概率统计建模讲义.pdf

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1、 数理统计例举 数理统计例举 王晓谦 王晓谦 南京师范大学 2006 年 8 月南京师范大学 2006 年 8 月 NextNext 主要内容 主要内容 随机变量及其分布随机变量及其分布 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 参数估计参数估计 假设检验假设检验 相关分析与回归分析简介相关分析与回归分析简介 MATLAB 例题例题 例 1 能量供应问题例 1 能量供应问题 例 2 放射性例 2 放射性 例 3 正态分布例 3 正态分布 例 4 指数分布例 4 指数分布 例 5 多元随机变量例 5 多元随机变量 例 6 经验分布函数 例 6 经验分布函数 例 7 超市问题例 7 超市问

2、题 例 8 区间估计例 8 区间估计 例 9 拟合检验 1例 9 拟合检验 1 例 10 拟合检验 2例 10 拟合检验 2 例 11 概率纸检验法例 11 概率纸检验法 例 12例 12道德道德 例 13 肠癌例 13 肠癌 例 14例 14 J效应J效应 Back Next 随机变量及其分布随机变量及其分布 例 1例 1、能量供应问题（二项分布）、能量供应问题（二项分布）假定有假定有10n=个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。首先我们要知道，或者是假定，每个

3、工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率 p 需要一个单位的电力。那么，需要一个单位的电力。那么，同时使用电力的人数同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。用就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。用 X 表示这个随机变量，记做表示这个随机变量，记做(,)XB n p，且有且有()(1),kkn knP XkC pp=0,1,kn=?这是非常重要的一类概率分布。其中 E(X)np，D(X)=np(1-p)。这是非常重要的一类概率分布。其中 E(X)np，D(X)=np(1-p)。目录目录 Back Next 其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一

4、个小时里有 12 分钟在使用电力，那么应该有其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一个小时里有 12 分钟在使用电力，那么应该有120.260p=。最后，利用公式我们求出随机变量X的。最后，利用公式我们求出随机变量X的 概率分布概率分布表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：01234567891000.050.10.150.20.250.30.35012345678910 目录目录 Back NextNext X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.107374 0.268435 0.30199 0.201327

5、 0.08808 0.026424 0.005505 0.000786 0.000074 0.000004 0.00000累积概率 0.107374 0.37581 0.6778 0.879126 0.967207 0.993631 0.999136 0.999922 0.999996 1 1 可以看出，可以看出，6160.000864P XP X=，也就是说，如果供应 6 个单位的电力，则超负荷工作的概率只有 0.000864，即每，也就是说，如果供应 6 个单位的电力，则超负荷工作的概率只有 0.000864，即每 11147200.000864分钟小时 中，才可能有一分钟电力不够用。还可

6、以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的 中，才可能有一分钟电力不够用。还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。还要小。问题：问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么样的随机变量会服从二项分布？二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么样的随机变量会服从二项分布？目录目录 Back NextNext 进行 n 次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是 p，那么在这 n 次观测中事件 A 出现的总次数是一个服从二项分布 B（n，p）。作业：用 MATLAB 计算本题。binopdf(x,n,p)计算 x 中每个值

7、对应的二项分布概率 binocdf(x,n,p)进行 n 次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是 p，那么在这 n 次观测中事件 A 出现的总次数是一个服从二项分布 B（n，p）。作业：用 MATLAB 计算本题。binopdf(x,n,p)计算 x 中每个值对应的二项分布概率 binocdf(x,n,p)计算 x 中每个值对应的分布函数值计算 x 中每个值对应的分布函数值 例如例如 binopdf(0:10,10,0.2)目录目录 Back NextNext 例 2、例 2、Rutherford 对裂变物质的观测 （Poisson 分布）Rutherford 对裂变物质的观测 （

8、Poisson 分布）英国著名物理学家 Rutherford（18711937）在其放射性物质试验中，观测在时间间隔T 内放射性物质放射出的 粒子数。实际试验时，取时间间隔为T=7.5 秒，观测了 N2608 次，将每次观测到的粒子数记录下来，列在下表中第 1，2 行：英国著名物理学家 Rutherford（18711937）在其放射性物质试验中，观测在时间间隔T 内放射性物质放射出的 粒子数。实际试验时，取时间间隔为T=7.5 秒，观测了 N2608 次，将每次观测到的粒子数记录下来，列在下表中第 1，2 行：粒子数X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 n 57 203 3

