微分方程的一般概念.ppt

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1、9.1 9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念（一）（一）微分方程的定义微分方程的定义定义定义9.1 9.1 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程；含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程；微分方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数，称为微分微分方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数，称为微分 方程的阶；未知函数是一元函数的方程，称为常微分方程；方程的阶；未知函数是一元函数的方程，称为常微分方程；例：例：（一阶常微分方程）（一阶常微分方程）（二阶常微分方程）（二阶常微分方程）（五阶常微分方程）（五阶常微分方程）（二阶偏微分方程）（二阶偏微分方程）（一阶偏微分方程）（一阶偏

2、微分方程）未知函数是多元函数的方程，称为偏微分方程。未知函数是多元函数的方程，称为偏微分方程。定义定义9.2 9.2 如果一个函数代入方程后，方程的两端恒等，则称此如果一个函数代入方程后，方程的两端恒等，则称此函数为该微分方程的解。函数为该微分方程的解。例：设微分方程例：设微分方程（二）（二）微分方程的解的定义微分方程的解的定义1.1.取函数取函数（其中：（其中：是任意常数）是任意常数）则则代入方程代入方程 的左边，得的左边，得 ，所以，所以，函数函数 是方程是方程 的解。的解。2.2.取函数取函数 ，这两个函数都是方程这两个函数都是方程 的解。的解。是方程是方程 的通解；的通解；例：函数例：

3、函数 （是任意常数）是任意常数）定义定义9.3 9.3 如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为该微分方程的通解；在通解中等于微分方程的阶数，则称此解为该微分方程的通解；在通解中取定任意常数的值而得到的解，称为该方程的特解。取定任意常数的值而得到的解，称为该方程的特解。（三）（三）微分方程的通解和特解的定义微分方程的通解和特解的定义都是方程都是方程 的特解。的特解。函数函数 和和注：注：1.1.由通解得出特解时，用于确定通解中任意常数的具体取由通解得出特解时，用于确定通解中任意常数的具体取 2.2.由微分方程得出

4、此微分方程的通解或特解的过程，称为由微分方程得出此微分方程的通解或特解的过程，称为值的条件，称为初始条件。值的条件，称为初始条件。解微分方程。解微分方程。将将 代入代入 得得 ，解得，解得例例1 1 求过点求过点 且切线斜率为且切线斜率为 的曲线方程。的曲线方程。解：设所求曲线方程为解：设所求曲线方程为 ，则，则 且且由由 两边积分得两边积分得即即（为任意常数为任意常数 ）所以，所求曲线为：所以，所求曲线为：注：注：1.1.此例对应的微分方程，记为：此例对应的微分方程，记为：；2.2.含任意常数的解含任意常数的解 ，是方程，是方程 的通解；的通解；3.3.不含任意常数的解不含任意常数的解 ，是方程，是方程 的特解。的特解。（其中，（其中，是初始条件）是初始条件）