梁和框架结构 常峰.pptx

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1、图8.1 梁的载荷与变形(a)梁的载荷；(b)梁中性轴的变形在小挠度下，根据梁的理论有：(8.1)(8.2)第1页/共41页图8.2 梁的横截面和应力分布(8.3)其中，是正应力；是正应变；M是截面上的弯矩；v是中性轴在x处的挠度；I是关于中性轴的横截面惯性矩。第2页/共41页势能方法(8.4)(8.5)(8.6)由式8.3得梁的势能为：其中，p是单位长度的分布载荷；Pm是m点处的点载荷；Mk是k点处的力矩；vm是m点处的挠度；vk是k点处的斜率。dx内的应变能：第3页/共41页Galerkin方法图8.3 基本长度为dx的自由体由图8.3可知：(8.7)(8.8)(8.9)+（8.3）(8.

2、10)(8.11)(8.12)v与任意函数具有相同的基底函数。第一项分段分部积分虚功原理：第4页/共41页8.2 有限元列式图8.4 有限元离散一根梁被分为几个单元，每个节点有两个自由度；节点i处的自由度为Q2i-1和Q2i，自由度Q2i-1是横向位移，而Q2i是斜率或转角用列阵：(8.13)代表整体位移向量。对单独的一个单元，局部自由度为：(8.14)局部位移编号与整体位移编号之间的关系第5页/共41页图8.5 Hermite形状函数一个单元上的v是由定义在上的形状函数插值得到的，的取值范围为-1,1。定义Hermite形状函数，满足节点值和节点斜率的连续性要求：并满足下表给的条件(8.15

3、)第6页/共41页求出形状函数中的各个系数ai、bi、ci和di，则有：(8.16)(8.17)(8.18)坐标变换v可以用含有Hermite形状函数的式子来表示：第7页/共41页由于le=x2-x1是单元的长度：(8.19)由dv/d =(dv/dx)(dx/d)：(8.20)dv/dx在节点1和2处的值分别是q2和q4，则：(8.21)(8.22)(8.23)(8.24)单元的应变能：(8.25)由式(8.20)，有：代换v=Hq：第8页/共41页(8.26)(8.27)将dx=(le/2)d 、式(8.25)和式(8.26)代入(8.24)有：对该矩阵每一项积分，有：单元应变能：(8.2

4、8)对称其中单元刚度矩阵：(8.29)第9页/共41页在基于Galerkin方法的推导中，有：(8.30)其中(8.31)是单元是上的虚位移列阵，而v=Hq，=H。对式(8.30)积分后可以产生与式(8.28)相同的单元刚度，Tkeq是单元的内力虚功。第10页/共41页8.3 载荷列阵假定单元上分布载荷p在整个单元上是均匀的，则：(8.32)(8.33)由式(8.16)和式(8.23)代换H，并进行积分，则：(8.34)图8.6 单元上的分布载荷该单元上的等效载荷如图8.6所示，用Galerkin方法计算(8.12)中的 可以得到相同的结果。在集中载荷作用处划分相应节点，则集中载荷Pm和Mk也

5、容易处理。第11页/共41页应用势能方法，考虑局部与整体之间的关系，有：(8.35)若用Galerkin方法，有：(8.36)其中是许可的整体虚位移列阵，它是待定的。第12页/共41页8.4 边界条件的处理当对应于自由度r，其位移值被给定为a时，可以采用罚函数法进行处理，即将 引入到中，或在Galerkin方法中，将 加入到左边项中，这时原问题变为无自由度约束的情况。所添加项中的系数C代表刚度，同梁的刚度值相比它是一个很大的数，这相当于Krr中增加了刚度C，在Fr中增加了载荷Ca(见图8.7)。图8.7 梁的边界条件(8.37)从方程(8.35)和方程(8.36)中，都能独立推导出：第13页/