9、83 525 532 408 273 139 45 27 16 频率 f 0.021856 0.077837 0.146856 0.201304 0.203988 0.156442 0.104678 0.053298 0.017255 0.010353 0.006135概率 p 0.020858 0.080722 0.156197 0.201494 0.194945 0.150888 0.097323 0.053805 0.026028 0.011192 0.006547 目录目录 Back NextNext 我们用 X 表示T=7.5 秒内观测到的 粒子数，它是一个随机变量，我们用 X 表示

10、T=7.5 秒内观测到的 粒子数，它是一个随机变量，服从什么分布服从什么分布呢？在 2608 次观测中，共观测到 10094 个 粒子数，平均每次观测到=MN1009426083.87 个粒子数，用参数为=3.87的Poisson分布P计算一下：呢？在 2608 次观测中，共观测到 10094 个 粒子数，平均每次观测到=MN1009426083.87 个粒子数，用参数为=3.87的Poisson分布P计算一下：,0,1,2,!kP Xkekk =?将计算结果列在上表中将计算结果列在上表中 最后一行最后一行，与列在第 3 行的实际频率比较，比较的图示在下图中。（，与列在第 3 行的实际频率比较

11、，比较的图示在下图中。（ExcelExcel）00.050.10.150.20.25012345678910观测频率理论概率P（3.87）可以看出，认为X服从参数为 3.87 的Poisson分布还是非常合理的。在后面统计部分,我们会用Pearson可以看出，认为X服从参数为 3.87 的Poisson分布还是非常合理的。在后面统计部分,我们会用Pearson2拟合检验法来证明这种合理性。拟合检验法来证明这种合理性。目录目录 Back NextNext 作业：用作业：用 MATLAB 计算本题。计算本题。poisspdf（x，），计算，），计算 poisson 概率，概率，例如，例如，pois

12、spdf(0:9,3.87)问题：Poisson 分布是又一类非常重要的用来计数的离散型分布，它依赖于一个参数 问题：Poisson 分布是又一类非常重要的用来计数的离散型分布，它依赖于一个参数。什么样的随机变量会服从Poisson 分布呢？。什么样的随机变量会服从Poisson 分布呢？目录目录 Back Next 在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内，等等），事件会发生多少次？把观测范围分成在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内，等等），事件会发生多少次？把观测范围分成 n 个小范围：个小范围：1、给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少次取决于小范围的大小

13、；给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少次取决于小范围的大小；2、在不同的小范围内发生多少事件相互独立；在不同的小范围内发生多少事件相互独立；3、在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相比可以忽略不计，用在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相比可以忽略不计，用np表示在小范围内事件发生一次的概率。表示在小范围内事件发生一次的概率。那么在给定范围内发生的总事件数那么在给定范围内发生的总事件数 X 近似服从近似服从(,)nB n p，nnp为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令n，则，则nnp为给定范围内事件发

14、生次数的准确平均值，这时为给定范围内事件发生次数的准确平均值，这时,!()(1)kkknnkn knekkP XkC pp =0,1,2,=?这正是这正是 Poisson 分布，其中参数分布，其中参数()E X。目录目录 Back Next 例 3、正态分布 随机变量 X 如果有密度函数 随机变量 X 如果有密度函数 22()21(),2xp xex=,都 是 给 定 的 参 数，都 是 给 定 的 参 数，2(),()E XD X=。称。称(0,1)N为标准正态分布，用为标准正态分布，用()x表示其分布函数，其密度函数为 表示其分布函数，其密度函数为 221().2xxex=,+2(,)XN

15、 时，我们有时，我们有()()bbaabaP aXbp x dxx dx=其他.它的分布函数为 它的分布函数为 0,0;()1xxF xex =,0.目录目录 Back NextNext 设设,XYb=+0,bR 是给定常数，则 Y 的分布函数为 是给定常数，则 Y 的分布函数为()()()()0,;1.Yx bFxP YxP XxbFxbxbexb=,其密度函数为 其密度函数为()0,;().Yx bpxbxexb =,这是一般的指数分布。这是一般的指数分布。211(),()E Yb D Y=+=。目录目录 Back NextNext b0 的指数分布的密度函数图像如下所示b0 的指数分布的

