机器人学运动学.pptx

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1、1第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描述位置和姿态的描述位置和姿态的描述位置和姿态的描述 圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标圆柱坐标(cylindrical):两个线性平移运动和一个旋转运动两个线性平移运动和一个旋转运动 球坐标球坐标球坐标球坐标(spherical):一个线性平移运动和两个旋转运动一个线性平移运动和两个旋转运动第1页/共50页2第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置

2、和姿态的描位置和姿态的描述述述述 1 1 1 1、位置的描述、位置的描述、位置的描述、位置的描述 可以引入比例因子：可以引入比例因子：可以引入比例因子：可以引入比例因子：比例因子可为任意值，相当于缩放，当为零时，表示为一个长度为比例因子可为任意值，相当于缩放，当为零时，表示为一个长度为无穷大的向量，表示方向向量，由该向量的三个分量来表示，此时无穷大的向量，表示方向向量，由该向量的三个分量来表示，此时需将该向量归一化，使长度为需将该向量归一化，使长度为1 1。其中：其中：第2页/共50页3第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换

3、空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述 2 2 2 2、方位的描述、方位的描述、方位的描述、方位的描述 为了规定空间某刚体为了规定空间某刚体为了规定空间某刚体为了规定空间某刚体B B B B的方位，另设一直角坐标系的方位，另设一直角坐标系的方位，另设一直角坐标系的方位，另设一直角坐标系BBBB与此与此与此与此刚体固接。用坐标系刚体固接。用坐标系刚体固接。用坐标系刚体固接。用坐标系BBBB的三个单位主矢量的三个单位主矢量的三个单位主矢量的三个单位主矢量 ，相对相对相对相对于坐标系于坐标系于坐标系于坐标系AAAA的方向余弦组成的的方向余弦组成的的方向余弦

4、组成的的方向余弦组成的3*3 3*3 3*3 3*3 阶矩阵来表示刚体阶矩阵来表示刚体阶矩阵来表示刚体阶矩阵来表示刚体B B B B相对于相对于相对于相对于AAAA的方位：的方位：的方位：的方位：第3页/共50页4第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述 2 2 2 2、坐标系在固定参考坐标系中的表、坐标系在固定参考坐标系中的表、坐标系在固定参考坐标系中的表、坐标系在固定参考坐标系中的表示示示示 由表示方向的单位向量以及第四由表示方向的单位向量以

5、及第四个位置向量来表示个位置向量来表示n n轴与轴与x x轴平行，轴平行，o o轴相对于轴相对于y y轴轴4545a a轴相对于轴相对于z z轴轴4545F F坐标系位于参考坐标系坐标系位于参考坐标系3,5,73,5,7位置位置例例第4页/共50页5第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述 :表示坐标系表示坐标系 BB主轴方向的单位矢量主轴方向的单位矢量.:相对于坐标系相对于坐标系 AA的描述的描述.将这些单位矢量组成一个将这些单位矢量组成一个

6、3 33 3的矩阵，按照的矩阵，按照的顺序的顺序 .旋转矩阵旋转矩阵:标量标量 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示。上的投影的分量来表示。第5页/共50页6第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述 3 3 3 3、旋转矩阵计算、旋转矩阵计算、旋转矩阵计算、旋转矩阵计算 称为旋转矩阵，上标称为旋转矩阵，上标称为旋转矩阵，上标称为旋转矩阵，上标A A A A代表参考系代表参考系代表参考系代表参

7、考系AAAA，下标，下标，下标，下标B B B B代表被代表被代表被代表被描述的坐标系描述的坐标系描述的坐标系描述的坐标系BBBB。重要！第6页/共50页7 Frame A and frame B Frame A and frame B B is rotated relative to frame A about Z by B is rotated relative to frame A about Z by degreesdegrees第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描述位置和姿态的描述第7页/共50页8第二章第二章 机器

8、人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描述位置和姿态的描述位置和姿态的描述位置和姿态的描述 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示:的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示 为了简单，上式的前置上标被省略。由两个单位矢量的点积可得到二者之间的余弦，因此可以理解为什么旋转矩阵的各分量常被称作为方向余弦。components of rotation matrices are often referred to as direction cosinesPAPB=|PA|PB|cos 第8页/共50页9第

