杆件结构的变形计算.pptx

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1、第1页/共109页6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的功外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。第2页/共109页1 1、常力功当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生变化，则此时力所作的功为常力功。等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。2 2、变力功当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，力所作的功为变力功。第3页/共109页第4页/共109页6.5.2 杆件的弹性应变能弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力逐渐减小

2、时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内的能量被释放而作功。这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。第5页/共109页若轴力沿轴线为变量，的微段杆内所储存的应变能 梁弯曲时的应变能 则可先计算长为第6页/共109页6.5.3 互等定理1、功的互等定理能量守恒原理，可推导得出线性弹性体的互等定理，常用的是功的互等定理和位移互等定理。第7页/共109页力系在力系引起的位移上所作的功，等于力系在力系引起的位移上所作的功。第8页/共109页推导：第9页/共109页2、位移互等定理力在作用点处所引起的与相对应的位移在数值上等于力在作用点处所引起的与相对应

3、的位移当当时，所产生的位移称为单位位移，特用来表示，则此时的位移互等定理可写成 第10页/共109页 在弹性范围内在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量的能量,称为弹性变形能称为弹性变形能,简称变形能简称变形能.一、能量法一、能量法一、能量法一、能量法三、变形能三、变形能三、变形能三、变形能二、外力功二、外力功二、外力功二、外力功 固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功外力因此而做功,则成为外力功则成为外力功.利用功能原理利用功能原理 V V =WW 来求解可变

4、形固体的位移来求解可变形固体的位移,变形和内力变形和内力等的方法等的方法.总结第11页/共109页 可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将外力和内力均将作功作功.对于弹性体对于弹性体,不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失,外力在相应位外力在相应位移上作的功移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.V=W四、功能原理四、功能原理四、功能原理四、功能原理第12页/共109页五、杆件变形能的计算五、杆件变形能的计算五、杆件变形能的计算五、杆件变形能的计算 1.1.1.1.轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能

5、轴向拉压的变形能 此此外力功外力功的增量为：的增量为：当拉力为当拉力为F F1 1 时时,杆件的伸长为杆件的伸长为 l l1 1 当再增加一个当再增加一个d dF F1 1时时,相应的变形相应的变形增量为增量为d(d(l l1 1)FF ll lFFO l l1d l1dF1F1积分得积分得:第13页/共109页 根据功能原理根据功能原理 当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时:V V=WW,可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式 当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：第14页/共109页2.2.2.2.扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能或l l

6、 MMe eMMe e MMe e第15页/共109页n n纯弯曲纯弯曲n n横力弯曲横力弯曲3.3.3.3.弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能MMe e MMe eMMe e MMe e第16页/共109页4.4.4.4.组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.第17页/共109页 六、变形能的普遍表达式六、变形能的普遍表达式六、变形能的普遍表达式六、变形能的普遍表达式F F-广义力广义力(包括力和力偶包括力和力偶)-广义位移广义位移(

7、包括线位移和角位移包括线位移和角位移)B B C C F3BCF2AF1 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值零增致最后值.第18页/共109页 对于线性结构对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移义位移,例如例如 2 2可表示为可表示为F3ABCF1F2B B C C1 1F F1 1,C C2 2F F2 2,C C3 3F F3 3 分别表示力分别表示力F F1 1,F F2 2,F F3 3 在在 C C 点引起的竖向位移点引起的竖向位移.C C1 1,C C2

8、2,C C3 3 是比例常数是比例常数.F F3 3/F F2 2在比例加载时在比例加载时也是常数也是常数F F1 1/F F2 2和和 2 2 与与 F F2 2 之间的关系是线性的之间的关系是线性的.同理同理,1 1 与与 F F1 1,3 3 与与F F3 3 之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的.第19页/共109页 在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 iF Fi iF3ABCF1F2B B 克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）F Fi i i第20页/共109页七、变形能的应用七、变形能的应用七、变形能的应用七

