概率与数理统计.pdf

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1、水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 问题集粹 问题集粹 问题1.1 问题1.1 事件间的关系和运算中应该注意些什么问题？解答与导引解答与导引 事件间的关系是用集合间的关系来定义的，事件间的运算是利用集合运算的关系来定义的。详细可见表1.1。因此它具有集合运算的所有性质。正因为如此，事件间的关系也常用集合间的关系来描述，例如说事件的不相容为事件的不相交，说事件A的逆事件为事件A的余事件，甚至也说成A的余等；而事件间的运算也常用集合间的运算来表示，例如求和、求交等。A虽然事件的求并、求交等也常说成是求和、求积，并且求和用“”表示，求交的运算符常略去不写，但是事件的运算与代数运算是不同

2、的。(1)一般的，ABBA)(2)当BA 时，=;,BAAABBBA(3)对偶原理是事件（或集合）的特别性质；事件间关系和运算的正确判断直接影响概率计算的正确性，因此要重视。例1.1.1例1.1.1 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生（3）A，B，C中至少有一个发生 （4）A，B，C都不发生（5）A，B，C中不多于一个发生 （6）A，B，C中至少有两个发生 解 解 （1）（2）（3）BCACABCBA （4）（5）（6）ABCBCACABBCACAB例1.1.3 设某箱装有100件产品，其中一、二、和三等品分别

3、为82、10、和10件，现在从中水机抽取得一件，记“抽到 等品”i1，2，3.iAi试求：)(),(),(313131AAPAAPAAP解 解 0)(31AAP9.01.08.0)(1)()(2231=+=ApApAAP 8.0)()(131=APAAP 地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 知识宝库考研社区(w w w.1z h a o.o r g)友情提示：购买原版，饮水思源！水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 问题1.2 问题1.2 概率的定义中为什么要规定可列可加性？解答与导引 解答与导引 “概率”是度量事件发生可能性

4、大小的“尺子”。在学习概率的定义时，绝大多数初学者不明白为什么要有“可列可加性”的规定。我们来看大家熟知的“长度”的概念。一个区间的“长度”是非负的集函数，我们将用L（A）表示。令 21,0(,1,0(1=A，对n1，211,211(1nnnA=易知nnAL21)(=，注意诸不交，且。又 nA=1 1,0()(nnAL()1,0121)(11LALnnnn=因此，这就是可列可加性。可见作为一个度量的“尺度”，应该有可列可加性的要求。实际上上的任意子区间的长度，也可视为=11)()(nnnnALAL 1,0(1,0(=上该子区间的概率，由于一个点的长度为0，所以研究长度时，和不作区别。1,0(1

5、,0问题1.3 问题1.3 样本空间如何选取？解答与导引 解答与导引 要注意弄清随机试验的最终结果是什么，参加试验的个体时可辩还是不可辩的。例如1.3.1之（3）是按照规则至多抽取4个产品的检查结果，而不是无规则地抽取4个产品；又如例1.3.2试验结果是n个人（当然是可辩）的一次排队，而不是n个人本身。例1.3.1 例1.3.1 写出下列随机试验的样本空间。记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；对某厂出长的一批产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品时就停止检查，否则检查了4个产品时也就停止检查，记录检查的结果。将一尺之锤折成三段，观察各段的长

6、度。解 解（1）100,.1,0:nini=，其中为此班的人数。n（2），其中0表示次品，1表示正品。1111,1110,01101,0111,1011,1010,1100,0110,0100,100,00=（3）1,0,0,0:),(=+=zyxzyxzyx,其中zyx,分别表示第一、二、三地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 段长度，或者 0)(1,0,0,0:),(+=yxzyxyx,其中yx,分别表示第一、二段长度。特别提示 弄清随机试验的最终的基本结果，是正确选择样本空间的关键。例

7、如本例之（2）是按照规则至多抽取4个产品的检查结果，而不是无规则地提取4个产品。（3）则是将第一尺之锤任意折成三段，于是有三个约束的长度。如果将锤的左端点取为坐标原点，yx,分别表示折断点的坐标，则又可写 1,0:),(=yxyx 问题 1.4 问题 1.4 为什么说概率的加法公式常可保证概率计算的正确性？解答与导引解答与导引 当各个事件是相交（相容）时，概率的加法公式看起来很复杂，但是它常可保证对较为复杂的和事件的概率计算的正确性。因此在审题时，如果和事件中各个事件是相交的，则应该按加法公式去算。例 1.4.1例 1.4.1 设A，B，C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P

