第01讲 创新题（一）(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 创新题（一）知识图谱错题回顾顾题回顾创新题（一）知识精讲一函数创新题函数创新题的考察经常和一次函数、二次函数、反比例函数结合起来，或者是给一个全新的函数，要能够根据函数的图像分析问题，重点考察数形结合的思想，注意坐标在联系代数和几何过程中的重要作用。三点剖析一考点：1函数创新题二重难点：数形结合的数学思想，坐标系中计算相关的线段和角度三易错点：线段转换为坐标，注意符号的正负题模精讲题模一：函数创新题例1.1.1定义符号maxa，b的含义为：当ab时，maxa，b=a；当ab时，maxa，b=b如：m

2、ax1，2=1，max3，7=3（1）求maxx2+1，2；（2）已知maxx22x+k，3=3，求实数k的取值范围；（3）当1x2时，maxx2x6，m（x1）=m（x1）直接写出实数m的取值范围【答案】（1）2，（2）k4；（3）4m2【解析】（1）x20，x2+11，x2+12maxx2+1，2=2，（2）maxx22x+k，3=3，x22x+k3kx2+2x3，x2+2x3=（x+1）24，当x=1，x2+2x3的最小值为4，k4；（3）对于y=x2x6，当x=1时，y=4，当x=2时，y=4，由题意可知抛物线y=x2x6与直线y=m（x1）的交点坐标为（1，4），（2，4），所以m的

3、范围是：4m2例1.1.2在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：如果y=，那么称点Q为点P的“关联点”例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（5，6）的“关联点”为点（5，6）（1）点（2，1）的“关联点”为 ；如果点A（3，1），B（1，3）的“关联点”中有一个在函数的图像上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）（2）如果点M*（1，2）是一次函数y=x+3图像上点M的“关联点”，那么点M的坐标为 ；如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图像上点N的“关联点”，求点N的坐标（3）如果点P在函数y=x2+4（2xa）的图像上，其“关联点”Q

4、的纵坐标y的取值范围是4y4，那么实数a的取值范围是 【答案】（1）（2，1），B；（2）（1，2），（1，2）；（3）2a2【解析】（1）点（2，1）的“关联点”为（2，1）；如果点A（3，1）的关联点为（3，1）；B（1，3）的“关联点”为（1，3），一个在函数的图像上，那么这个点是 B；故答案为：（2，1），B；（2）如果点M*（1，2）是一次函数y=x+3图像上点M的“关联点”是（1，2），那么点M的坐标为（1，2）；如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图像上，点N*（1，2）的“关联点”（1，2），点N的坐标是（1，2），故答案为：（1，2），（1，2）；（3）如果点P在函数

5、y=x2+4（2xa）的图像上，当2x0时，0y4，即2a0；当x0时，y=y，即4y4，x2+44，解得x2，即0x2，综上所述：2x2，2a2“关联点”Q的纵坐标y的取值范围是4y4，那么实数a的取值范围是2a2，故答案为：2a2例1.1.3定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线y=x2+1的勾股点的坐标（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的

6、勾股点，求抛物线C的函数表达式（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQ=SABP的Q点（异于点P）的坐标【答案】（1）（0，1）（2）y=x2+x（3）Q（3，）或（2+，）或（2，）【解析】（1）抛物线y=x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），如图，作PGx轴于点G，点P的坐标为（1，），AG=1、PG=，PA=2，tanPAB=，PAG=60，在RtPAB中，AB=4，点B坐标为（4，0），设y=ax（x4），将点P（1，）代入得：a=，y=x（x4）=x2+x；（3）当点Q在x轴上方时，由SABQ=SABP知点Q的纵

7、坐标为，则有x2+x=，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），点Q的坐标为（3，）；当点Q在x轴下方时，由SABQ=SABP知点Q的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=2+，x2=2，点Q的坐标为（2+，）或（2，）；综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，）或（2，）随堂练习随练1.1已知：如图，直线l：y=x+b，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An+1（xn+1，0），设x1=d

8、（0d1）（1）求b的值；（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当d（0d1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值【答案】（1）（2）y=-（x-d）（x-2+d）（3）见解析【解析】（1）M（0，）在y=x+b上，=0+b，b=；（2分）（2）由（1）得：y=x+，B1（1，y1）在l上，当x=1时，y1=1+=，B1(1，)（3分）解法一：设抛物线表达式为：y=a（x-1）2+（a0），（4分）又x1=d，A1（d

9、，0），0=a（d-1）2+，a=-，（5分）经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+（6分）解法二：x1=d，A1（d，0），A2（2-d，0），设y=a（x-d）（x-2+d）（a0），（4分）把B1(1，)代入：=a（1-d）（1-2+d），得a=-，（5分）抛物线的解析式为y=-（x-d）（x-2+d）；（6分）（3）存在美丽抛物线（7分）由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0d1，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于

