率，则 型频率避开率的要求如下：（586a）（586b）叶片组 型振动的静频率中，最低的 值高于zn，考虑到运行一段时间后，大多数叶片频率要下降，故要求 ，最高的 值低于zn，同理，只要求 。型振动满足上述调频要求后安全倍率按该叶片的 型与低频激振力kn 的不调频叶片确定。因为这种叶片组的 振型，对低频激振力而言，仍属共振的不调频叶片，其安全倍率不应低于表69的许用值 。第72页

50、/共76页734 4，叶片的调频 所谓“调频”，就是调整叶片的频率或者激振力的频率，使二者的频率数值不相等并错开一定的安全范围。火电厂现场调频的常用几种方法有：1）重新安装叶片、改善安装质量；2）增加叶片与围带、拉金的连接牢固度，铆打铆钉、加焊；3）加大拉金直径（增加了拉金对叶片的反弯矩）或改用空心拉金 （减小质量、提高频率）。4）增加拉金数目；5）改变叶片组内叶片数目；6）对单个自由叶片增设拉金或围带；7）在叶片截面中心钻减荷孔；9）采用松拉金或波形围带均可以增大阻尼，降低动应力。10）变更喷嘴数、或者重新设计隔板以改变激振力的频率。第73页/共76页74作业：1、某机等截面叶片组，叶高 ，