循环群和置换群.ppt

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1、Lagrange定理Lagrange 定理：|G|=|H|G:H证明：令G 的不同的陪集为Ha1,Ha2,Har,|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|=|H|r=|H|G:H2023/2/171Lagrange定理推论推论(1)群的元素的阶是群的阶的因子.证明：构造子群，|=|a|.(2)素数阶群一定是交换群（实际上是循环群）.证明：|G|=p,p1,存在非单位元a,|a|的阶是p 的因子，只能是|a|=p.故G=.2023/2/172循环群n定义10.7:设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的生成元。记G=.2023/2/1

2、732023/2/174例10.14(1-3)n(1)整数加群,n 1,-1都是生成元n(2)模p整数加群n除0外，每个元都是生成元n(3)模n整数加群n与n互素的元都是生成元 生成元不唯一2023/2/1742023/2/175例10.14(4-6)n(4)n阶实矩阵加群n(5)n阶实可逆矩阵乘法群；n(6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，nH1=f1,f2nH2=f1,f5,f6nf1=,nf2=,nf3=,nf4=,nf5=,nf6=,2023/2/175循环群必是阿贝尔群n性质:任何一个循环群必为阿贝尔群。证：设G为一个循环

3、群，其生成元为a,则x,y G，必r,sZ,s.t.x=ar,y=as 而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x因此，G为一阿贝尔群 2023/2/176阶数n有限群G的阶数集合G的元素个数.群G的阶数记作|G|=n n元素a的阶数r是使ar=e成立的最小正整数,此时称r为元素a的阶.2023/2/177循环群分类n生成元的阶无限，则G 为无限循环群n生成元a 为n 阶元，则G=e,a,a2,an1为 n 阶循环群，循环群的阶和生成元的阶相等。n实例 n为无限循环群n为n 阶循环群2023/2/178循环群的生成元定理10.11 G=是循环群n(1)若G 是无限循环群，

4、则G 的生成元是a 和a1;n(2)若G 是n 阶循环群，则G 有(n)个生成元，当n=1 时G=的生成元为e；当n1 时,r(rZ+r1时，它的值(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。n考虑群(Zn*,)，Zn*是Zn中所有可逆元组成的集合，则|Zn*|=(n)2023/2/17102023/2/1711例10.14(1-3)n(1)整数加群,n 1,-1都是生成元n(2)模p整数加群n除0外，每个元都是生成元n(3)模n整数加群n与n互素的元都是生成元 生成元不唯一2023/2/1711证明思路：(1)证明a1 是生成元证明若存在生成元b，则b=a 或a1.(2)只需证明(r,n)=1

5、,则ar 是生成元反之，若ar 是生成元，则(r,n)=1.2023/2/1712证明2023/2/1713循环群的子群定理10.12 G=是循环群，那么(1)G 的子群也是循环群(2)若G 是无限阶，则G 的子群除e外也是无限阶(3)若G 是n 阶的，则对于n 的每个正因子d,在G 中有且仅有一个d 阶子群.2023/2/1714证明思路：(1)子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成元(2)若子群H=有限，ae,则推出|a|有限.(3)是d 阶子群，然后证明唯一性.2023/2/1715证明2023/2/1716证明(续)2023/2/1717例10.16nG=为r阶循环群，证明|at|=

6、r/(t,r)证：令|at|=s,(t,r)=d t=dp,r=dq r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=e s|q(at)s=e ats=e r|ts q|ps q|s（p,q互素）2023/2/1718实例(1),求生成元、子群.生成元为与12 互质的数：1,5,7,1112 的正因子为1,2,3,4,6,12，子群：,(2)G=为12阶群，求生成元和子群.生成元为a2,a10,a14,a22G的子群：,2023/2/1719实例(3)为无限循环群，求生成元和子群.生成元为a,a1；子群为，i=0,1,2,；(4)G=，求生成元和子群.生

7、成元：1,1;子群nZ,n=0,1,2023/2/1720置换n定义：设A是一个非空有限集合，从集合A到A的一个双射称为A的一个置换nA 上的n 元置换：|A|=n 时A 上的一一变换n置换的表示法：令A=1,2,n,2023/2/17212023/2/17例10.14(6)n(6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，nf1=,nf2=,nf3=,nf4=,nf5=,nf6=,2023/2/1722置换举例eg:A=1,2,3,4f:A A 12 23 34 41则f1,f2,f3,f4 2023/2/1723置换的表示法2-k阶轮换n

8、轮换:(i1 i2ik)n不交轮换的分解式：=12t,n其中 1,2,t,为不交轮换(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1)2023/2/1724置换的表示法2(132)(5648)2023/2/1725n元置换的轮换表示元置换的轮换表示n性性质质：任任何何n元元置置换换都都可可以以表表成成不不交交的的轮换之积，并且表法是唯一的轮换之积，并且表法是唯一的.n=1 2 tn=1 2 l 1,2,t=1,2,l 2023/2/1726置换的表示法3n 对换分解式：n对换(i j)=(j i)n(i1 i2ik)=(i1 i2)(i1 ik-1)(i1 ik)(1 2)(

9、1 3)(1 4),(1 3)(2 4),(1 4)(1 3)(1 2),(1)2023/2/1727置换的表示法置换的表示法3n(132)(5648)n=(13)(12)(56)(54)(58)2023/2/1728n元置换的对换表示元置换的对换表示n任意轮换都可以表成对换之积n对换可以有交n表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变2023/2/1729 奇置换、偶置换奇置换、偶置换n奇置换：表成奇数个对换之积n偶置换：表成偶数个对换之积n奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有n!/2个 2023/2/1730置换的乘法与求逆置换的乘法与求逆n置置换换的乘法的乘法：函数的复合：函数的复合n例例

10、 如如：8元元 置置 换换 =(132)(5648)，=(18246573),则则n=(15728)(3)(4)(6)=(15728)n置置换换求逆求逆：求反函数：求反函数n =(132)(5648)，-1=(8465)(231),2023/2/1731对称群、置换群、交错群对称群、置换群、交错群n令Sn为1,2,n上所有n元置换的集合.nSn关于置换乘法构成群，称为n元对称群.nSn的子群称为n元置换群.n所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An.n例 3元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)n3元交错群A3=(1),(123),(132)2023

11、/2/1732置换群举例eg:A=1,2,3,4f:A A 12 23 34 41则f1,f2,f3,f4 对f复合做成一个置换群.(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1)2023/2/1733置换群中元素的阶n元素的阶nk 阶轮换(i1 i2ik)的阶为kn=12l 是不交轮换的分解式，则|=|1|,|2|,|l|2023/2/1734置换群子群n(1),nSn，nn 元交错群Ann2元子群元子群,2023/2/1735置换群子群nS3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)子群6 个,S3,A3=2023/2/1736置换群子群nS4=(1

12、),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)2023/2/1737置换群子群2023/2/1738CalayCalay定理定理CalayCalay定定理理：每每个个有有限限群群都都与与一一个个置置换换群群同构同构 2023/2/1739作业n(1)阶5的群都是交换群？举出一个6阶群不是交换群。nP204，26-28,29-312023/2/1740