数理统计论文.doc

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1、浅谈数理统计学号： 班级： 姓名：摘要：数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。概率论作为一门研究随机现象统计规律的数学学科，已在包括控制，通讯，生物，力学，金融，社会科学以及其他工程技术等领域得到了广泛的应用。关键词：数理统计学；发展；工程；经济；应用；一.引言数理统计是以概率论为基础，根据实验或观察到的数据，研究如何利用有效的方法对这些已知的数据进行整理，分析和推断，从而对研究对象的性质和统计规律做出合理和科学的

2、估计和判断。数理统计学是统计学的数学基础，从数学的角度去研究统计学，为各种应用统计学提供理论支持。它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。英国是数理统计的发源地和研究中心，但从第二次世界大战开始，美国也发展得很快。近几十年来，数理统计的广泛应用是非常引人注目的。在社会科学中，选举人对政府意见调查、民意测验、经济价值的评估、产品销路的预测、犯罪案件的侦破等，都有数理统计的功劳。在自然科学、军事科学、工农业生产、医疗卫生等领域，哪一个门类都离不开数理统计。数理统计学内容庞杂，分支学科很多，难于做出一个周密

3、而无懈可击的分类。大体上可以划分为如下几类：第一类分支学科是抽样调查和试验设计。它们主要讨论在观测和实验数据的收集中有关的理论和方法问题，但并非与统计推断无关。第二类分支学科为数甚多，其任务都是讨论统计推断的原理和方法。各分支的形成是基于：（1）特定的统计推断形式，如参数估计和假设检验。（2）特定的统计观点，如贝叶斯统计与统计决策理论。（3）特定的理论模型或样本结构，如非参数统计、多元统计分析、回归分析、相关分析、序贯分析，时间序列分析和随机过程统计。第三类是一些针对特殊的应用问题而发展起来的分支学科，如产品抽样检验、可靠性统计、统计质量管理等。二.数理统计的发展数理统计学起源于收集数据的活动

4、。所收集的数据范围广阔，小至个人日常琐事, 大至国家宏观调控。例如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等数据的记载。统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来的，可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。这时期也出现了一些现在仍很常用的统计方法，如直方图法。但最重要的，超出描述性统计范围的成就是高斯和勒让德关于最小二乘法的工作，导致统计思想上的重大进展；数据是来自服从一定概率分布的总体，而统计学就是用这些可观察到的数据去推断这个分布的未知属性。这个观点强调了推断的地位，使统计学摆脱了单纯描述

5、的性质。由于数理统计学所考察的数据带有偶然性，使得依据这些数据所得出的结论带有某种不确性，将其量化需要借助概率论的方法。因而，数理统计学与概率论这两个学科有着密切的联系：概率论是数理统计的基础, 数理统计是概率论的一种应用。概率论的发展从本质上促进了数理统计的发展。数理统计的发展阶段大致可分为古典、近代、现代，这三个时期。古典时期(19世纪以前)，这是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期。在这个时期，法国数学家棣莫佛(de Moivre,1667-1754)，勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752-1833)，德国数学家高斯(Carl Friedrich G

6、auss,1777-1855)等，都为数理统计的发展做出了突出的贡献。近代时期(19世纪末至1845年)，小样本理论作为数理统计的主要分支开始建立，是数理统计的形成时期。上一世纪初，由于概率论的发展从理论上接近完备，加之工农业生产迫切需要，推动着这门学科的蓬勃发展。1889年,英国数学家皮尔逊(Karl Pearson,1857-1936)提出了矩阵估计法，次年又提出了频率曲线的理论，并于1900年在德国大地测量学者赫尔梅特（F.Helmert）1876年研究正态总体的样本方差时发现的一个十分重要的分布的基础上提出了检验，这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布。1908年，英国的统计学家戈

7、塞特(W.S.Gosset,1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法)，这为数理统计的另一分支-多元分析奠定了理论基础。1912年，英国统计学家费歇(R.A.Fisher,1890-1962)推广了t检验法，同时发展了显著性检验及估计、方差分析等数理统计新分支。这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等都有了决定其基本面貌的内容和理论框架。数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科。现代时期(1945年以后)。美籍罗马尼亚数理统计学家瓦尔德(A.Wald,1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化,取得了

8、很多重要成果。他发展了决策理论，提出了一般的判别问题，创立了序贯分析理论，提出了著名的序贯概率比检验法(比如,用于贵重产品的抽样检查与验收)。瓦尔德的两本著作序贯分析和统计决策函数论，被认为是数理发展史上的经典之。统计决策理论从人与大自然进行博弈的观点出发，把形形色色的统计问题纳入一个统一的模式之下，对战后数理统计许多分支的发展产生了很大的影响，特别是参数估计这个分支。随着概率论的高速发展，随机过程的统计逐步形成了内容丰富的重要分支。其中，线性滤波理论占据了显著地位，它是40年代维纳-柯尔莫哥洛夫滤波理论(N.Wiener, A.H.Kolmogorov)和60年代卡尔曼滤波理论(Rudolf