16、密度函数图像如下所示（指数密度）：可见，随着可见，随着的减小，随机变量取到较大值的概率增加。事实上，的减小，随机变量取到较大值的概率增加。事实上，1b+是随机变量的数学期望。是随机变量的数学期望。指数随机变量经常用来刻画寿命。指数随机变量经常用来刻画寿命。目录目录 Back NextNext 例 5例 5、多元随机变量、多元随机变量 我们经常需要考虑量与量之间的关系，如果这些量是随机变量，那么就需要把多个随机变量放在一起，考虑多元随机变量。设我们经常需要考虑量与量之间的关系，如果这些量是随机变量，那么就需要把多个随机变量放在一起，考虑多元随机变量。设12(,)nXXX?,是 n 元随机变量，它

17、的分布函数是一个 n 元函数：是 n 元随机变量，它的分布函数是一个 n 元函数：121122(,),nnnF x xxP Xx XxXx=?利用这个分布函数就可以讨论这n个随机变量之间各种各样的关系。利用这个分布函数就可以讨论这n个随机变量之间各种各样的关系。目录目录 Back NextNext 1、1、边际分布与独立性 边际分布与独立性(,),1,2,.()iXiiiiFxinFxP Xx+=?12,nXXX?,相互独立当且仅当相互独立当且仅当 121(,).()innXiiF x xxFx=?2、2、相关系数 相关系数 两个随机变量两个随机变量X Y,之间的相关系数定义为 之间的相关系数

18、定义为 cov(,)(,),()()X YX YD X D Y=其中其中cov(,)()().X YEXE XYE Y=相关系数刻画了随机变量之间的线性相关程度，越接近于0，线性相关关系越弱。相关系数刻画了随机变量之间的线性相关程度，越接近于0，线性相关关系越弱。目录目录 Back NextNext 定理定理：设二维随机变量(X，Y)的相关系数为：设二维随机变量(X，Y)的相关系数为(,)X Y，则，则（1）、（1）、0(,)1;X Y （2）、在(X，Y)服从二元正态分布的条件下，X 与 Y 独立（2）、在(X，Y)服从二元正态分布的条件下，X 与 Y 独立的充要条件是的充要条件是(,)0X

19、 Y=；（3）、若（3）、若(,)1X Y=，则几乎必然有，则几乎必然有,YaXb=+其中其中0,aa b是确定的常数；是确定的常数；若若(,)1X Y=，则几乎必然有，则几乎必然有,YaXb=+其中其中0,aa b是确定的常数。是确定的常数。目录目录 Back Next 3、条件分布条件分布 在已知其中某些随机变量的取值的情况下，可以进一步在已知其中某些随机变量的取值的情况下，可以进一步 确定其他随机变量的条件分布。例如，确定其他随机变量的条件分布。例如，,(,)(,)|.()()ijijjjXXijXXijiijjjXjXjFx xxFx xP XxxXxxFxxFx+=+在有密度函数的情

20、况下，我们还可以求条件密度函数，甚至利用 Bayes 定理，解决许多重要问题。在有密度函数的情况下，我们还可以求条件密度函数，甚至利用 Bayes 定理，解决许多重要问题。目录目录 Back NextNext 综上所述，我们知道在概率论里学过许多分布，当然，还有许多分布我们没有学过。但是，在实践中我们可能会遇到各种各样的分布，甚至还有没被发现的分布。综上所述，我们知道在概率论里学过许多分布，当然，还有许多分布我们没有学过。但是，在实践中我们可能会遇到各种各样的分布，甚至还有没被发现的分布。在处理数据的时候，我们要搞清楚：在处理数据的时候，我们要搞清楚：1、数据是哪个或哪些指标的取值？数据是哪个