6、共41页8.5 剪切力和弯矩使用计算弯矩和剪切力的方程可以得到弯矩和剪切力的表达式，即：(8.38)(8.39)在等效点载荷情况下得到的。将单元两端的平衡载荷表示为R1、R2、R3和R4，有：第14页/共41页(8.40)容易看出上式右边的第一项是keq，第二项只是在具有分布载荷的情况下才有。方程左边项叫做“固定端支反力”的项组成，可以看出：单元两端的剪切力分别为V1=R1和V2=-R3，两端的弯矩为M1=-R2和M2=R4。第15页/共41页例题8.1例题8.1图对于如例题8.1图所示的梁和载荷，计算(1)在节点2和3处的斜率；(2)在分布载荷中点处的垂直挠度。解答：对该问题采用3个节点和两

7、个单元；位移Q1、Q2、Q3和Q5由于受到约束被置0，先需要求解的是Q4和Q6，由于两个单元的长度和横截面都分别相同，则单元矩阵都由式(8.29)计算，即：第16页/共41页如图8.6所示，有pl2/12可算出对应的载荷F4=-1000Nm，F6=10000Nm。这里我们使用第3章中介绍的消元法，考虑到单元的连接状况，消元后获得的整体刚度矩阵为：则方程组为第17页/共41页其解为则对于单元，有q1=0，q2=Q4，q3=0，q4=Q6。采用关系v=Hq，并设定=0，可求出单元中点处的垂直挠度为：第18页/共41页8.6 具有弹性支承的梁单排滚珠轴承可以被看作是：在每个轴承处都有一个节点，并将轴

8、承刚度kB添加到单元刚度矩阵中对应垂直自由度的对角位置上(见图8.9(a)；而对于轧辊或轴颈轴承，还要考虑相应的转动(力矩)刚度。对于较宽的轴颈轴承和Winkler地基，我们使用支承介质的单位长度上的刚度s来描述(见图8.8(b)。在支撑介质所作用的长度范围内，总势能会多出下面一项：(8.41)图8.8 弹性支撑第19页/共41页在Galerkin方法中，这一项 。我们将v=Hq代入离散化模型后，上式将变为：(8.44)(8.43)(8.42)从这一求和的公式里，可以看出其中的刚度矩阵项，即：对于具有弹性地基支撑的单元，这一刚度矩阵需要加入到由式(8.29)给出的单元刚度中。而矩阵 就是弹性地

9、基的一致刚度矩阵。积分第20页/共41页8.7 平面框架我们考虑具有刚性连接的平面结构，除了具有轴向载荷和轴向变形外，这些结构的构件与梁类似；这些单元还具有不同的取向，图8.9给出的是一个典型的框架单元，它的每个节点上都具有两个位移和一个转角，节点位移列阵由下式给出：图8.9 框架单元(8.45)第21页/共41页定义一个局部或物理坐标系x、y，其中x轴沿单元的1-2方向，具有方向余弦l、m(其中l=cos，m=sin)，这些值可使用桁架单元中所采用的关系来确定，将局部坐标系中的节点位移列阵表示为：(8.46)注意到有q3=q3,q6=q6,他们是单元在节点上的转角；这样可得到局部与整体的位移

10、变换关系：(8.47)其中：(8.48)第22页/共41页q2、q3、q5和q6对应于梁单元的自由度，而q1和q4则对应于第三章中杆单元的位移。在所对应的位置组合这两个刚度矩阵，可以得到如下所示的框架单元的刚度矩阵：(8.49)单元的应变能：(8.50)第23页/共41页或采用Galerkin方法，单元的内力虚功为：(8.51)其中和 分别是局部和整体坐标系下的节点虚位移；由式(8.50)和式(8.51)，可以得到整体坐标系下的单元刚度矩阵为：(8.52)图8.10 作用在框架单元上分布载荷(8.53)(8.54)(8.55)节点载荷：第24页/共41页这样可将f的数值叠加到整体载荷列阵中，注

11、意这里正的p为沿y方向。而集中载荷和力偶可以直接加到整体载荷列阵中，在得到了经组合和叠加的刚度矩阵和载荷矩阵后，可以建立以下方程：KQ=F在能量法或Galerkin方法中，可以应用罚函数项来处理边界条件。例题8.2计算如例题8.2图中所示门架结构连接处的位移和转角。解答：步骤1.单元的节点连接信息 节点连接信息如下：第25页/共41页例题8.2图(a)门架结构；(b)单元的等效载荷第26页/共41页步骤2.单元的刚度矩阵单元 使用(8.45)中的矩阵，并注意到k1=k1,有单元和 代换式(8.49)中矩阵k的E、A、I和l2，可以求得单元、的局部单元刚度矩阵为：第27页/共41页转换矩阵L 注