8、(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8.求A，B，C至少有一个发生的概率。解解 由概率的单调性以及题设P(AB)0，知P(ABC)0 由加法公式)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP+=8581413)()(3=ACPAP 特别提示特别提示 求至少有一个事件发生的概率，应该立即想到是求和事件的概率，因此用概率的加法公式。例1.4.3例1.4.3 设某类元件的可靠度均为)1,0(r，且各元件能否正常工作是相互独立的，现在将2n各元件组成如图1.3所示的两种系统，试求两种系统的可靠性。地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 0

9、10-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 12 n 解解 两系统的可靠性分别记为，系统a的每支路如果成通路（分别记为事件和,它的n个元件必须都处在正常工作状态,因此它的可靠性为baRR,1A2Anr.而系统a通路必须至少有一条支路成通路，因此由一般加法公式)()()(2121AAPAPAPRa+=nr+nr-nr2=nr(2-nr)另一个计算方法是利用逆事件。两条支路都不通的概率为(1-nr),故也得 2=bRnr(2-r)n特别提示 特别提示 （1）对一个元件或系统，它能正常工作的概率成为它的可靠度。由元件串联或并联，可以构造多种系统，这类问题值得重视。不需要

10、记忆许多公式，重要的是抓住入手分析的两个关键：串联成通路是所有元件成通路（同时发生，积事件），并联是至少有一成通路（和事件）。系统a是例1.4.2的推广：从2个元件串联到一般的n个元件串联，而系统b中每个并联部分则是例1.4.2的2个元件串联变成1个元件（串联）的情况。所以利用1.4.2立即得到 aR=2nr-nr2,=(2bRr-r2)n（2）由于0rnrnr2,这说明系统a的可靠性比其每条支路的可靠性大，比将2n个元件组成串联系统可靠性更大。由于时,归纳可证(2-2nr)2-nnr,从而时,即系统b更优越.2nbRaR（3）注意逆事件概率公式的应用。问题1.5 问题1.5 请给出古典概型的

11、典型题以及有关的重要定理。1n系统a 2 1 2 n1 n2 系统b 地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 解答与导引 解答与导引 下面例1.5.1有典型意义，他还引出两类重要的概率分布规律：二项分布和超级和分布。例1.5.1 设有a见正品b件次品，从中按有放回和无放回两种方式逐一随机抽n次，求恰抽出件正品（即此事件为A）的概率.kkp解解 有放回此时为古典概型问题，空间的样本点个数,而符合事件A要求的样本点个数,nban)(+=knkknAbaCn=/=/k=0,1,2n (1.8)kpA

12、nnknkknbaCnba)(+不放回由于抽取不放回，后一次抽取时产品数已经比上一次抽取时少一个。既然每次抽取不放回，因此逐一抽取n次也可以看作从ba+个产品中一次抽走了n个，因此件正品取自总的a个正品，可能的取法有种.同理kCnnba+=kaCkn 件次品的取法有种,从而符合A的抽取的应有种可能,故 knbCkaCknbC=/=0,1,2n (1.9)kpkaCknbCnbaC+k此时还应有bknak,.特别提示特别提示 （1）有放回时，每一次抽去都是在ba+个产品种任意抽取,并且个产品都是等可能的被抽到,这样,任意两次抽取应有种等可能的结果，因此有放回抽取n次时，空间的样本点个数,为求,先

13、假定前k次都抽到了正品,那么后次就只能抽到次品了,仿的计算,件正品的抽取应有种等可能的结果,而件次品的抽取应有种等可能的情况,由于要抽n次,从而符合事件A要求的样本点个数应改为.由于n次抽取的究竟有哪次抽到正品,(另外ba+2)(ba+nban)(+=Ankn nkkakn knbkaCknbCkkn 次抽出次品)是没有限制的,因此.knkknAbaCn=（2）现在将（1.8）式改写为如下形式 kp=knkknbabbaaC+)()(并令baap+=,babpq+=1,则 kp=0,1,2n (1.10)knkknqpCk地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010