21、或哪些指标的取值？2、这个或这些指标是不是随机变量或随机向量？这个或这些指标是不是随机变量或随机向量？3、如果是，那么它服从什么分布？如果是，那么它服从什么分布？4、用统计方法确定分布；用统计方法确定分布；5、分布确定后，用概率方法求出问题的解。分布确定后，用概率方法求出问题的解。下面我们就讨论用统计方法确定分布的问题。下面我们就讨论用统计方法确定分布的问题。目录目录 Back Next 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 当我们确定讨论的指标的确是随机变量后，剩下的关键任务就是确定它的分布。那么它的观测数据就是我们赖以解决问题的基本资料，叫做当我们确定讨论的指标的确是随机变量后

22、，剩下的关键任务就是确定它的分布。那么它的观测数据就是我们赖以解决问题的基本资料，叫做样本样本，而这个随机变量就叫做，而这个随机变量就叫做总体总体。这些数据反映了该随机变量分布的基本特征。我们可以利用这些数据构造一个分布函数，理论上可以证明它很接近于那个未知分布。这个分布函数就叫做经验分布函数。这些数据反映了该随机变量分布的基本特征。我们可以利用这些数据构造一个分布函数，理论上可以证明它很接近于那个未知分布。这个分布函数就叫做经验分布函数。目录目录 Back NextNext 例 6、例 2 续(经验分布函数)例 2 续(经验分布函数)在例 2，我们确定所讨论的指标在时间间隔T 秒内放射出的

23、粒子数 X，是一个随机变量。且有该随机变量的n2608 个观测值，这就是一个容量为 2608 的样本。在没有其他信息的情况下，首先应该给出该样本的经验分布函数：在例 2，我们确定所讨论的指标在时间间隔T 秒内放射出的 粒子数 X，是一个随机变量。且有该随机变量的n2608 个观测值，这就是一个容量为 2608 的样本。在没有其他信息的情况下，首先应该给出该样本的经验分布函数：().nxF xxRn =样本中不超过的观测值的个数，在这里我们可求出这个在这里我们可求出这个 经验分布函数经验分布函数如下：如下：2 6 0 80,0;0.0 2 1 8 5 5 8 2 8,01;0.0 9 9 6 9

24、 3 2 5 2,12;0.2 4 6 5 4 9 0 8 ,23;0.4 4 7 8 5 2 7 6 1,34;0.6 5 1 8 4 0 4 9 1,45;()0.8 0 8 2 8 2 2 0 9,56;0.9 1 2 9 6 0 1 2xxxxxxFxx=3,67;0.9 6 6 2 5 7 6 6 9,78;0.9 8 3 5 1 2 2 7,89;0.9 9 3 8 6 5 0 3 1,91 0;1,1 0.xxxxx 目录目录 Back Next 这个函数的图像如下这个函数的图像如下（Poisson2）：如果熟悉 Poisson 分布的分布函数图像的话，就可以从这个图像判断出，X

25、 可能服从参数为 3.87 的 Poisson 分布。从这个经验分布函数容易解决概率计算问题：如果熟悉 Poisson 分布的分布函数图像的话，就可以从这个图像判断出，X 可能服从参数为 3.87 的 Poisson 分布。从这个经验分布函数容易解决概率计算问题：()()()().nnP aXbF bF aF bF a 为 为 否定域否定域，给定检验水平，H，给定检验水平，H0 0成立时，成立时，22(1)Pkr。很小时，很小时，22(1)kr 是一个小概率事件。如果是一个小概率事件。如果22(1)kr，则否定原假设，否则说明数据与原假设没有矛盾，接受原假设。，则否定原假设，否则说明数据与原假

26、设没有矛盾，接受原假设。目录目录 Back NextNext 检验的第三步检验的第三步，具体计算。本例中，N2608 很大，k11，r1，可计算得，具体计算。本例中，N2608 很大，k11，r1，可计算得 212.8849381。我们取检验水平我们取检验水平0.05=，可查表求得，可查表求得 2220.050.05(1)(11 1 1)(9)16.92kr=，220.0512.8849381(9)16.92=，所以不否定原假设，认为 X 服从 Poisson 分布.事实上，H，所以不否定原假设，认为 X 服从 Poisson 分布.事实上，H0 0成立时可以求得 成立时可以求得 212.88