9、、变形能的应用 1.1.1.1.计算变形能计算变形能计算变形能计算变形能 2.2.2.2.利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形 例题例题1 1 试求图示悬臂梁的变形能试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端并利用功能原理求自由端B B的挠度的挠度.ABFlx解：解：由由V V=W=W 得得第21页/共109页例题例题2 2 试求图示梁的变形能试求图示梁的变形能,并利用功能原理求并利用功能原理求C C截面的挠度截面的挠度.ABCFx1x2abl解：解：由由V V=W=W 得得第22页/共109页例题例题3 3 拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范

10、围内工作.抗拉刚度抗拉刚度EIEI,受到受到F F1 1和和F F2 2 两个力作用两个力作用.(1)(1)若先在若先在若先在若先在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1,然后在然后在然后在然后在 C C 截面加截面加截面加截面加 F F2 2;(2)(2)若先在若先在若先在若先在 C C 截面加截面加截面加截面加 F F2 2,然后在然后在然后在然后在 B B 截面加截面加截面加截面加 F F1 1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F2第23页/共109页（1 1）先在）先在 B B 截面加截面加 F F1 1,然后在然后在 C C

11、截面加截面加 F F2 2ABCabF1 （a a）在）在 B B 截面加截面加 F F1 1,B B截面的位移为截面的位移为 外力作功为外力作功为 （b b）再在）再在C C上加上加 F F2 2F2 C C截面的截面的位移为位移为 F F2 2 作功为作功为第24页/共109页（c c）在加）在加F F2 2 后后,B B截面又有位移截面又有位移 在加在加 F F2 2 过程中过程中 F F1 1 作功（常力作功）作功（常力作功）所以应变能为所以应变能为ABCabF1F2第25页/共109页（2 2）若先在）若先在C C截面加截面加F F2 2,然后然后B B截面加截面加F F1 1.（a

12、 a）在）在C C截面加截面加F F2 2 后后,F F2 2 作功作功（b b）在在B B截面加截面加F F1 1后后,F F1 1作功作功ABCabF1F2第26页/共109页（c c）加加 F F1 1引起引起 C C 截面的位移截面的位移 在加在加F F1 1过程中过程中F F2 2作功（常力作功）作功（常力作功）ABCabF1F2 所以应变能为所以应变能为注意：注意：（1 1）计算外力作功时计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别.（2 2）应变能）应变能）应变能）应变能V V 只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关只与外力的最终

13、值有关,而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次序无关序无关序无关序无关.第27页/共109页 2 2 解解:梁中点的挠度为梁中点的挠度为:梁右端的转角为梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2 梁的变形能为梁的变形能为:1 1例题例题4 4 以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明应变能应变能应变能应变能V V 只与外力的最只与外力的最只与外力的最只与外力的最终值有关终值有关终值有关终值有关,而与加载过程而与加载过程而与加载过程而与加载过程和加载次序无关和加载次序无关和加载次序无关和加载次序无关.第28页/共109页 先

14、加力先加力 F F 后后,再加力偶再加力偶 MMe e（1 1）先加力）先加力F F后后,C C 点的位移点的位移 力力F F 所作的功为所作的功为（2 2）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值 MMe e B B 截面的转角为截面的转角为 力偶力偶 MMe e 所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me 1 1 第29页/共109页 先加上的力先加上的力F F所作的功为所作的功为 C C截面的位移为截面的位移为 3 3ACBl/2l/2 F F与与力偶力偶MMe e所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2 1 1 Me第30页/共109页1、结构材料处于弹性工作阶段，

15、服从胡克定律，即应力应变成线性关系。2、结构满足小变形假设，在建立平衡方程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力影响。6.6 单位荷载法 n6.6.1 结构位移计算假定 满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠加原理。第31页/共109页kk6.6.2 单位荷载法第32页/共109页 1 1、虚拟状态的选取、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的

16、方位虚加单位荷载：方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶 第33页/共109页3 3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力上加一对指向相反的单位集中力 4 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶反的单位集中力偶 第34页/共109页5 5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中

