概率论与数理统计总复习.doc

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1、概率论与数理统计总复习第一章 概率论的基本概念1. 事件的关系及运算互不相容事件： 即A,B不能同时发生。对立事件：且 即差事件： 即 发生但不发生的事件切记：2. 概率的性质单调性：若，则 加法定理： 例1 设，求。解： （）故 由此 （） 注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。3. 条件概率与三个重要公式乘法公式全概率公式 贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。解：设Ai第2次摸出i个新球(i=0,1,2), B第3次摸出两个新球 A0，A1，A2构成的一个划分 由全概率公式

2、 其中故4. 事件的独立性 A与B独立P(AB)=P(A)P(B) P(B/A)= P(B)A与B互不相容 AB= P(AB)=P(A)+P(B)注：n（2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P(A)P(B)=_第二、三章 随机变量及其分布1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3. 随机变量落在某区间（域）的概率 5. 随机变量函数的分布1） 公式法2） 分布函数法 注意画图分段讨论6. 随机变量的独立性若r.v X、Y相互独立试考虑其它等价条件？ 注

3、：若r.v X、Y相互独立 反之不成立。见习题四 21例4 设X,Y联合概率密度如下，问它们是否相互独立？ 解：X,Y的边缘概率密度为同理显然 故不相互独立例5 设随机变量X与Y相互独立, 其概率密度分别为求随机变量Z=X+Y的概率密度函数fZ(z).解其中D如图，则xzz=x+1Dz=x第四章 随机变脸的数字特征1. 期望与方差的意义 期望：随机变量取值的集中点； 方差：随机变量取值离集中点的偏离程度2. 熟记5种常见分布的期望与方差3. 随机变量的函数的期望（定理4.1.1，定理4.1.2）4. 利用期望与方差的性质求期望与方差（涉及随机变量的分解）例6 民航机场的送客汽车载有20名乘客，

4、从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到达某一站时无顾客下车，则不停车，设随机变量X表示停车次数，假定每个乘客在各站下车都是等可能的，求平均停车次数。解：设为汽车在第站停车次数，则因每个乘客在每站下车等可能，故所以，而 故 5.协方差的计算与相关系数的实际意义 1）随机变量相互独立则他们不相关 2）对二维正态随机变量，不相关等价于相互独立 例，随机变量X, Y均是正态随机变量，他们不相关，问他们时候独立。6多维正态随机变量的性质(P118)例 ， 且相互独立.(1)写出随机变量(X+Y)与(XY)的概率密度(2)求随机变量(X+Y)与(XY)的相关系数；(3)随机变量(X+Y)与(XY)是

5、否相互独立？解 令 U=X+Y, V=XY(1) E(U)= E(X)+E(Y)=3； D(U)= D(X)+D (Y)=22； E(V)= E(X ) E(Y )=； D(V)= D(X ) + D(Y )=22故 （2）E(X+Y) (XY)= E(X2 )E(Y2 )= D(X) +E(X ) 2 D(Y)E(Y )2 = 32因为,是相互独立的正态分布，所以(X ,Y )是二维正态分布，从而(U,V)也是二维正态分布.由二维正态分布的性质和(2)，可知X+Y与X-Y相互独立例（习题四，21）设随机变量，设，试求（1) Z的数学期望与方差；（2) X与Z的相关系数；（3) 问X与Z是否相

6、互独立。解：（1） （2） 而故（3）因（X,Y）是二维正态随机变量，X, Z均是X,Y的线性组合，故(X,Z)也是二维正态随机变量，而他们不相关故独立。第五章 1. 切比雪夫不等式： 注：切比雪夫不等式只能粗略估计概率，一般除题目特殊说明不能使用。2.中心极限定理 注意是极限运算，要注意打不等号 例 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9解 设检查的产品数为 n, 查出的次品数为X, 则X B( n, 0.1) , 按题意, 有P 10Xn 0.9由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有P 10Xn 于是故 即求解得 n146.8 或 n68.3，所以至少取 n = 147 能够保证要求.