27、49381P0.1679（利用 MATLAB，1-chi2cdf(12.8849381,9)），这个概率还是相当大的，一般来说远远大于所要求的检验水平（利用 MATLAB，1-chi2cdf(12.8849381,9)），这个概率还是相当大的，一般来说远远大于所要求的检验水平。可以看出来，只要检验水平。可以看出来，只要检验水平没有超过 0.1679，就可以接受原假设。换句话说，除非检验水平大于 0.1679,否则接受原假设。这是所谓 p 值判断法。没有超过 0.1679，就可以接受原假设。换句话说，除非检验水平大于 0.1679,否则接受原假设。这是所谓 p 值判断法。作业：用 MATLAB

28、完成本例计算。作业：用 MATLAB 完成本例计算。目录目录 Back NextNext 这个例子讲述了离散总体情况下的总体分布的这个例子讲述了离散总体情况下的总体分布的2 2拟合检验。那么，对于连续（注意没有要求是连续型的）总体该如何处理？我们还是用例子来说明。拟合检验。那么，对于连续（注意没有要求是连续型的）总体该如何处理？我们还是用例子来说明。目录目录 Back NextNext 例 10例 10、续例 7（连续型）、续例 7（连续型）解决例 7 超市问题中遗留下来的问题，认为顾客的购买金额解决例 7 超市问题中遗留下来的问题，认为顾客的购买金额 X 服从参数为服从参数为0.058076

29、44=的指数分布，合理吗？的指数分布，合理吗？上一个问题中，总体 X 是离散型随机变量，我们把它的所有可能的取值分成了 11 个不同的情况，比较每一种情况下的理论与观测结果，构造统计量解决问题。本问题中，总体 X 不再是离散型随机变量，所有可能取值为全体正实数。上一个问题中，总体 X 是离散型随机变量，我们把它的所有可能的取值分成了 11 个不同的情况，比较每一种情况下的理论与观测结果，构造统计量解决问题。本问题中，总体 X 不再是离散型随机变量，所有可能取值为全体正实数。目录目录 Back NextNext 我们要借用离散型的思想，将这 X 的无穷多个取值分成k 个不同的情况（k 不能太大也

30、不能太小，一般在 420 之间），即将全体正实数分解成 k 个区间。怎样分？我们要借用离散型的思想，将这 X 的无穷多个取值分成k 个不同的情况（k 不能太大也不能太小，一般在 420 之间），即将全体正实数分解成 k 个区间。怎样分？保证样本中的观测值在每个区间中的个数一般不少于 5 个保证样本中的观测值在每个区间中的个数一般不少于 5 个（大部分区间上这样就可以了，在数据的最大最小值附近的区间上一般不一定要这样）。这样就可以（大部分区间上这样就可以了，在数据的最大最小值附近的区间上一般不一定要这样）。这样就可以统计每个区间中的观测值的个数，统计每个区间中的观测值的个数，同时，同时，在原假设

31、成立的情况下计算每个区间中的理论频数。在原假设成立的情况下计算每个区间中的理论频数。这样就把问题简化为离散型的数据结构，那里用到的统计量仍可以使用，那里的定理还成立，所有后面的步骤不再变化。这样就把问题简化为离散型的数据结构，那里用到的统计量仍可以使用，那里的定理还成立，所有后面的步骤不再变化。目录目录 Back NextNext 现在解决本例中的问题。原假设为 现在解决本例中的问题。原假设为 0:(0.05807644)HXe.注意这里的原假设与上一个例子不同，参数认为是已知的，不要再去估计了。如果认为参数未知，则如上一题那样还要在下面估计，这涉及到用到的.注意这里的原假设与上一个例子不同，

32、参数认为是已知的，不要再去估计了。如果认为参数未知，则如上一题那样还要在下面估计，这涉及到用到的2(1)kr 自由度问题。自由度问题。目录目录 Back NextNext 为了计算简便，再考虑到所有数据在 0100 之间，我们把区间0,72)分成 9 等分，把72,100)作为一个区间，依次得到 10 个区间为了计算简便，再考虑到所有数据在 0100 之间，我们把区间0,72)分成 9 等分，把72,100)作为一个区间，依次得到 10 个区间1210,I II?。统计各个区间上观测值的频数。统计各个区间上观测值的频数,1,2,10kn k=?，填入下表填入下表。在原假设成立的情况下，。在原假