14、-62796032 知识宝库考研社区(w w w.1z h a o.o r g)友情提示：购买原版，饮水思源！水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 每一次抽取也都是一个古典概型，p实际是人和一次抽取中抽到正品的概率，q则是抽到次品的概率，因此（1.10）式的概率意义就十分明显了。因为（1.10）式右方是(p+)的二项展开式，含有的项 qnkp=nnknkqp0(p+)=1 qn因此这一类有放回的抽取的概率模型,叫做二项模型,由(1.10)式决定的数列叫二项分布,在第四讲还将进一步讨论.kp 注意,每一次抽取都是一个古典概型,现在的最终实验是抽取n次,实际上是将这种随机试验重复独立进

15、行n次而组成一个复合的大随机试验,空间的元数为,弄清空间很重要。nba)(+（3）由（1.9）式决定的这类概率模型，叫超几何分模型。二项分布何超几何分布都是必须熟练掌握的，既要会正确判断，又要会正确计算。（4）逐一不放回抽样，在第二次抽取时，可以抽取得产品数少了一个，但是当产品数很大，抽样数量远小于产品数。抽出的正品和次品数也分别小于全部产品中的正品和次品数时，第二次比第一次抽取只是少了一个，因此和第一次抽取的几乎没有什么不同，从而不放回抽样可以用放回抽样近似，按二项分布（1.10）式计算。上述事实是说，当很大,且,n-时（1.9）式右边与（1.10）式右方近似，即超几何概型可用二项概型逼近。

16、ba+kakb问题1.6 问题1.6 古典概型的计算中什么时候用排列，什么时候用组合？解答与导引解答与导引 古典概型问题，用组合算或是用排列来算？事实上，如果组合的问题弄清楚了，排列也就清楚了，从这个意义上说，应该在组合上多下点功夫，下面的例子将说明不可辩的组合问题也可以化为可辩的排列问题处理，因此用组合算或是用排列算都可以，应该是“条条大轮通罗马”。不过，一般情况下还是按原来的题设处理；不可辩时用组合而可便是用排列赖处理。因为改变后的处理，稍有不慎，便容易出错。例1.6.1 例1.6.1 一袋装有r个红球、b个黑球，出去颜色外不可辨别。今随机逐一取球，不放回，求第k次取出红球的概率 解解 同

17、色的求之间不可辩，用组合，将rb个球随机逐一全数取出，一次一线排列，占rb个位置，共有种可能，第个位置固定为红球，则只有种变化，故 rbrC+k11+rbrC地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 kp=/=11+rbrCrbrC+)/(brr+解解 将原本不可辩的球编号，从而变成可辩的，按排列处理同样可解此问题。仍然将个球随机逐一全数取出一线排列,共有(br+br+)!种可能.第个位置固定为红球,有kr种可能,而其余(br+-1)!种变化,故也有 kp=r(-1)!/()!=br+br+)/

18、(brr+特别提示特别提示 在第2讲还会给出此例的第三种解法，利用plya模型来解（参看第2讲例2.3.2）。实际上，那里给出更为一般的结论。问题1.7 问题1.7 应该记住哪些排列和组合的公式 解答与导引解答与导引 组合公式很多，但是在概率种常用的组合公式主要由以下几个。knnknCknknC=)!(!11=knknnCkC 1=(p+q)=n=nnknkknqpC0=nnknnC02=kiikninknCCC02 (1.11)其中第二个等式在求二项分布的矩（第6讲）的时候会用到，而最后一式在涉及到二项分布的两独立随机变量和的分布的性质（参数可加性，第4讲）时会用。问题1.8 问题1.8 请

19、给出几何概型的几个典型例题。几何概型对以后的概率论学习重要吗？解答与导引解答与导引 在概率论的发展上，几何概型的研究是重要助力之一，也是到处现代概率统计计算和随机模拟的源泉之一，几何概型是第4讲均匀分布的产生背景，模型化是几何概型的难点。对涉及均匀分布的许多计算，例如求均匀分布的随机变量函数的分布，以及它的矩的时候，采用几何概型的思路，常常可以使得问题大为简化，保证计算的正确性，因此应该掌握。例1.8.2 例1.8.2（buffon问题）平面上画有一簇相距为a的平行线，向此平面投一长为l(a)的针,求针与平行线相交的概率p.解 解 x:针的中点到这条直线的距离:针与这条直线的交角，于是 地址：

