气象统计方法主分量分析.pptx

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1、第第七七章章 主分量分析主分量分析/经验正交函数分解（经验正交函数分解（EOFEOF）第1页/共51页重点掌握：1）EOF方法原理 2）EOF方法在分析气象问题中的 应用。第2页/共51页一、引 言 经经验验正正交交函函数数（EOFEOF）方方法法最最早早由由统统计计学学家家pearsonpearson在在19021902年年提提出出，由由LorenzLorenz11（19561956）引引入入气气象象问问题题分分析析中中。该该方方法法以以场场的的时时间间序序列列为为分分析析对对象象，对对计计算算条条件件要要求求甚甚高高，故故直直到到2020世世纪纪6060年年代代后后期期才才在在实实际际工工

2、作作中中得得到到广广泛泛应应用用（CraddockCraddock，1969196922；KutzbackKutzback，1970197033；KidsonKidson，1975197544）。）。第3页/共51页 近近3030年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的EOFEOF分析方法，如扩展分析方法，如扩展EOFEOF（EEOFEEOF）方法，旋转）方法，旋转EOFEOF（REOFREOF）方法，风场）方法，风场EOFEOF（EOFWEOFW）方法，复）方法，复变量变量EOFEOF（CEOFCEOF）方法。）方法。EOFEOF方法不但用于观测资料的分析，还用于方法

3、不但用于观测资料的分析，还用于GCMGCM资料的分析和数值模式的设计。现在，资料的分析和数值模式的设计。现在，EOFEOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。大气科学研究的文献中。第4页/共51页二、主分量分析 主分量分析是把随时间变化的气象要素场分解为空间函数部分和时间函数部分。空间函数部分概况场的地域分布特点，这部分不随时间变化；而时间函数部分则由空间点的线性组合构成，称为主分量，一般前几个主分量可以解释原有空间场总方差的很大一部分。第5页/共51页两个变量的主分量 如图所示我们所分析的气象要素场仅有两个空间点 y1y2x1

4、x2第6页/共51页通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的变化代替原场两个变量的主要变化情况。第7页/共51页主分量导出 依据上例，我们希望以原变量 组成一个新变量 （7.1）使它具有极大方差，即 极大 （7.2）第8页/共51页用（4.1）式带入（4.2）有 =（4.2）模型的极大值问题转化为的极值问题。为了不同变量相互比较，对新变量中的线性组合系数 通常还需加上约束条件第9页/共51页 在上面条件下，问题转变成求下面函数的极值问题根据微积分学求极值有第10页/共51页 上面线性方程组等价于其中 S 为x1和x2的协方差阵，I为单位阵，V为（v1,v2）的组合向量。如果V有非零解，必须使

5、上式是矩阵S的特征多项式，因此问题就转化为求矩阵S的特征值及其对应特征向量的问题。第11页/共51页 因S的秩有两个，故它有两个非零特征值及其对应特征向量：由此，可得到例中两个新变量 ：第12页/共51页主分量性质1、主分量的方差与它所对应的特征值相等 以第一个主分量为例，说明这一性质 （7.4）上面第一式乘 ，第二式乘 相加，整理得于是：第13页/共51页2.不同主分量之间是无关的、相互独立的 证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为零即可。根据（7.4）式，y1和y2的协方差可写为由 ，得证第14页/共51页主分量的几何意义 如果把x1,x2变量第i个样品看成2维因子空间中的一个点 ,主

6、分量中第i个样品也可以看成是新变量空间中的一个点 ，那么它们可以看成是由因子空间作线性变换的一个结果，即其中 ，转化矩阵第15页/共51页 主分量也可以看成由原变量组成的坐标系旋转变换的结果，新变量y1,y2与原变量的变换关系式可写为对例中坐标旋转角 。寻找主分量原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投影有极大方差。第16页/共51页第17页/共51页多个变量的主分量 如果我们要研究对象是某一气象要素场，场中 有 个空间点，样本容量 。由这 变量线性组合成一个新变量：则（7.6）式 还可以写 （7.7）其中 （7.6）第18页/共51页第19页/共51页主分量