33、设成立的情况下，(0.05807644)Xe，计算如下概率：，计算如下概率：-0.058076440.05807644,1,2,10kxkkIpP XIedx k=?将计算结果也列在同一表中。利用所得概率可以计算出 N137 次观测中各个区间上观测值的理论频数 将计算结果也列在同一表中。利用所得概率可以计算出 N137 次观测中各个区间上观测值的理论频数,1,2,10kNp k=?，计算结果也列在表中。，计算结果也列在表中。目录目录 Back NextNext 区间 分割 0,8)8,16)16,24)24,32)32,40)40,48)48,56)56,64)64,72)72,100)频数n

34、k 51 29 21 14 8 6 2 3 2 1 理论 概率 pk 0.371621 0.233519 0.146738 0.092207 0.057941 0.036409 0.022879 0.014376 0.009034 0.012271理论频数 Npk 50.91205 31.99207 20.10315 12.6324 7.937939 4.988035 3.134377 1.969578 1.237641 1.68113原假设成立时，原假设成立时，22(1)kr。这里 k10，r0。给定检验水平。这里 k10，r0。给定检验水平0.05=，可查表求得，可查表求得 2220.05

35、0.05(1)(1001)(9)16.92kr=，否定域否定域为为220.05(9)16.92=。计算统计量的值。计算统计量的值 2210211()()2.369042434kiiiiiiiinNpnNpNpNp=，220.052.369042434(9)16.92=，所以不否定原假设，认为所以不否定原假设，认为(0.05807644)Xe.通过这两个例子大家应该清楚总体分布的 Pearson通过这两个例子大家应该清楚总体分布的 Pearson2拟合检验法了。这是一个几乎可以解决所有问题的通用方法。作业：还是自己完成计算。拟合检验法了。这是一个几乎可以解决所有问题的通用方法。作业：还是自己完成

36、计算。目录目录 Back NextNext 例 11例 11、概率纸检验法、概率纸检验法 概率纸是一张坐标纸。每一个分布都对应一张概率纸，其横坐标与普通坐标系的横坐标没有区别，但是其纵坐标的刻度依赖于分布函数 F(x)。如果总体 X 的分布函数为 F(x),那么在这个分布函数对应的概率纸上，函数 yF(x)是一条直线。所以将观测数据构成的点概率纸是一张坐标纸。每一个分布都对应一张概率纸，其横坐标与普通坐标系的横坐标没有区别，但是其纵坐标的刻度依赖于分布函数 F(x)。如果总体 X 的分布函数为 F(x),那么在这个分布函数对应的概率纸上，函数 yF(x)是一条直线。所以将观测数据构成的点(),

37、(),1,2,iix F xiN=?点在概率纸上，除了两端的点外（因为在数据的两个极端附近，数据必然较少，经验分布函数与总体分布函数会有较大差距），应该呈直线状。常用的概率纸有正态概率纸、对数正态概率纸、威布尔(Weibull)分布概率纸等。在MATLAB中有专门的命令来处理，极易。点在概率纸上，除了两端的点外（因为在数据的两个极端附近，数据必然较少，经验分布函数与总体分布函数会有较大差距），应该呈直线状。常用的概率纸有正态概率纸、对数正态概率纸、威布尔(Weibull)分布概率纸等。在MATLAB中有专门的命令来处理，极易。目录目录 Back NextNext 用概率纸法检验例 7 中的数据

38、，看总体是否服从正态分布。用MATLAB完成：用概率纸法检验例 7 中的数据，看总体是否服从正态分布。用MATLAB完成：h=normplot(x)h=normplot(x)可以看出总体显然不是正态分布的。可以看出总体显然不是正态分布的。目录目录 Back NextNext 再看看其 Weibull 分布概率图：h=weibplot(x)再看看其 Weibull 分布概率图：h=weibplot(x)从此图看，用 Weibull 分布比较合理。从此图看，用 Weibull 分布比较合理。目录目录 Back NextNext 实际上指数分布是威布尔分布的一个特例，威布尔分布有两个参数，记为 W(

