第02讲 三角形综合（二）(学生版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 三角形综合（二）知识图谱错题回顾顾题回顾三角形综合（二）知识精讲一相似三角形1平行线类相似模型常见题模型如下：方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系等2角平分线类相似模型：方法点播：角平分线类相似问题基本就这样的四种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学习这部分知识时，涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决3三垂直类相似问题（1）三垂直相似：如下图，（

2、2）斜三垂直相似：如下图，当时，4内接矩形类相似模型：方法点播：如图，矩形是的内接矩形，则有:，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题5射影定理：（1）定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项说明：如上图，由，可得：由，可得：由，可得：（2）射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立 如上图，当时，则有：，即：二解三角形1利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题；2利用直径所对圆周角为，构造直角三角形；3利用切线的性质求解线段长度三点剖析一考点：

3、1相似三角形几种模型的应用；2解直角三角形，与圆结合求解线段长度二重难点：1找到相似三角形的模型2圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题；3射影定理与锐角三角函数结合 三易错点：1相似三角形应用模型不正确； 2特殊三角函数值的三边比例对应关系1相似三角形几种模型的应用；2解直角三角形，与圆结合求解线段长度题模精讲题模一：相似三角形例1.1.1问题背景已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点（1）初步尝试 如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，

4、E的运动速度相等 求证：HF=AH+CF 小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结

5、果，不必写解答过程）例1.1.2如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，RtPEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N（1）操作发现：如图2，固定点P，使PEF绕点P旋转，当PMBC时，四边形PMCN是正方形填空：当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_；当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是_（2）猜想论证如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，RtPEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使PEF绕点P旋转，则=_（3）拓展探究如图4，当四边形ABCD满足条件：

6、B+D=180，EPF=BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由例1.1.3（1）如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2=ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，求的值；（3）在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明例1.1.4AD是ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点

7、M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y0）（1）如图1，当ABC为等边三角形且=30时证明：AMNDMA；（2）如图2，证明：+=2；（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M，交射线AC于点N，设AG=nAD，AM=xAB，AN=yAC（x，y0），猜想：+=是否成立？并说明理由题模二：解直角三角形例1.2.1如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PAC=PBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB=12，求AC的长；（3）在满足

8、（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半径及sinACE的值例1.2.2我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题等等（1）如图，若B1B=30米，B1=22，ABC=30，求AC（精确到1）；（参考数据：sin220.37，cos220.92，tan220.40，1.73）（2）如图2，若ABC=30，B1B=AB，计算tan15的值（保留准确值）；（3）直

9、接写出tan7.5的值（注：若出现双重根式，则无需化简）例1.2.3如图，在ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的A与边AC相交于点E，AFDE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE已知DE=10，求：（1）A的半径AD的长；（2）EGC的余切值例1.2.4如图，在O的内接ABC中，ACB=90，AC=2BC，过C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为E设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tanAFD=y，求y

10、与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）随堂练习随练1.1如图1，正方形ADEF的顶点D、F在等腰直角ABC的边AB、AC上，正方形ADEF以点A为旋转中心逆时针旋转，旋转角为（090），连接BD、CF，在旋转过程中：（1）利用图2，求证：BD=CF；（2）如图3，延长BD交CF于点G求证：C，G，A，B四点在同一个圆上；若AB=4，AD=，=45，求线段CG的长随练1.2已知：在ABC中，BC=2AC，DBC=ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E（1）如图1，当ACB=90时，则线段DE、CE之间的数量关系为_；（2）如图2，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在

11、（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，DKG和DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H若BH=10，求CE的长随练1.3已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DECF则_（填“”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当、满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若，则的值为_AEBCDFGAEBCGDFBGDFAEC随练1.4（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，

12、求证：EF=EG；（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变若AB=m，BC=n，试求的值；（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分FEG若AB=2，BC=4，求EG、EF的长随练1.5ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形

13、，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长随练1.6如图，ABC与DEF是将ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）平移DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点（1）如图，ABC中，若AB=BC，且ABC=90，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图，ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；（3）如图，ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你

14、的结论随练1.7在ABC和DEC中，A=EDC=45，ACB=DCE=30，点DC在AC上，点B和点E在AC两侧，AB=5，=（1）求CE的长；（2）如图2，点F和点E在AC同侧，FAD=FDA=15求证：AB=DF+DE；连接BE，直接写出BEF的面积随练1.8在RtABC中，BAC=90，过点B的直线MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE（1）如图，当ABC=45时，求证：AD=DE；（2）如图，当ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当ABC=时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含的三角函数表示）随练1.9如图，是一副学生用

15、的三角板，在ABC 中，C=90，A=60，B=30；在A1B1C1中，C1=90，A1=45，B1=45，且A1B1=CB若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a（1）计算A1C1的长；（2）当=30时，证明：B1C1AB；（3）若a=，当=45时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当=60时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积（参考数据：sin15=，cos15=，tan15=2，sin75=，cos75=，tan75=2+）随练1.10如图1所示，

16、在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG（1）若BAD=AEF=120，请直接写出DPG的度数及的值（2）若BAD=AEF=120，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明（3）若BAD=AEF=1802（090），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值自我总结 课后作业作业1阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、

17、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来）作业2阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC是

18、O的切线，AB是O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC因为PC是O的切线，AB是O的直径，所以OCP=ACB=90，所以1=2又因为B=1，所以B=2在PAC与PCB中，又因为：P=P，所以PACPCB，所以=，即PC2=PAPB问题拓展：（）如果PB不经过O的圆心O（如图2）等式PC2=PAPB，还成立吗？请证明你的结论；综合应用：（）如图3，O是ABC的外接圆，PC是O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；（2）D是BC的中点，PD交AC于点E求证：=作业3阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB=AC

19、，点D在BC边上，DAB=ABD，BEAD，垂足为E，求证：BC=2AE小明经探究发现，过点A作AFBC，垂足为F，得到AFB=BEA，从而可证ABFBAE（如图2），使问题得到解决（1）根据阅读材料回答：ABF与BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，ABC中，AB=AC，BAC=90，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且CDF=EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，ABC中，AB=AC，BAC=120，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0k

20、），AED=BCD，求的值（用含k的式子表示）作业4已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90（1）如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（i）求证：CAECBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程）作业5在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O

21、，将COD绕点O按逆时针方向旋转得到C1OD1，旋转角为（090），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P（1）如图1，若四边形ABCD是正方形求证：AOC1BOD1请直接写出AC1 与BD1的位置关系（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值作业6已知：在中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且，ACDBEFMAC

22、DBMEFAEMFBDC图1图2图3（1）如图1，当时，线段DM与AE之间的数量关系是_；（2）如图2，当时，线段DM与AE之间的数量关系是_；（3）如图3，当时，线段DM与AE之间的数量关系是_；在（2）的条件下延长BM到P，使，连结CP，若，求的值作业7在ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出AG与D

23、G的数量关系作业8AB，CD是O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BFAD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G（1）如图1，当点E在O外时，连接BC，求证：BE平分GBC；（2）如图2，当点E在O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求线段AH的长作业9理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图1，在RtABC中，C=90，ABC=30，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD设AC=1，则BD=BA=2，BC=t

24、anD=tan15=2思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（）=假设=60，=45代入差角正切公式：tan15=tan（6045）=2思路三 在顶角为30的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四 请解决下列问题（上述思路仅供参考）（1）类比：求出tan75的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（CAD）为45，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线y=x1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由