17、力，两力形成单位力对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为偶。力偶臂为d d，每一力的大小为，每一力的大小为1/d1/d第35页/共109页力和力偶统称为广义力，力和力偶统称为广义力，单位广义力用单位广义力用=1=1表示表示线位移和角位移统称广义位移，用线位移和角位移统称广义位移，用表示表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反

18、 第36页/共109页2、单位荷载法计算位移的主要步骤为：(1)沿拟求位移的位置和方向加设相应的单位荷载；(2)根据静力平衡条件，求出在所设单位荷载下结构的弯矩；(3)根据静力平衡条件，计算在荷载作用下结构的弯矩；(4)代入位移计算公式中计算位移。第37页/共109页3 3、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1 1）梁和刚架）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度公式中取第一项便具有足够的工程精度 第38页/共109页（2 2）桁架）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的

19、等直杆。杆各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式中的第二项并简化为实用的形式第39页/共109页（3 3）组合结构）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项 （4 4）拱）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计 第40页/共109页4、静定梁的位移计算计算步骤为计算步骤为 （1 1）设虚拟状态；）设虚拟状态；（2 2）计算）计算（3 3）用梁的位移计算公式计算位移。）用梁的位移计算公式计算位

20、移。第41页/共109页例1 求图所示简支梁上力点的作用点的竖向位移和转角。EI为常数。第42页/共109页左段 右段 右段 当时，左段第43页/共109页左段 右段 这里单位力偶的方向是任选的。取正值，表明转角的方向与单位力偶的方向相同；取负值，表明转角的方向与单位力偶的方向相反；第44页/共109页5 5、静定桁架的位移计算、静定桁架的位移计算计算步骤为计算步骤为 （1 1）设虚拟状态；）设虚拟状态；（2 2）计算）计算（3 3）用桁架的位移计算公式计算位移。）用桁架的位移计算公式计算位移。第45页/共109页解解 （1 1）设虚拟状态（如上图）设虚拟状态（如上图b b所示）所示）（2 2

21、）计算）计算（标于图（标于图 b.ab.a ）（3 3）代公式求）代公式求CC点的竖向位移点的竖向位移例例2 2 图示桁架各杆的图示桁架各杆的EAEA相等，求相等，求C C 结点的竖向位移结点的竖向位移第46页/共109页6.76.7图乘法图乘法6.7.1 6.7.1 图乘法原理图乘法原理1 1、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：（1 1）杆段的轴线为直线）杆段的轴线为直线 （2 2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EI EI为常数为常数直梁和刚架的位移公式则为直梁和刚架的位移公式则为（3 3）图和图和 图中至少有一个直线图形图中至少有一个直线图形 第47页/共109页2 2图乘法原理图乘法

22、原理第48页/共109页图乘法求位移的一般表达式为图乘法求位移的一般表达式为注意：注意：3.3.图乘法的步骤图乘法的步骤1 1 设虚拟状态；设虚拟状态；2 2 画画 图；图；图；图；3 3 图乘求位移。图乘求位移。1 1 应取自直线图中应取自直线图中2 2 若若 与与 在杆件的同侧在杆件的同侧,取正值，反之取正值，反之,取负值。取负值。3 3 如图形较复杂，可分解为简单图形。如图形较复杂，可分解为简单图形。第49页/共109页结论：当满足三个条件时，位移等于两弯矩图形中曲线图形的面积乘以其形心所对应的直线图形的纵坐标，再除以EI。第50页/共109页6.7.2 6.7.2 几个规则图形的面积和

23、形心位置几个规则图形的面积和形心位置 第51页/共109页b几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形三角形CClh顶点二次抛物线二次抛物线第52页/共109页lh顶点cN N 次抛物线次抛物线lh顶点c二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/4第53页/共109页1、应用条件 杆为直杆，EI为常数，两个图形中至少有一个是沿着 的整个长度为一直线变化的图形，纵坐标 取自该直线图中。2、正负号规则 面积 与纵坐标 在杆的同侧时，乘积 取正号；否则取负号。6.7.3 应用图乘法时的几个具体问题第54页/共109页3、分段计算(1)若用来选取纵坐标