20、清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 0,2/0:),(=axx ),(,sin2/1:),(=xxx 从而针与平行线相交的概率 aladLALp/2)21/(sin21)(/)(0=sin2la21x0 注意到频率的稳定性（第8讲极限定理），如果投针次数记为N，相交次数n足够大时，n/Np=al/2,故 anlN/2也就是说，只要合理地选定和l(0，令)(1)(BPBPAA=)()()()(ABPBPAPCBPAAAA+=(2.8)对的乘法公式为 AP当P（A）P（B）0时,)|()|()|()

21、()(ABCPABPBCPBPBCPAAA=(2.9)最后，为增进感性认识，请考虑下面问题：条件概率与概率孰大孰小？既然可以看为事件A控制之下事件B的概率，因此的大小就会因为事件A的种种不同而与的大小有不同。)|(ABP)(BP)|(ABP)(BP例 2.1.1例 2.1.1 设事件A的概率7.0)(=AP,事件B的概率=0.5,求条件概率 )(BP)|(ABP的最小值和最大值。解 有条件概率的定义 =/=/0.7)|(ABP)(ABP)(AP)(ABP当BA时,AB最大,而=+-)(ABP)(AP)(BP)(BAP,故BA最大时AB最小,因此 0.5+0.7-1=0.2)(ABP)(BP=0

22、.5 =7.02.072)|(ABP=/0.7)(ABP757.05.0=所以所求的最小值和最大值分别为2/7和5/7 问题2.2 问题2.2 计算一个事件的概率如何入手？主要依据是什么？解答与导引 解答与导引 这个问题比较复杂，一般可以依序考虑如下问题：(1)查清是求无条件概率还是条件概率，也要查清题目已知的概率有哪些？他们是否是条件概率？(2)如果是无条件概率，那么查清此事件是否复杂，是否有一组伴随事件（合适的分割）发生。地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 首先考虑由题目条件,能不能直

23、接求得事件A的概率.如果事件A复杂,虽可直接求得,但较繁,可考虑逆事件概率公式 此时可以利用的式子有 =1=+=)(AP)(AP)(ABP)(BAP)(BAP)(BP)(ABP 如果不能直接求得此事件以及其逆事件的概率时，应去选取并求中间量作过渡。如果有一组事件伴随此事件发生，应当考虑全概率公式。选取这一组伴随事件做空间分割,或者不交P()0,且,则对A增加信息,容易算出.iBiBiB=niiBA1),|()()(1iniiBAPBPAP=iB)|(iBAP(4)如果是条件概率，考虑由定义能否直接求得 =0)|(BAP)(/)(BPABP)(BP如果不能，则可能先要中间变量作过渡。如果题目中已

24、经给出的量也是条件概率，只要已知信息正好相反，例如已知,但是要求的却是,，此时应该作信息转换，因而考虑贝叶斯公式：)|(ABP)|(BAP)|()()|()()|()()|(+=ABPAPABPAPABPAPBAP 如果已知的是，但是要求的却是,，则自然考虑如下贝叶斯公式：)|(iABP)|(BAPi=nkkkiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(3)如果有独立性，一定要考虑并利用这个重要条件。(5)中间量的选取，一要根据题目给出的条件，二要根据自己的经验积累。求和事件的概率，可参看问题2.5。问题2.3 问题2.3 什么时候想到用全概率公式？解答与导引解答与导引 在2.