12、意到对于单元，有k1=k1；对于单元和(这两个单元的方向由相对于x和y轴的取向来确定)，有l=0，m=1，那么注意到k2=LTk2L，有：第28页/共41页刚度矩阵k1中的所有元素都处于整体坐标系中；对于单元和单元，前面所示刚度矩阵的阴影部分将被添加到整体刚度矩阵K的合适位置，最后得到的整体刚度矩阵为：求解后得方程组由下式给出：载荷矩阵第29页/共41页8.8 三维框架图8.11 三维框架的自由度编号三维框架，也叫做空间框架，在分析多层建筑时会经常碰到；在对汽车车体或自行车框架进行建模时也会遇到。图8.11给出了一个典型的三维框架，每个节点有6个自由度，图8.11给出了自由度的编号：对节点J，

13、自由度6J-5、6J-4和6J-3代表x、y和z方向的平移自由度，而6J-2、6J-1和6J代表绕x、y、z轴的转动自由度；单元在局部和整体坐标系下的位移列阵分别被表示为q和q，如图8.12所示，这些列阵的维数是12 1。第30页/共41页图8.12 局部和整体坐标系中的 三维框架梁单元局部x、y、z坐标系中的方向由3个点来确定，点1和点2是单元的两端；x轴沿着从点1到点2的连线，就像二维框架单元那样；点3是不位于点1和点2连线上的任意参考点，y轴位于点1、2、3所定义的平面内，如图8.12所示；z轴是根据x、y、z所构成的右手坐标系来定义的；我们注意到y和z轴是横截面的主轴，而Iy和Iz是主

14、惯性矩，横截面的属性由4个参数来定义：面积A、惯性矩Iy、Iz和J；G和J的乘积是扭转刚度，其中G为剪切模量，对圆形或管状横截面，J是极惯性矩；对其他形状的横截面，比如工字形截面，扭转刚度的计算可参阅有关材料力学课本。第31页/共41页对式(8.49)进行直接的组合，可得到局部坐标系下的(12 12)维的单元刚度矩阵：(8.56)第32页/共41页其中AS=EA/le，le为单元的长度，TS=GJ/le，az=12EIz/le3,bz=6EIz/le3,cz=4EIz/le,dz=2EIz/le,ay=12EIy/le3;整体与局部的变换矩阵由下式给出：(8.57)维数为(12 12)的变换矩

15、阵L由(3 3)的矩阵组成，即(8.58)(8.59)其中是方向余弦矩阵分别是x(y)(z)轴与整体坐标系中x、y、z轴夹角的余弦值第33页/共41页上述方向余弦和矩阵可由点1、2、3的坐标系获得，即：让Vx=l1 m1 n1T表示沿x轴的单位矢量；同样地，设：沿z轴的单位矢量：1、3之间的距离两个矢量的叉积由下面的行列式给出：第34页/共41页最后，y轴的方向余弦整体坐标系下的单元刚度矩阵(8.60)如果有一分布载荷施加在单元上，其分量为y和 z(力/单位长度)，则等效在单元两端的集中载荷为：(8.61)通过f=LTf，可将载荷转换为整体坐标系下的分量；通过处理边界条件并求解系统方程KQ=F

16、后，可计算单元两端受力：(8.62)其中固定端支反力是列阵f的负值，且只与受分布载荷作用的单元有关。通过单元两端的力可获得弯矩和剪切力，利用弯矩与剪切力则可求出梁的应力。第35页/共41页Thank You第36页/共41页在此录入文字标题第37页/共41页在此录入文字标题在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容第38页/共41页在此录入文字标题在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容第39页/共41页在此录入文字标题在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容在此录入内容第40页/共41页感谢您的观看。第41页/共41页