24、的图形是由几段直线组成的折线，则应分段计算。(2)杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段并按分段进行图乘。第55页/共109页4.4.图形的分解图形的分解叠加计算 当图形的面积和形心不便当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。图形相应的纵坐标相乘。梯梯-梯同侧组合：梯同侧组合：第56页/共109页梯梯-梯同侧组合：梯同侧组合：第57页/共109页梯梯-梯异侧组合梯异侧组合第58页/共109页由区段叠加法作的弯矩图由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可以看成一，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则

25、抛物线图形的叠加个梯形和一个规则抛物线图形的叠加 。第59页/共109页曲曲-折组合折组合第60页/共109页阶梯形截面杆阶梯形截面杆第61页/共109页解解 图分别如图图分别如图 (b).(c)(b).(c)所示所示。BC BC 段的段的MMP P图是图是标准二次抛物线；标准二次抛物线；ABAB段的段的MMP P图图较复杂，较复杂，但可将其分解为但可将其分解为一个三角形和一一个三角形和一个标准二次抛物个标准二次抛物线图形线图形 。例例1 1 试求图试求图a a所示外伸梁所示外伸梁CC点的竖向位移点的竖向位移 CVCV。梁的。梁的EI=EI=常数常数 第62页/共109页由图乘法得由图乘法得

26、第63页/共109页代入以上数据代入以上数据,于是于是第64页/共109页例例2 2 试求图试求图a a所示伸臂梁所示伸臂梁CC点的竖向位移点的竖向位移 cvcv第65页/共109页解解 荷载弯矩图和单位弯矩图如图荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b cb c所示。所示。在在ABAB段段,M,MP P和和图均是三角形；图均是三角形；在在BCBC段，段，MMP P图图 可看作是由可看作是由B.C B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图，与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图，即图即图b b中虚线与曲线之间包含的面积中虚线与曲线之间

27、包含的面积 叠加而成。叠加而成。第66页/共109页将上述各部分分别图乘再叠加，即得将上述各部分分别图乘再叠加，即得第67页/共109页例例3 3 试求图试求图 (a)(a)所示刚架结点所示刚架结点B B的的BHBH 水平位移水平位移 设各杆为矩形截面，截面尺设各杆为矩形截面，截面尺寸为寸为bxhbxh，惯性矩，惯性矩 l=,l=,E E为常数，只为常数，只考虑弯矩变形的影响。考虑弯矩变形的影响。第68页/共109页解解 先作出先作出MMP P图和图和图图,分别如图分别如图 (b)(c)(b)(c)所示。所示。第69页/共109页应用图乘法求得结点应用图乘法求得结点B B的水平位移为：的水平位

28、移为：第70页/共109页例题4 均布荷载作用下的简支梁,其 EI 为常数.求跨中点的挠度.A AB BCql l/2/2l l/2/2FA AB BCl l/2/2l l/2/2以以图的转折点为界图的转折点为界,分两段使用图乘法分两段使用图乘法.MM(x x)第71页/共109页A AB BCql l/2/2l l/2/2A AB BCFl l/2/2l l/2/2第72页/共109页例题5 图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷q及集中力F作用.用图乘法求:集中力作用端挠度为零时的F值；FCABalq第73页/共109页FCAB解：解：aalq1ABalCM第74页/共109页例题6 图示开

29、口刚架,EI为常数.求沿F力作用线方向的相对线位移AB.a aa aa a/2/2a a/2/2ABF FF F第75页/共109页解：解：Fa/2a/2F FF FFaFa/2/2FaFa/2/2a a/2/2a a/2/21 1a a/2/2Ba aa aa a/2/2AA第76页/共109页例题7 图示刚架,EI为常数.求A截面的水平位移AHB BA Aa aa aq q第77页/共109页a aqaqa/2/2qaqa2 2/2/2解：解：B BA Aa aa aB Ba aB BA Aa aa aq qqaqa/2/2qaqa1 11 11 11 1a aqaqa2 2/2/2第78