25、2节的2.2.1中已经给出使用全概率公式的两个前提条件。例2.3.2 例2.3.2（plya）从有r个红球，b个黑球的袋中随机取一球，记下颜色后放回，并加进c个同色球，如此共取n习，问第n次取出红球的概率 np地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 解 解 令:事件“第n次取出红球”,：事件“第n次取出黑球”nRnB ,)/()(1brrRP+=)/()(1brbBP+=由2.2的全概率公式 )|()()|()()(1211212BRPBPRRPRPRP+=)/(brrcbrcrbrbcbrc

26、rbrr+=+即=.)(1RP)(2RP仿上，或利用逆事件的概率性质，可求得=.)(1BP)(2BP我们惊奇得发现，第二次抽取的概率与第一次抽取的概率是完全一样的，也即作第二次抽取时与在有r个红球、b个黑球的袋中，随机取一球的结果的可能性是一样的。在研究结果的可能性时，作第二次抽取时我们面临的条件与环境与第一次是一样的，即虽然第二袋中实际上多了c个球，但仍然可以看成只有br+个球,如果你愿意去计算第三次抽取，会得到同样的结论，并且归纳可证)(nRP=.及=)(1RP)(nBP)(1BP故所求的概率=np)/(brr+特别提示 特别提示（1）每次取样后袋中红球数都可能变化，因此事件“第n次取出红

27、球”与前面每次取出的红球的是否为红球有关，是一个复杂的事件，想到利用全概率公式和归纳法求解。（2）plya模型有广泛的应用，它使我们要考虑的问题大大简化。请读者重视plya模型的结论。如果我们取c0，plya模型刻画还原抽球；取c1，我们得到不还原抽球。Plya模型告诉我们，第n次取球的结果的概率规律与第一次取的规律是一样的，我们在实际生活中一直在应用这个结论：小组里有一张精彩的晚会票，都想去，最公平的办法使“抓阄”。这是不放回的抽球，先抓与后抓，抓中的可能性是一样的。当然，如果前面的人已经抓中，后面的人就“没戏”了，但前面的人如没有抓中，后抓的人抓中的可能性则变大了。但这就是条件概率。两种情

28、况综合考虑计算，抓中的可能性大家一样，除非这阄在制作时做了弊。例 2.3.4 例 2.3.4 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表.其中女生的报名表分别为3份,7份和5份,随机地取一个地区地报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 解 解 设=报名表是第i区考生的=1,2,3 iHijA=第次抽到的报名表是男生表=1,2 jj则 31)()()(321=

29、HPHPHP 107)|(11=HAP,158)|(21=HAP,2520)|(31=HAP(1)9029)255157103(31)|()()(1311=+=iiiHAPHPAPp(2)由Plya模型(例2.2.1)知107)|()|(1112=HAPHAP,它也是由条件概率的全概率公式验证:)|(12HAP=)|()|()|()|(1121111211HAAPHAPHAAPHAP+=10796+10393=107 类似地有158)|(22=HAP,2520)|(32=HAP,307)|(121=HAAP308)|(221=HAAP,305)|(321=HAAP 于是再由全概率公式 =)|(

30、)()(2312iiiHAPHPAP=9061)2520158307(31=+=)|()()(213121iiiHAAPHPAAP=92)305308307(31=+因此 61209061/92)(/)()|(22121=APAAPAAPq 问题2.4 问题2.4 贝叶斯公式在什么时候用?公式有何特点?解答与导引解答与导引 什么时候用贝叶斯公式?一句话,在求条件概率并需要作信息转换的时候用,当要求条件概率而题目已知的是时,需要将条件B与条件作转换.)|(iABP)|(iABPiA 此时事件B还伴随一组事件发生,或者还构成了一个分割(完全事件组);公式的分子是分母的一项,分子i是固定的,和右方分

31、子中的是同一个序号I,而iAiA)|()(iiABPAPiA地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 分母则要对所有的k求各和,参看2.2节的(2.2.1).)|()(kkABPAP例2.4.1例2.4.1 假设根据对某地区自然人群以往的普查,统计得到该地区癌症的发病率为0.0004.若用C表示事件”被检查诊断为癌症”,则=0.0004.又如用A表示事件”某项指标的化验结果为阳性”,根据该地区以往的临床记录,还得到P(A|C)=0.95以及现在该地区某人作此项体验的,结果为阳性,求在这个条件下此

32、人经诊断却为爱整的概率.)(CP90.0)|(=CAP)|(ACP解解 由设可知=1=0.9996,(注意(2.8)式).由式(2.2)中的贝叶斯公式)(CP)(CP10.0)|(1)|(=CAPCAP)|()()|()()|()()|(+=CAPCPCAPCPCAPCPACP =0038.010.09996.095.00004.095.00004.0=+由例可见,即使P(A|C)=0.95以及都很高,在此项化验结果为阳性的条件下,此人却为癌症的概率却很小,不必惊慌,P(A|C)与式很不一样的.90.0)|(=CAP)|(ACP特别提示 特别提示(1)本例已给出C为信息(含为信息)的条件概率,