39、m,)，其分布函数如下：实际上指数分布是威布尔分布的一个特例，威布尔分布有两个参数，记为 W(m,)，其分布函数如下：0,0;()1 exp0.mxF xxx =,其中 m0 叫形状参数，0 叫刻度参数。更一般的形式：将上面的 x 改为 x-r,r 叫位置参数。其中 m0 叫形状参数，0 叫刻度参数。更一般的形式：将上面的 x 改为 x-r,r 叫位置参数。0,;()1 exp.mxrF xxrxr =,m=1 时即为指数分布。参见现代数学手册随机数学卷。m=1 时即为指数分布。参见现代数学手册随机数学卷。目录目录 Back next独立性检验next独立性检验 独立性检验 独立性检验 例 1

40、2、例 12、中央民族大学教育学研究室的课题“学习成绩与道德的认识水平之间的关系”要研究的问题是，学生的学习成绩与道德认识水平有关系吗？他们将学生的学习成绩分为优、良、中、差四个等级，将道德认识水平分为好、中上、中下、差四档，随机调查了 150 名同学，调查结果如下表：中央民族大学教育学研究室的课题“学习成绩与道德的认识水平之间的关系”要研究的问题是，学生的学习成绩与道德认识水平有关系吗？他们将学生的学习成绩分为优、良、中、差四个等级，将道德认识水平分为好、中上、中下、差四档，随机调查了 150 名同学，调查结果如下表：B 道德 A 学习 B 道德 A 学习 nij 1B 2B 3B 4B i

41、ni 1A 20 8 1 0 29 20 8 1 0 29 2A 5 40 14 1 60 5 40 14 1 60 3A 0 2 18 6 26 0 2 18 6 26 4A 0 1 11 23 35 0 1 11 23 35 jni 25 51 44 30 n150 25 51 44 30 n150 从调查数据看，道德认识水平与学习成绩有没有关系？从调查数据看，道德认识水平与学习成绩有没有关系？目录目录 Back NextNext 我们在这个例子里要为大家介绍独立性检验的概念。如果 我们在这个例子里要为大家介绍独立性检验的概念。如果用 X 表示学习成绩，Y 表示道德认识水平，用 X 表示学

42、习成绩，Y 表示道德认识水平，都是量化的数量指标，那么都是量化的数量指标，那么（X，Y）是二元随机变量（X，Y）是二元随机变量。我们要。我们要检验检验的是的是 X 与 Y 是否独立X 与 Y 是否独立。所以原假设是。所以原假设是 0:HXY与 相互独立。那么怎样检验呢？我们把 X 的取值范围分成四个部分，即所谓的优、良、中、差四个等级，分别用。那么怎样检验呢？我们把 X 的取值范围分成四个部分，即所谓的优、良、中、差四个等级，分别用1234,A A A A表示；将 Y 的取值范围也分为四个部分，即好、中上、中下、差四档，分别用表示；将 Y 的取值范围也分为四个部分，即好、中上、中下、差四档，分

43、别用1234,BB B,B表示。则原假设“表示。则原假设“0:HXY与 相互独立”成立时，我们必有”成立时，我们必有 ,1,2,3,4.ijijP ABP A P Bi j=那么，表中调查数据支持上面的这些等式吗？那么，表中调查数据支持上面的这些等式吗？目录目录 Back NextNext 我们用表中数据将我们用表中数据将 上面等式上面等式中的各个概率一一估计出来，原假设成立的时候，中的各个概率一一估计出来，原假设成立的时候，应该有应该有 ,1,2,3,4.ijjinnni jnnn=ii，或 或,1,2,3,4.ijijn nni jn=ii，构造如下统计量：构造如下统计量：()2211/.