30、页/共109页C例题例题8 8 8 8 拐杆如图拐杆如图,A A处为一轴承处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动允许杆在轴承内自由转动,但不能但不能上下移动上下移动,已知已知:E E=210G=210GP Pa a,G G=0.4=0.4E E,求求B B点的垂直位移点的垂直位移.5A300B500=1F01020 解解:（1 1 1 1）画单位载荷图画单位载荷图C5A300B500=60kN60kNF F1 11020 x1x1xx第79页/共109页（3 3）变形）变形（2 2）求内力）求内力第80页/共109页作业作业6.2-6.36.2-6.3、6.56.5、6.76.7、6.9-6.13

31、6.9-6.13、6.156.15第81页/共109页第第6 6章章 杆件结构的变形计算杆件结构的变形计算复习一、结构位移的定义一、结构位移的定义结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。和转动称为结构的位移。二、位移的分类二、位移的分类位位移移线位移：截面形心的直线移动距离线位移：截面形心的直线移动距离 角位移：截面的转角角位移：截面的转角第82页/共109页位位移移绝对位移绝对位移相对位移相对位移广义位移

32、广义位移三、位移举例三、位移举例 A A 点的线位移点的线位移 水平线位移水平线位移 竖向线位移竖向线位移 截面截面A A 的角位移的角位移 第83页/共109页CC、D D 两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移 A A、B B两个截面的相对转角两个截面的相对转角 第84页/共109页 四、引起位移的原因四、引起位移的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图图a a）、支座移动（如图）、支座移动（如图b b）材料收缩、制造）材料收缩、制造误差等误差等 第85页/共109页五、功的互等定理五、功的互等定理 ij ij的脚标表示：的脚标表示：i-i

33、-指示位移指示位移发生发生的地点和沿着力方向；的地点和沿着力方向；J J-指示指示产生产生位移的力及其作用位置。（结果、原因）位移的力及其作用位置。（结果、原因）2121-2-2-此位移发生在点此位移发生在点2 2沿着沿着F F2 2的方向；的方向；-1-1-此位移是作用在点此位移是作用在点1 1的力的力F F1 1引起的。引起的。第86页/共109页第一状态下所做的功：第一状态下所做的功：第二状态下所做的功：第二状态下所做的功：第87页/共109页比较，得比较，得V V1 1=V=V2 2即即一般形式为一般形式为 应变能应变能应变能应变能V V 只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关只与外

34、力的最终值有关只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关而与加载过程和加载次序无关而与加载过程和加载次序无关而与加载过程和加载次序无关.第88页/共109页因此得到功的互等定理：因此得到功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的相应位移第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的上所作的(外力虚外力虚)功，等于第二状态的外力在功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的第一状态的相应位移上所作的(外力虚外力虚)功。功。第89页/共109页六、位移互等定理六、位移互等定理条件：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，条件：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，且为单位荷载。且为单位荷载。单位荷

35、载所引起的位移称为位移系数，用单位荷载所引起的位移称为位移系数，用表示（图表示（图a.ba.b）第90页/共109页根据功的互等定理根据功的互等定理 即即这就是位移互等定理：这就是位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。力作用点沿其方向的位移。第91页/共109页上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。系数亦为广义位移。可能含义不同，但数值相等可能含义不

36、同，但数值相等即第92页/共109页七、反力互等定理七、反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用单位位移引起的支座反力称为反力系数，用r ri j i j表示表示 第93页/共109页根据功的互等定理，有根据功的互等定理，有即即 这就是反力互等定理，它表明支座这就是反力互等定理，它表明支座1 1发生单位位移发生单位位移所引起的支座所引