33、而要求,可知这里需要作条件信息的转换,因此考虑贝叶斯公式.C)|(ACP(2)(2)本例还要注意条件概率的所有性质,因此.)|(1)|(=CAPCAP(3)(3)贝叶斯公式在医学,通讯,工程,经济,决策分析和社会统计等方面都有很多应用,假如是导致某个实验结果的”原因”,基于以往的数据记录统计可以得到,成为先验概率,现在如果已经判明事件B发生了,条件 niAi,.2,1,=)(iAP)|(BAPi则反映了试验之后对这项”原因”发生的可能性大小,这类条件 概率称后验概率.本讲的自测和模拟题里还有不少例子,请参看.例2.4.2例2.4.2 已知男人中有5的色盲患者,女人中有0.25是色盲患者,仅从男

34、女人数相等的人去中随机地挑选一人恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解 解 记A:色盲患者,M:男,W:女 地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义)|()()|()()|()()|(+=MAPMPMAPMPMAPMPAMP =)|()|()|(MAPMAPMAP+=0025.005.005.0+95.0 特别提示 (1)本题有信息转换,因此用贝叶斯公式;(2)由于男女人数相等,我们发现)|()|()|(MAPMAPMAP+,正好是男色盲的”比例”在全体以盲的”比例”中所占的份额.这个结果

35、是合理的,也容易理解和记忆.(3)本题的结果容易推广:下面的条件概率是一厂的次频率与单个厂总次数的比.问题2.5 有已知条件概率的时候,计算和事件概率的主要依据和处理技巧是什么?解答与导引 解答与导引 如何入手,当然首先首先要注意对事件处理的主要依据和处理技巧是:)()()()(212121AAPAPAPAAP+=(一般加法公式)=)()()()(212211+=+AAPAPAAPAP=(化为两个不交的并)()()(212121AAPAAPAAP+)()()()()(21321321AAPAPAPAPAAAP+=)()()(3212331AAAPAAPAAP+(一般加法公式)=(化为三个不相交

36、的并)()()(321211AAAPAAPAP+=)()()(213121AAAPAAPAP+其次,如果这和事件又与条件概率有关,则条件概率的定义,乘法公式,全概率公式和贝叶斯公式都会是主要依据,这三个公式的应用特点,请见2.2节之2.2.1以及问题2.3和问题2.4.如果有独立的条件,一定要用.此外还应该不断总结和记和经验,切实保证对这些概率公式的熟练掌握.例2.5.1 设例2.5.1 设21)|()|(=ABPBAP,=)(AP31,求)(BAP 地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 解

37、解 =)()|()(APABPABP21.31=61 由 )|()()|(BAPBPBAP=知 =)(BP312/16/1=故 =+=+=)(BAP)(AP)(BP)(ABP31+31-61=21 特别提示 特别提示 本例发现:利用乘法公式,条件)|()|(ABPBAP=保证=这也是一个经验,值得积累这些经验.)(AP)(BP问题2.6 问题2.6 计算涉及”最大”和”最小”问题的事件概率时常常出错,请给出这方面的例题,并且介绍思路.解答与导引解答与导引 计算涉及”最大”和”最小”问题的事件概率时要注意解题的出发点,而不必死记公式.下面几个例题都是典型问题.例2.6.1例2.6.1 自1,2,

38、10共十个数字中任取一个,取后还原,连取k次,得到抽出k个数的记录.试求事件”这k个数中最大者为”(mAm10m)的概率.解 解 记:”这k个数中不超过”,则事件发生,必须这k次中每次抽取的数字都不超过.由于还原抽取,每次抽取都是独立的,因此 mBmmBmkmmBP)10/()(=,注意,且=故 1mBmBmAmB1mBkkkkkkkmmmmmmmBPBPAP10)1(10)1(10)()()(1=特别提示 特别提示 (1)还原取数涉及重要独立试验,由还原抽球(产品)的例1.5.1知连续k次中取中指定数字例如3的次数,应该是二项分布,B(k,1/10),但本题考察的事件时这个数中最大者为,与前