9、二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述 进一步观察 ，可以看出矩阵的行是单位矢量 A在 B中的描述.因为 为坐标系A相对于 B的描述 由转置得到这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置 第9页/共50页10 4 4 4 4、旋转矩阵性质、旋转矩阵性质、旋转矩阵性质、旋转矩阵性质 1 1 1 1）矩阵有矩阵有矩阵有矩阵有9 9 9 9个元素，其中只有个元素，其中只有个元素，其中只有个元素，其中只有3 3 3 3个是独立的。因为三个个是独立的。因为三个个是

10、独立的。因为三个个是独立的。因为三个列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9 9 9 9个元素个元素个元素个元素满足满足满足满足6 6 6 6个约束条件（正交条件）：个约束条件（正交条件）：个约束条件（正交条件）：个约束条件（正交条件）：2 2）把矢量在把矢量在BB中的坐标表达式变为在中的坐标表达式变为在AA中的坐标表达式的变换中的坐标表达式的变换矩阵：矩阵：第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空

11、间描述和坐标变换空间描述和坐标变换位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描位置和姿态的描述述述述3 3）是正交矩阵，即有：是正交矩阵，即有：第10页/共50页11第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.2 2 空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换空间描述和坐标变换坐标系的描述坐标系的描述坐标系的描述坐标系的描述 用 和 来描述坐标系 第11页/共50页12第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 1 1 1 1、平移坐标系的映射、平移坐标系的映射、平移坐标系的映射、平移坐标系的映射 设坐标系设坐标系设坐标系

12、设坐标系BBBB与与与与AAAA具有相同的方位，但是具有相同的方位，但是具有相同的方位，但是具有相同的方位，但是BBBB的坐标原点的坐标原点的坐标原点的坐标原点与与与与AAAA不重合，用位置矢量不重合，用位置矢量不重合，用位置矢量不重合，用位置矢量 描述它相对于描述它相对于描述它相对于描述它相对于AAAA的位置，称为的位置，称为的位置，称为的位置，称为BBBB相对于相对于相对于相对于AAAA的平移矢量。如果点的平移矢量。如果点的平移矢量。如果点的平移矢量。如果点P P P P在坐标系在坐标系在坐标系在坐标系BBBB中的位置为中的位置为中的位置为中的位置为 ，则它相对于坐标系，则它相对于坐标系，

13、则它相对于坐标系，则它相对于坐标系AAAA的位置矢量的位置矢量的位置矢量的位置矢量 可由矢量相加得出：可由矢量相加得出：可由矢量相加得出：可由矢量相加得出：第12页/共50页13第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 2 2 2 2、旋转坐标系的映射、旋转坐标系的映射、旋转坐标系的映射、旋转坐标系的映射 设坐标系设坐标系设坐标系设坐标系BBBB和和和和AAAA有共同的原点，但是两者的方位不同。有共同的原点，但是两者的方位不同。有共同的原点，但是两者的方位不同。有共同的原点，但是两者的方位不同。同一点同一点同一点同一点P P P P

14、在两个坐标系在两个坐标系在两个坐标系在两个坐标系AAAA和和和和BBBB中的描述中的描述中的描述中的描述 和和和和 具有以下具有以下具有以下具有以下变换关系变换关系变换关系变换关系 ，称为坐标系旋转方程。，称为坐标系旋转方程。，称为坐标系旋转方程。，称为坐标系旋转方程。用旋转矩阵用旋转矩阵用旋转矩阵用旋转矩阵 表示坐标系表示坐标系表示坐标系表示坐标系BBBB相对相对相对相对 于于于于AAAA的方位。同样，用的方位。同样，用的方位。同样，用的方位。同样，用 描述坐标系描述坐标系描述坐标系描述坐标系 AAAA相对于相对于相对于相对于BBBB的方位。二者都是正交矩的方位。二者都是正交矩的方位。二者都

15、是正交矩的方位。二者都是正交矩 阵，两者互逆。阵，两者互逆。阵，两者互逆。阵，两者互逆。第13页/共50页14 Example:Frame B is rotated relative to frame A about Z by 30 degrees.Here Z is pointing out of the page.Writing the unit vectors of B in terms of A and stacking them as the columns of the rotation matrix:The original vector P is not changed,we

