弹性力学课件08第八章空间问题的解答.ppt

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1、概述第一节 空间球对称问题的基本方程第二节 空间轴对称问题第三节 半空间体在边界上受法向集中力例 题 7.1例 题 7.2 第八章 空间问题的解答 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。在

2、球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。球对称问题轴对称问题第一节 空间球对称问题的基本方程 取图示的微元体，由于对称，各面上不存在切应力和切向体力。根据径向平衡条件，可得平衡方程：d微小，sin可用d代替，简化上式，得径向正应变d由于对称，只可能发生径向位移，不可能得到切向位移，由此得到根据应力应变的关系，将应力用应变表示:切向正应变dd代入平衡方程得基本微分方程不计体力时，上述方程简化为第一节 空间球对称问题的基本方程ddd空心圆球受均布压力 空心圆球内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，基本微分方程为其解为得应力分量边界条件是 根据此边界条件，可求得

3、系数A,B，得到位移解和应力解空心圆球受均布压力第二节 空间轴对称问题ddd由于对称性，Fbz,Fb为体力分量 从轴对称物体中取出图示的单元体。并且环向体力分量为零。第二节 空间轴对称问题化简后得到根据方向的平衡，可得d第二节 空间轴对称问题根据z方向的平衡，可得化简后得到d这里的物理方程是 这样，空间轴对称问题的平衡方程为 由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为由轴向位移w产生的应变为迭加得到几何方程第二节 空间轴对称问题应力用应变表示为上式应变分量用位移分量表示，第二节 空间轴对称问题第二节 空间轴对称问题 将应力分量代入平衡方程，得到位移形式的平衡方程，这就是轴对称问题的基本

4、方程：在体力为零时，简化为其中 位移法求解轴对称问题，就是寻求满足上述方程组，并且根据他们求出的应力和位移满足边界条件的位移分量。上述方程组的直接求解比平面问题更为困难，通常采用的是位移函数法。其方法和应力函数法类似，先假设某种形式的位移函数，代入上述方程组，得到他们应满足的条件。代入（*）式，得也就是说位移函数应为重调和函数。（*）第二节 空间轴对称问题如假设 我们也可以假设位移是有势的，也就是说，位移分量可以用位移势函数表示为这时有代入（*）式，得可以取C=0，这时应力函数调和函数第二节 空间轴对称问题第三节 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体，体力不计，坐标系如图。通过量纲分析，位移

5、函数应是F乘以R、z、等长度坐标的正一次幂，试算后，取设位移函数为 根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：第三节 半空间体在边界上受法向集中力可以求得位移分量和应力分量：边界条件是根据圣维南原理，有(a)(b)第三节 半空间体在边界上受法向集中力 为此，我们再取一个位移势函数，它在z=0处，z=0而切应力与式(c)的切应力相抵消。通过量纲分析，位移函数应是R、z、等长度坐标的零次幂，试算后，取上述应力解，式（a)是满足的，式(b)(c)不能满足。这时得到位移和应力分量为它在z=0处，z=0，而切应力第三节 半空间体在边界上受法向集中力迭加上面两个解得到：将应力表达式代入第三节 半空间体在边界

6、上受法向集中力代入以上两个位移和应力表达式中并迭加，得到满足一切条件的布希列斯克解答(位移函数的假设是不唯一的):可求得:不同的问题的位移函数不同，找到适当的位移函数是不容易的事，为此，前辈力学家作了长期的努力，得到了一些问题的解。例 题 7.1 7.1设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。提示:位移法求解空间问题的方程为：由于对称，假设化简后，积分以后得：提示:（续）将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。例 题 7.1 7.1设有半空间体，其比重为p，在水平边

7、界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。例 题 7.1 7.1设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。提示:（续）将(5)代入弹性方程(6)得：例 题 7.1 7.1设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。在本问题的边界上:应力边界条件为:前二式自然满足，而第三式要求:例 题 7.1 7.1设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。提示:（续）求得应力分量：得:为了决定常数B，利用给定的位移条件:得铅直位移:例 题 7.2 7.2已知半无限体表面上O点处作用有切向集中力F，(如图a)与的正向一致时，表面上坐标为(x,y,0)的点A处的z方向的位移为:求半无限体表面上O点作用集中力偶M时（如图b），表面上任一点A在z方向的位移。提示：利用迭加法将M化为两个集中力，大小为F=M/dy，平行x轴方向，两力之间的距离为dy（如图c），利用所给公式，得到半无限体表面上O点作用集中力偶M时，表面上任一点A在方向的位移。