39、述问题不同,因此容易想到个数中最大者如为,则每次抽取的数都不应超过m(因此每次概率是没0),但是错的,因为这忽略了还得至少有一次取到.kmkmkmmAP)10/()(=m(2)可作解法小结:事件”在个数中抽取得数,最大者为m”=”在k个数中抽取得数k地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 m”-”k个数中抽取得数+1”m问题2.7 问题2.7 我们知道事件独立性的性质1和性质2很重要,而性质的证明在解题中也提供重要的思路和方法.这两个性质是如何证明的?解答与导引 解答与导引 他们确实很重要,并

40、且他们的证明思路和方法也应该掌握.性质1的证明在0的前提下,有条件概率的乘法公式知)(AP)()|()(APABPABP=由独立性定义(2.3)式,立得命题的前一半.有对称性,知命题后半亦真.性质2的证明先证A,B独立则A与B独立,即要证.事实上,由有限可加性以及A和B独立的假定,)()()(=BPAPBAP)()()()()()(=+=BAPBPAPBAPABPAP 移项并利用逆事件的性质,)()()(1)()()()()(BA=BPAPBPAPBPAPAPP 于是由A与B独立证得的结论可得A与B独立,将A,B互换,利用证得的结论知B与独立,对与B用证明的结论可得与AAAB独立,从而可证全性

41、质2 问题2.8 问题2.8 事件独立性是十分重要的问题,怎么去考虑这类问题?请给出有关两个事件 独立性的例题,并且介绍思路和总结方法.解答与导引解答与导引 首先应该对事件独立行的概念有深刻地理解,其本质是在一个事件发生条件下不影响(不控制)另外一个事件发生的概率,而必须事件和不可能事件总是与任何事件独立的,独立的试验也必须是独立的,本讲关于事件独立性的注释以及其后独立性的三个性质都是充要条件,应该熟练掌握.例2.8.4 例2.8.4 设A,B是任意两个事件,其中A的概率不等于0和1,证明:,是事件A与B独立的充分必要条件.)|()|(=ABPBAP解 解 由于A的概率不等于0和1,可知题中两

42、个条件概率都存在.(1)必要性由事件A与B独立,知事件与B独立,因此 ABPBAP()|(=),)()|(BPABP=地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 从而 )|()|(=ABPBAP(2)充分性 ,可见)|()|(=ABPBAP )(1)()()()()()(APABPBPAPBAPAPABP=)()()()()(1)(ABPAPBPAPAPABP=)()()(BPAPABP=因此 A 与 B 独立.特别提示特别提示 (1)本例是 2002 年数学 4 的考验题,其必要性的证明利用了独

43、立性性质1 的和性质 3,充分性的证明也与例 2.8.3 不同.(2)事件独立性的这一重要性质,其实早在 1998 的数学 1 中就已经考过了,因此我们应该重视以前的考题,并“细细把玩”,毕竟他们实重要知识点的代表.问题 2.9 问题 2.9 三个独立事件的问题中,如何快速做出正确判断?解答与引导解答与引导 三个事件的独立性,应该有缺一不可的 4 个等式同时成立:两两独立,以及三个事件同时发生的概率等于这三个事件跟别发生的概率的乘积.做出快速判断的另外一个重要依据是事件独立性的性质.除了问题 2.7 中讨论的两个事件独立性的性质外,类似的,对于三个事件的独立性有下面性质.性质 4 A,B,C

44、三个事件相互独立和独立,其中=A,或和类似.BA,CABA,C性质5 A,B,C三个事件相互独立,则其中任意两个事件的集合运算(并 交 求余),例如AB,等第三个事件 C 或其逆都是独立的.BAC一般说,由 A,B,C 三个事件通过集合运算去构造的任意两个”复合事件”中,如果都涉及由共同成员时,例如都是 A,一般不独立,但在特别情形有例外(参看例 2.4.2)因此要小心.例 2.9.1例 2.9.1,设 A,B,C 是两两独立的三个事件,则 A,B,C 相互独立的充分必要条件是()(A)A 与 BC 独立 (B)AB 与 AC 独立(C)AB 与 AC 独立 (D)AB 与 AC 独立 解 解