37、起的支座2 2的反力，等于支座的反力，等于支座2 2发生与上述反力相发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座应的单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。第94页/共109页应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。位移与集中力偶相对应。可能可能r r1212与与r r2121 一个是反力偶，一个是反力，但一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等（图二者的数值相等（图 c c、d d）。）。即即第95页/共109页 一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原

38、理功：功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度转换能量的量度 实功实功 ：力在自身引起的位移上所作的功力在自身引起的位移上所作的功 当静力加载时，即：当静力加载时，即：F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1111 由由0 0增加至增加至 1111力力F Fp1p1在位移在位移 1111上作的实功上作的实功 F11F1dTOAB6.8 6.8 静定结构由于支座位移和温度变化静定结构由于支座位移和温度变化 所引起的位移所引起的位移第96页/共109页虚功：虚功：力在其他因素引起的位移上作的功。力在其他因素引起的位

39、移上作的功。其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变。中，力的大小保持不变。梁弯曲后，再在点梁弯曲后，再在点2 2处加静力荷载处加静力荷载 ，梁产生新，梁产生新的弯曲。位移的弯曲。位移 为力为力 引起的引起的 的作用点沿的作用点沿 方方向的位移。力向的位移。力 在位移在位移 上作了功，为虚功，大上作了功，为虚功，大小为小为第97页/共109页当力状态的外力在位移状态的位移上作外当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。微段的变形上作内力虚功。在小

40、变形条件下，在小变形条件下，由图示的原始形状、尺寸计算，由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，F FP1P1单独作用的状态为虚功计算的力状态。单独作用的状态为虚功计算的力状态。第98页/共109页 二、线弹性杆件的变形位能二、线弹性杆件的变形位能（内力虚功）（内力虚功）1、弯曲变形位能、弯曲变形位能2、轴向拉伸（压缩）变形位能、轴向拉伸（压缩）变形位能第99页/共109页根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一任何一个处于平衡状态的变形体，当发

41、生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。形上所作虚功的总和。虚功虚功原理原理也可以简述为：也可以简述为：外力的虚功等于内力的虚变形功外力的虚功等于内力的虚变形功第100页/共109页 静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图如图 a a所示静定结构所示静定结构,其支座发生水平位移其支座发生水平位移C1 C1、竖向位移、竖向位移C2 C2 和和转角转角C3C3，现

42、要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移6.8.1 支座位移时静定结构位移计算第101页/共109页这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式算的一般公式 因为从实际状态中取出的微段因为从实际状态中取出的微段dsds的变形为的变形为 于是上式可简化为于是上式可简化为K=K=-CiCi 第102页/共109页这就是静定结构在支座位移时的位移计算这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中公式。式中 为虚拟状态图为虚拟状态图b b的支座反力，的支座反力，CiCi为实际状态的支座位移，为实际状态的支座位移，CiCi为反为反力虚功。当力虚功。

43、当与实际支座位移与实际支座位移Ci Ci 的方向一的方向一致时其乘积取正，相反时取负。致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。个负号，不可漏掉。第103页/共109页6.8.2 温度变化时静定结构位移计算静定结构当温度变化时虽然不产生内力，但由于材料具有热胀冷缩的性质从而引起截面的应变(温度应变)，使得静定结构自由地产生符合其约束条件的位移，这种位移仍可应用虚功原理进行计算。第104页/共109页第105页/共109页为温度改变产生的应变。温度沿微段截面厚度为线性分布，和截面的转角，且由于杆件在温度变化时,即假设在发生温度变形后，截面仍保持为平面，微段截面的变形可分解为沿轴线方向的拉伸变形可自由地发生变形，故微段两端截面不产生剪切变形，即第106页/共109页根据几何关系可得杆件轴线处的温度升高为特别地，若杆件横截面对称于形心轴，即则上式为设杆轴线处的温度变化为第107页/共109页若各杆均为等截面杆时，则有第108页/共109页感谢您的观看！第109页/共109页