16、compute a new description relative to another frame.第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换第14页/共50页15第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换关于一般坐标系的映射关于一般坐标系的映射关于一般坐标系的映射关于一般坐标系的映射坐标系坐标系坐标系坐标系BBBB的原点与的原点与的原点与的原点与AAAA的既不重合，方位也不相同。的既不重合，方位也不相同。的既不重合，方位也不相同。的既不重合，方位也不相同。复合变换是由坐

17、标旋转和坐标平移共同作用的。复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。第15页/共50页16第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换齐次变换齐次变换齐次变换齐次变换 复合变换式对于点复合变换式对于点复合变换式对于点复合变换式对于点 而言是非齐次的，但是可以将其表而言是非齐次的，但是可以将其表而言是非齐次的，但是可以将其表而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的齐次变换形式：示成等价的齐次变换形式：示成等价的齐次变换形式：示成等价的齐次变换形式：其中，

18、其中，其中，其中，41414141的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为仍然记为仍然记为仍然记为 或或或或 。上式可以写成矩阵形式：。上式可以写成矩阵形式：。上式可以写成矩阵形式：。上式可以写成矩阵形式：齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合,可将其分可将其分可将其分可将其分解成两个矩阵相乘的形式：解成两个矩阵相乘的形式：

19、解成两个矩阵相乘的形式：解成两个矩阵相乘的形式：第16页/共50页17第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.3 3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换 连续旋转平移变换连续旋转平移变换连续旋转平移变换连续旋转平移变换 连续相对转动，可把基本矩阵连乘起来，由于选转矩阵不可连续相对转动，可把基本矩阵连乘起来，由于选转矩阵不可连续相对转动，可把基本矩阵连乘起来，由于选转矩阵不可连续相对转动，可把基本矩阵连乘起来，由于选转矩阵不可交换，故完成转动的次序是重要的。交换，故完成转动的次序是重要的。交换，故完成转动的次序是重要的。交换，故完成转动的次序是重要的。如果如果如果如果BBBB

20、坐标系相对于坐标系相对于坐标系相对于坐标系相对于AAAA坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵，如果阵左乘相应的基本旋转矩阵，如果阵左乘相应的基本旋转矩阵，如果阵左乘相应的基本旋转矩阵，如果BBBB坐标系相对于坐标系相对于坐标系相对于坐标系相对于BBBB坐标系的坐坐标系的坐坐标系的坐坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。标轴转动，则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。标轴转动，则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。标轴转动，则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。例：假设例：假设

21、例：假设例：假设BBBB相对相对相对相对AAAA的轴依次进行了下面三个变换：的轴依次进行了下面三个变换：的轴依次进行了下面三个变换：的轴依次进行了下面三个变换：1 1 1 1）绕）绕）绕）绕x x x x轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转 度；度；度；度；2 2 2 2）接着平移）接着平移）接着平移）接着平移 ；3 3 3 3）最后绕）最后绕）最后绕）最后绕y y y y轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转 度。度。度。度。第17页/共50页18 Example:Frame B is rotated relative to frame A about Z by 30 degrees,translated 10 un

22、its in ,and translated 5 unit in .Find ,where .The definition of frame B is We use the definition of B just given a transformation:第二章第二章 机器人运动学机器人运动学22.3 .3 映射映射映射映射坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换第18页/共50页19第二章第二章 机器人运动学机器人运动学 2 2.4 4 算子算子算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换平移、旋转和变换平移、旋转和变换 用于坐标系间点的映射的通用数学表达式被称为算子包括点的平移算子、矢量旋转算

23、子和平移加旋转算子。1)平移算子（Translational operators）A translation moves a point in space a finite distance along a given vector direction.Only one coordinate system need be involved.It turns out that translating the point in space is accomplished with the same mathematics as mapping the point to a second frame

24、.The distinction is:when a vector is moved“forward”relative to a frame,we may consider either that the vector moved forward or that the frame moved backword.The mathematics involved in the two cases is identical,only our view of the situation is different.第19页/共50页20第二章第二章 机器人运动学机器人运动学 2 2.4 4 算子算子算

25、子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换平移、旋转和变换平移、旋转和变换 运算的结果得到一个新的矢量，计算如下：用矩阵算子写出平移变换 where q is the signed magnitude of the translation along the vector direction .第20页/共50页21第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换 算子 可以被看成是一种特殊形式的齐次变换:式中 是平移矢量 Q 的分量 通过定义B相对于A的位置，(用 ),我们使得这两个描述具有相同的数学表达式。现在引入了 ，我们可以用它来描述坐标系和映射。第21页