9、 E. Kalman)向非线性领域的扩展。苏联学者李普泽尔（R.S.Liptser）和希拉也夫（A.N.Shiryaev）在1974年写的专著随机过程的统计系统论述了这方面的理论。随着计算机技术的进步和广泛使用，统计学又产生了一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等，不仅使得过去难于计算的问题能够解决，而且有利地促使了那些能有效利用现代计算机强大计算能力的统计学新理论、新方法的纷纷问世，例如自助法（bootstarp）、投影寻踪法（projection pursuit）、蒙特卡罗法（Monte Carlo Method)等。统计的应用范围愈来愈广，已渗透到许多科学领域，应用到

10、国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。三.数理统计在生产实践中的应用概率论作为一门研究随机现象统计规律的数学学科，已在包括控制，通讯，生物，力学，金融，社会科学以及其他工程技术等领域得到了广泛的应用。1.在经济管理决策中的应用在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。例1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产X 、地产Y 和商业Z ,其收益和市场状

11、态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1 = 0. 2 , p2 = 0. 7 , p3 = 0. 1 ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见表1 :请问:该投资者如何投资好?解:我们先考察数学期望, E(X)=110.2+30.7+(-3)0.1=4.0 , E(Y)=60.2+40.7+(-1)0.1=3.9 ,E (Z)=100.2+20.7+(-2)0.1 = 3.2 根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差:D(X)=(11-4)20.2+(3-4)20.7+(-3-4

12、)20.1 = 15.4D(Y)=(6-3.9)20.2+(4-3.9)20.7+(-1-3.9)20.1 = 3.29D(Z)=(10-3.2)20.2+(2-3.2)20.7 +(-2-3.2)20.1 = 12.96因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。2.在经济损失估计中的应用随着经济建设的高速发展,火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估

13、计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。例2 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N (,2 ) ,今随机抽取8次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。解利用矩估计法或最大似然估计法可知:, 的矩估计量分别为: ,从而根据表2中的数据可计算出: (1000 2 + 2000 1 + 3000 4 + 5000 1)= 2625 (1000 - 2625) 2 2 + (2000 - 2625) 2 +(3000 - 2625) 2 4 + (5000 - 2625) 2 = 1101562. 5v 从而得

14、到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049. 55 元。3. 在求解最大经济利润问题中的应用如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。例3 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量X (单位:吨) 服从(300 ,500) 上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1. 5 千元;若积压1 吨,则公司损失0. 5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。解:设公司组织该货源a 吨

15、,则显然应该有300 a 500 ,又记Y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即Y = g(X) ,由题设条件知:当X a 时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ; Xa 时,则售出X 吨(获利1.5X) ,且还有a-X 吨积压(获利- 0.5(a-X) ,所以共获利1.5X-0.5(a-X) ,由此得从而得 上述计算表明E(Y)是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,当a = 450 吨时,能够使得期望的利润达到最大。4.在经济预测中的应用在实际经营中,许多量之间存在某种密切联系,根据数理统计原理,可以根据往年资料或市场信息,通过对社会经济现象之间客观存在的因果

16、关系及其变化趋势进行线性回归分析预测,从而得出未来的数量状况。5.在工程实践中的应用数理统计方法在工农业生产、自然科学和技术科学等领域中有也有着广泛的应用。在农业中，对田间试验进行适当的设计和统计分析是实验中必不可少的环节。实验设计法、回归设计和回归分析、方差分析、多元分析等统计方法，在工业生产的试制新产品和改进老产品、改革工艺流程、使用代用原材料和寻求适当的配方等问题中起着广泛的作用，统计质量管理在控制工业产品的质量中起着十分重要的作用。医学是较早使用数理统计方法的领域之一，在防治一种疾病时，需要找出导致这种疾病的种种因素。统计方法在发现和验证这些因素上，是一个重要工具。另一方面的应用是，用统计方法确定一种药物对治疗某种疾病是否有用，用处多大，以及比较几种药物或治疗方法的效力。在自然科学和技术科学中，统计方法被普遍应用于地震、气象和水文方面的预报、地质资源的评介等领域。参考文献：1崔志超，王青建。数理统计学源流及应用J。大连教育学院学报，2005,02.2齐治平。数理统计学的产生与发展J。辽宁师范大学学报（自然科学版），1989,04.3易艳春 ，吴雄韬。概率统计在经济学中的应用J。廊坊师范学院学报（自然科学版），2009,02.4赵喜林，李德宜，龚谊承。应用数理统计M。武汉市，武汉大学出版社，2009.08.5陈式，谈谈数理统计方法的应用J。辐射防护通讯，1982,02.