44、/rsijijijijnn nnn nn=iiii 若 H若 H0 0成立，则当成立，则当n 时，这个统计量的分布收敛到时，这个统计量的分布收敛到2(1)(1)rs。目录目录 Back NextNext 至少在样本容量n较大的时候，我们可以近似地认为 至少在样本容量n较大的时候，我们可以近似地认为22(1)(1)rs，从而构造否定域。事实上，当H，从而构造否定域。事实上，当H0 0成立时，成立时，2不应该太大，所以给定检验水平不应该太大，所以给定检验水平，否定域否定域为为 22(1)(1)rs。在 本 例 中，r s 4，我 们 取 在 本 例 中，r s 4，我 们 取0.05=，查 表 得

45、，查 表 得20.05(9)16.92=。统计量的观测值为。统计量的观测值为()244211/150168.8173768./150ijijijijnn nn n=iiii 因为 因为 220.05168.8173768(9)16.92.=所以否定原假设，认为道德认识水平与学习成绩有之间不独立，有显著的关系。作业：还是自己完成计算。所以否定原假设，认为道德认识水平与学习成绩有之间不独立，有显著的关系。作业：还是自己完成计算。目录目录 Back next相关分析next相关分析 相关分析与回归分析简介相关分析与回归分析简介 在前面讨论了两个随机变量 X 与 Y 之间的独立性检验问题。我们要清楚，

46、研究的对象是二元随机变量（X，Y），利用的是成对观测数据在前面讨论了两个随机变量 X 与 Y 之间的独立性检验问题。我们要清楚，研究的对象是二元随机变量（X，Y），利用的是成对观测数据(,),1,2,iix yin =?。如果数据否定了独立性假设，那么 X 与 Y 之间的关系应该怎样描述呢？这是一个非常复杂的问题。下面我们通过实例介绍一点处理这类问题思路。如果数据否定了独立性假设，那么 X 与 Y 之间的关系应该怎样描述呢？这是一个非常复杂的问题。下面我们通过实例介绍一点处理这类问题思路。目录目录 Back NextNext 例 13例 13、下表是德国 1955 年至 1995 年男性与女性

47、得肠癌的逐年病例数记录。从常识上看，在同一国家，男性与女性的生活饮食环境类似，所以两者犯病的可能性也应该有一定的关系。从统计的角度刻画两者的关系。下表是德国 1955 年至 1995 年男性与女性得肠癌的逐年病例数记录。从常识上看，在同一国家，男性与女性的生活饮食环境类似，所以两者犯病的可能性也应该有一定的关系。从统计的角度刻画两者的关系。女性 男性 女性 男性 女性 男性 3936 4356 10588 8921 13684 10196 4138 4623 10995 9080 13626 9967 4443 4769 11228 9106 13865 10258 4594 4769 115

48、81 9475 13821 10410 5019 5193 12012 9680 14186 10747 5439 5260 12379 10159 13965 10690 5710 5390 12771 9966 13982 10739 6558 6087 12835 10292 14444 11151 7122 6563 13210 10303 14286 11021 7641 6781 12612 9816 13953 11039 8125 7142 12951 9989 13882 11041 8459 7560 12781 9818 8719 7451 12837 9861 1022

49、0 8602 13315 9869 10444 8540 13209 9952 目录目录 Back NextNext 分别用X和Y表示男性与女性得肠癌的病例数分别用X和Y表示男性与女性得肠癌的病例数。我们简单地用上面的数据绘制一张。我们简单地用上面的数据绘制一张 散点图散点图，可以看出来X与Y之间有密切关系，二者显然不独立。，可以看出来X与Y之间有密切关系，二者显然不独立。02000400060008000100001200005000100001500020000系列1 它们是什么样的关系呢？回顾一下概率论里学过的一个重要概念它们是什么样的关系呢？回顾一下概率论里学过的一个重要概念相关系数相

50、关系数。我们可以用相关系数来刻画这种关系。我们可以用相关系数来刻画这种关系。所以，我们要学会利用样本估计、检验总体相关系数的方法。所以，我们要学会利用样本估计、检验总体相关系数的方法。目录目录 Back Next 首先引入如下样本相关系数的概念：对二元总体首先引入如下样本相关系数的概念：对二元总体(X，Y)的样本的样本(,),1,2,iix yin =?，定义样本相关系数为，定义样本相关系数为 22200,XYXYSrSS=i 其中其中2222001111(),()nnXiYiiiSXXSYYnn=分别为分别为X和和Y的样本方差，的样本方差，211()()nXYiiiSXXYYn=叫叫X与与Y