26、/共50页22 2)旋转算子（Rotational operators）Another interpretation of a rotation matrix is as a rotational operator that operates on a vector and changes that vector to a new vector,by means of a rotation,R.When a rotation matrix is shown as an operator,no sub-or superscripts appear,because it is not viewed

27、 as relating two frame.We may write:Again,the mathematics is the same,only our interpretation is different.How to obtain rotational matrices that are to be used as operators:The rotation matrix that rotates vectors through some rotation,R,is the same as the rotation matrix that describes a frame rot

28、ated by R relative to the refrence frame.第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换第22页/共50页23 Although a rotation matrix is easily viewed as an operator,we can also define another notation for a rotational operator that clearly indicates which axis is being rotated about:is a rotational operator that

29、 performs a rotation about the axis direction by degrees.For example:第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换第23页/共50页24第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换 Example:Figure shows a vector .We wish to compute the vector obtained by rotating this vector about Z by 30 degrees.Call the new vector .Th

30、e rotation matrix that rotates vectors by 30 degrees about Z is the same as the rotation matrix that describes a frame rotated 30 degrees about Z relative to the reference frame.Thus,the correct rotational operator is 第24页/共50页25第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换 3)变换算子（Transformation operator

31、s）As with vectors and rotation matrices,a frame has another interpretation as a transformation operator.In the interpretation,only one coordinate system is involved,and so the symbol T is used without sub-or superscripts.How to obtain homogeneous transform that are to be used as operators:The transf

32、orm that rotates by R and translated by Q is the same as the transform that describes a frame rotated by R and translated by Q relative to the refrence frame.第25页/共50页26 Example:Figure shows vector .We wish to rotate it about Z by 30 degrees and translate it 10 units in and 5 units in .Find ,where .

33、The operator T,which performs the translation and rotation:第二章 机器人运动学 2 2.4 4 算子算子:平移、旋转和变换平移、旋转和变换第26页/共50页27第二章 机器人运动学 2 2.5 5 总结和说明总结和说明 Summary of interpretations (1)齐次变换阵是坐标系的描述.describes the frame B relative to the frame A.（description of a frame）(2)齐次变换阵是变换映射.maps .（）(3)齐次变换阵是变换算子.T operates

34、on to create .From this point on,the terms frame and transform will both be used to refer to a position vector plus an orientation.Frame is the term favored in speaking of a description,Transform is used most frequently when function as a mapping or operator is implied.Note that transformation are g

35、eneralizations of(and subsume)translations and rotations;we will often use the term transform when speaking of a pure rotation(or translation).第27页/共50页28第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.6 6 变换算法变换算法变换算法变换算法 齐次变换的计算齐次变换的计算齐次变换的计算齐次变换的计算 1 1 1 1）相乘：对于给定的坐标系）相乘：对于给定的坐标系）相乘：对于给定的坐标系）相乘：对于给定的坐标系AAAA、BBBB和和和和CCCC：

36、2 2 2 2）求逆：如果知道坐标系）求逆：如果知道坐标系）求逆：如果知道坐标系）求逆：如果知道坐标系BBBB相对相对相对相对AAAA的描述，希望得到的描述，希望得到的描述，希望得到的描述，希望得到AAAA相对相对相对相对BBBB的描述：的描述：的描述：的描述：第28页/共50页29 Example:Frame B is rotated relative to frame A about by 30 degrees and translated four units in and three units in .Thus,we have a description of .Find .The

37、frame defining B is:第二章第二章 机器人运动学机器人运动学2.2.6 6 变换算法变换算法第29页/共50页30CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.7 7 变换方程变换方程变换方程变换方程 Figure indicates a situation in which a frame D can be expressed as products of transformations in two different ways:We can set these two description

38、s of equal to construct a transform equation:Transform equations can be used to solve for transforms in the case of n unknown transforms and n transform equations.第30页/共50页31 Consider in the case that all transforms are known except .Here,we have one transform equation and one unknown transform,henc