45、(A)地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 特别提示特别提示 只要查验哪个条件曾保证下面结论出那个成立即可:三个事件同时发生的概率于他们分别发生的概率的乘积.例 2.9.2 将一枚硬币独立的掷两次:=掷第一次出现正面A=掷第二次出现正面,=正反个出现一次,=正面出现两次则事件()1A23A4A(A),A,相互独立 (B)A,相互独立 1A23A23A4A(C),A,两两独立 (D)A,两两独立 1A23A23A4A解 解(C)特别提示特别提示 如果(A)成立,则(C)一定成立,因为是单选题,

46、所以不考虑(A);类似可排除(B),检查(C),发现成立,因此选(C).实际上两次掷硬币是独立的,因此和 A2的独立性得.而=+A,故 P()=P()=1/4,而 1A3A1A2A1A23A1A1A2AP()=3A2121+2121=21 故 P()=1/4=P()P()3A1A3A1A知独立,由于对称性,仿证可得 A 和独立,从而选(C).1A3A23A问题 3.1 问题 3.1 随机变量的分布函数分布和密度函数,这几个主要概念有何关系?涉及他们的基本性质的知识点会有哪些重要类型题?解答与导引解答与导引 概念之间的主要关系请看 3.1 节之 3.1.23.1.3 部分及表 3.1 重要类型题

47、有:(1)是否为分布函数分布或密度,参看例 3.1.1;(2)判断分布函数分布或密度的四则运算(含线性和)是否为分布函数分布和密度,参看例 3.1.2;(3)决定分布函数分布或密度的四则运算,参看 3.1.4,例 3.1.5;(4)判断随机变量简单函数的分布函数的连续以及间断性质,参看例 3.1.3.例 3.1.2例 3.1.2 设的 分 布 函 数 密 度 函 数 和 分 布 分 别 为,和,则下列哪一些结论成立?()1X)(xFi)(xfi)(xpi2,1,.,2,1=ink地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 200

48、7 年考研公式班概率讲义(A)+是分布函数)(1xF)(2xF(B)是分布函数)(1xF)(2xF(C)+是密度函数)(1xf)(2xf(D)是密度函数)(1xf)(2xf(E)+,是密度函数)(1kxp)(2kxpnk,.,2,1=(F),是密度函数)(1kxp)(2kxpnk,.,2,1=解解(B)特别提示特别提示 利用存在定理,知分布函数密度函数和分布的基本性质都是决定性的性质:即满足基本性质的实值函数(含数列),一定还是这类函数.例3.1.4 试确定的值,分别使以下函数为密度函数:a(1)=其他 00 )()1(3xaexfx(2)是常数其中其他0 00 )()1(3X=xaexfx解

49、 解 (1)由密度函数基本性质,a0 且使 3)(11)1(3aydeadxxfx=+故 =3 a(2)(令 y=x-10)10(10)10(1+=aayaxeydedxe因此 a=10 问题 3.2 问题 3.2 利用分布函数分布和密度函数,怎样去求简单事件的概率?解答与导引 解答与导引 首先了解分布函数分布和密度函数的概率定义:分布函数 F(x)给出随机变量 X 的值落入区间(x,的概率.分布给出随机变量 X 在一点上的概率;ipix地址：清华东门创业大厦 1006 电话：010-62701055 010-62796032 水木艾迪培训学校 2007 年考研公式班概率讲义 密度函数dx 给

50、出随机变量 X 在一点 x 的微分领域的概率.)(xf因此,分布函数 F(x)在区间(x,内的所有点出的概率之和(对离散型);ixip分布函数 F(x)在区间内的所有点 y 的微分邻域内的概率 f(y)dy 之和,即(x,(x,上对 f(y)的定积分.几何意义是曲线 y=所围下的面积(对连续型).)(xf然后根据事件对 X 的要求,找出 X 值的范围,作累加即可.例 3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为 =其他若若 0 1,0 9/2 1,0 3/1)(xxxf若使得k3/2)(=kXP,则的取值范围是 k.特别提示特别提示 分布函数的值是密度函数曲线所围下的面积,因此 P()=,P()=