7、导出我们希望主分量有极大方差，即 （7.8）将新变量带入（7.8）式，其中 第20页/共51页 在条件 下的极值问题，转化为求 的极值问题，即有整理得 。要使V有非零解，必须由于S为mxm的协方差阵，设它的秩为m，则它有m个非零特征值及其对应的m个特征向量 第21页/共51页主分量的性质1.各主分量的方差分别与原m个变量的协方差的特征值相对应。原场m个变量方差和等于其对应协方差特征值之和第22页/共51页第K个主分量解释方差：前P个主分量累积解释方差：第23页/共51页2.主分量之间是正交的，彼此无关。第24页/共51页三、EOF分析方法原理将某气候变量场的观测资料以矩阵形将某气候变量场的观测

8、资料以矩阵形式给出式给出m是空间点，是空间点，n是时间序列长度。是时间序列长度。第25页/共51页 气象场的自然正交展开，是将气象场的自然正交展开，是将X X分解为时间函数分解为时间函数Z Z和空间函数和空间函数V V两部分两部分,即即或或 含义：含义：场中第场中第i个格点上的第个格点上的第t t次观测值，可以看作是次观测值，可以看作是m个空间函数个空间函数 和时间函和时间函数数 的线性组合的线性组合。第26页/共51页其中，其中，是第是第j个典型场，只是空间的函数。个典型场，只是空间的函数。第27页/共51页第第t t个空间场可表示为个空间场可表示为或者或者第28页/共51页 上式表明，第上

9、式表明，第t个场可以表示为个场可以表示为m个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。成。V的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。交函数。上述分解要求满足下列两个条件：上述分解要求满足下列两个条件：第29页/共51页性性质质第30页/共51页分解方法 A A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有 或者第31页/共51页 V的列就是A的特征向量，是A的特征值组成的对角矩阵。即 Z就是时间系数矩阵，第i个特征向量

10、对应的时间系数序列的第t 个值。第32页/共51页主分量分析/经验正交函数经验正交函数：主分量分析：第33页/共51页要素场的拟合 其中 是拟合场.可以证明误差第34页/共51页第i个特征向量对X场的贡献率 （解释方差）前p个特征向量对X场的贡献率 （累积解释方差）第35页/共51页计算中的时空转换 当 时，先求出 的特征值，然后求 的特征向量，这种方法叫时空转换。令 的特征值为 ，其特征向量为 ，的特征值也为 ，其特征向量为 第36页/共51页转换关系：第37页/共51页1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平或者标准化距平)；2）由X求协方差矩阵 ；3）求A的全部特征值 、特征向量 ，h=

11、1H（通常使用Jacobi法）；计算步骤第38页/共51页 4）将特征值作降序排列，并对特征向量序数作相应变动；5）根据 ,h=1H和X总方差，求出全部 、,h=1H；6 6）由X及主要 求其时间系数 、h h=1=1H，主要的数量由分析目的及分析对象定；7 7）输出主要计算结果。第39页/共51页 H是非0特征值总个数，对实际问题 需要强调的是，第1）步很重要。在大多数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对象。第40页/共51页经验正交函数的物理意义第一特征向量（第一空间典型场）是与第一特征向量（第一空间典型场

12、）是与n张张X图图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的矩阵的n n个样本最相似的特征。比如：若原始资个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是料矩阵是7 7月份月份5050年实测降水场（非距平场），年实测降水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这则第一特征向量就可以解释为这5050年的平均场，年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与为与5050年夏季距平场最相似的特征场，它指出年夏季距平场最相似的特征

13、场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。第41页/共51页EOFEOF分析实例分析实例第42页/共51页例1：现有北京1951-1976年12月2月气温资料，变量个数m=3,容量=26。对以上资料进行主分量分析。第43页/共51页1.计算变量的协方差阵2.求解实对称阵特征值及特征向量第44页/共51页3.计算三个距平主分量4.计算头几个主分量的累积方差贡献率第45页/共51页5.要素场拟合用前两个主分量进行拟合第46页/共51页第47页/共51页中国中国160气象标准站气象标准站夏季降水异常夏季降水异常EOFEOF分分解的第一模态，解解的第一模态，解释方差释方差15.5%15.5%例例2 2 分析我国夏季降水的主要变化特征。分析我国夏季降水的主要变化特征。第48页/共51页夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）第49页/共51页例3 分析热带太平洋海温的主要变化特征。第50页/共51页感谢您的观看。第51页/共51页