39、e,we easily find its solution:注意：在所有的途中，我们都采用了坐标系的图形表示法，即用一个坐标系的原点指向另一个坐标系的原点的箭头来表示。将箭头串联起来，通过简单的变换方程就可得到混合坐标系。箭头的方向指明了坐标系定义的方式。如果有一个箭头的方向与串联的方向相反，就先求出它的逆 。CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.7 7 变换方程变换方程第31页/共50页32 Example:假定已知操作臂末端执行器的坐标系 ,它是相对于操作臂基座的坐标系B定义的，又已知工作台相对于操作臂

40、基座的空间位置 ,并且已知工作台上螺栓的坐标系相对于工作台坐标系的位置 计算螺栓相对于操作手的位姿：CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.7 7 变换方程变换方程第32页/共50页33CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法 Problem:能否用少于九个数字来表示一个姿态?A result from linear algebra(known

41、as Cayleys formula):for any proper orthonormal matrix R,there exists a skew-symmetric matrix(S=-ST)S such that:a skew-symmetric matrix of dimension 3 is specified by three parameters as:任何 33的旋转矩阵都可用三个参量确定.第33页/共50页34 显然，旋转矩阵的九个分量线性相关。实际上，对于一个旋转矩阵R很容易 写出六个线性无关的分量。假定R为三列：These three vectors are the u

42、nit axes of some frame writtern in terms of the refrence frame.Each is a unit vector,and all three must be mutually perpendicular,so we see that there are six constrains on the nine parameters:是否能找到一种姿态表示法，用三个参量就能简便进行表达?CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其

43、它描述方法第34页/共50页35 Whereas translations along three mutually perpendicular axes are quite easy to visualize,rotations seem less intuitive.Unfortunately people have a hard time describing and specifying orientation in three-dimensional space.One difficulty is that rotations dont generally commute.That

44、is:Example:考虑两个轴旋转，一个绕Z转30度，另一个绕X轴转30度。:CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法第35页/共50页36 Example:固连在坐标系固连在坐标系BB上的点上的点 （1 1）绕）绕z z轴旋转轴旋转9090度度:（1 1）绕）绕z z轴旋转轴旋转9090度；度；（2 2）然后绕）然后绕y y轴转轴转9090度；度；（2 2）再平移）再平移44，-3-3，77；（3 3）最后再平移）最后再平移44，-3-3，77。（3 3）然后绕

45、）然后绕y y轴转轴转9090度。度。CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法第36页/共50页37 1)X-Y-Z 固定角坐标系（fixed angles）下面介绍描述坐标系B姿态的另一种方法:Start with the frame coincident with a known refrence frame A.Rotate B first about by an angle ,then about by an angle ,and,finally,about

46、 by an angle .每个旋转都是绕着固定参考坐标系A的轴。我们规定这种姿态的表示法为X-Y-Z固定角坐标系。“固定”一词是指旋转是在固定（即不运动的）参考坐标系中确定的。有时把它们定义为回转角、俯仰角和偏转角。CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法第37页/共50页38CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿

47、态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法 可以直接推导等价旋转矩阵，因为所有的旋转都是绕着参考坐标系各轴的，where is shorthand for ,for .最重要的是搞清楚上式中的旋转顺序.Equation above is correct only for rotations performed in the order:about by an angle ,then about by an angle ,and,finally,about by an angle .常常使人感兴趣的是逆解问题，即从一个旋转矩阵等价推出X-Y-Z固定角坐标系。逆解取决于求解一组超越方程；

48、如果方程相当于一个已知的旋转矩阵，那么就有九个方程和三个未知量。在这九个方程中有六个方程是相关的。第38页/共50页39CHAPTER 2:Spatial descriptionCHAPTER 2:Spatial description 2 2.8 8 姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法姿态的其它描述方法 Let:In summary:Although a second solution exists,by using the positive square root in the formula for ,we always compute the single solu

49、tion for which .This is usually a good practice.If ,the solution degenerates.In those cases,one possible convention is to choose .第39页/共50页40 2)Z-Y-X 欧拉角（Euler angles）坐标系 B的另一种表示法如下:Start with the frame coincident with a known refrence frame A.Rotate B first about by an angle ,then about by an angle

50、 ,and,finally,about by an angle .In this representation,each rotation is performed about an axis of the moving system B rather than one of the fixed refrence A.Such sets of three rotations are called Euler angles.Note that each rotations takes place about an axis whose location depends upon the prec