10、1当x=1时，y1=1+=1，当x=2时，y2=2+=1，当x=3时，y3=3+=11，美丽抛物线的顶点只有B1、B2（8分）若B1为顶点，由B1(1，)，则d=1-=；（9分）若B2为顶点，由B2(2，)，则d=1-(2-)-1=，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线（10分）随练1.2定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标

11、【答案】（1）E点不是“和谐点”，F点是“和谐点”；（2）（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）【解析】（1）根据在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”，点E（2，3），2（2+3）=10，23=6，106，E点不是“和谐点”，点F（4，4），2（4+4）=16，44=16，16=16，F点是“和谐点”；（2）设P点坐标为：（x，），由题意得出：18=2|x+|，当18=2（x+）整理得出：x2-9x+18=0，解得：x1=3，x2=6，当-18=2（x+）整理得出：x2+9x+18=0，解得：x3=-3，x

12、4=-6，P点坐标为：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）随练1.3【探究】如图1，点是抛物线上的任意一点，l是过点且与轴平行的直线，过点N作直线NHl，垂足为H计算：时，_；时， _猜想：m取任意值时，NO_NH（填“”、“”或“”）【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”如图1中的点O即为抛物线的“焦点”，直线l：即为抛物线的“准线”可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上【应用】（1）如图2，“焦点”为、“准线”为l的抛物线与y轴交于点，点M为直线FN与抛物线的

13、另一交点MQl于点Q，直线l交y轴于点H直接写出抛物线的“准线”l：_；计算求值：_（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式图2图3图1【答案】【探究】1；5【应用】（1）；1；（2）抛物线或【解析】【探究】1；5【应用】（1）；1；（2）如图，设直线与x轴相交于点C由题意可知直线CF切O于F，连接OF，又，“焦点”、抛物线的顶点为或当“焦点”为，顶点为，时，易得直线：过点A作AMx轴，交直线于点M，在抛物线上设抛物线，将M点坐标代入可求得：当“焦点”

14、为，顶点为，时，由中心对称性可得：综上所述：抛物线或随练1.4对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2（1）分别判断函数 （）和（）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数 （）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；（3）如果函数（）是以3为上确界的有上界函数，求实数的值.【答案】（1）（）不是有上界函数；（）是有上界函数，上确界是1（2）（3）【解析】解：（1）（）不是有上界函数；.1分 （）是有上界函数，上确界是

15、1. .2分（2）在y=-x+2中，y随x的增大而减小，上确界为，即. 3分又，所以，解得. .4分函数的最小值是，得，解得.综上所述：.5分（3）函数的对称轴为.6分当时，函数的上确界是.，解得，符合题意. .7分当时，函数的上确界是.，解得，不符合题意.综上所述：.8分随练1.5定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P，任取线段AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（PAB）已知O为坐标原点，是平面直角坐标系中四点根据上述定义，解答下列问题：点A到线段OB的距离d(AOB)_；已知点G到线段OB的距离d（GOB），且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为_当m

16、的值变化时，点A到动线段CD的距离d (ACD)始终为2，线段CD的中点为M在图中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积点E的坐标为，作MHx轴，垂足为H是否存在m的值，使得以A、M、H为顶点的三角形与AOE相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由EDBFCABAlAEDF(C)BlEDCFMAB【答案】（1）（2）或（3）或或【解析】本题考查的是新定义类综合题（1）点A到线段OB的距离d(AOB)1分（2）点G的纵坐标为或3分（3）如图（1），图当点C在以A为圆心，半径为2的A的右半圆上时，点M在圆弧M1FM4上运动；当点C从到时，点M在线段上运动；当点C从到时，点M在线

17、段上运动；当点D在以A为圆心，半径为2的A的左半圆上时，点M在圆弧上运动；点M随线段CD运动所围成的封闭图形是图中实线部分，面积为 5分存在由，得（i）当点M位于左侧圆弧上时，不合题意；（ii）如图，图当点M位于线段M1M2上时，只要，就有AOEMHA，此时，点M为线段CD的中点，时，；时，7分（iii）解法一：如图，图当点M位于右侧圆弧上时，连结GM，其中点G是圆弧的圆心，坐标为设，又，在Rt中，由勾股定理得：，解得，（不合题意，舍去），此时，点M为线段CD的中点，综上所述，存在或或，使得以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似8分随练1.6定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例

18、函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”（1）若矩形的两边分别是、，当这两边分别增加、后，得到的新矩形的面积为，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为、点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”的图象经过B、E两点则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 （3）在（2）的条

19、件下， 已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请求出点P的坐标【答案】（1）（2）（3）或【解析】该题考查的是反比例函数（1）， 1分 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到是 “反比例平移函数”2分 （2）“反比例平移函数”的表达式为， 3分 变换后的反比例函数表达式为 4分（3）如图，当点P在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形四边形PEQB的面积为16， 5分，是的 “反比例平移函数”， 过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点设，即 6分，

20、点P的坐标为 7分当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为 8分随练1.7定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数，用表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点，我们把叫做A，B两点之间的直角距离，记作（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为，则_；（2）已知C是直线上的一个动点，若，求点C与点D的直角距离的最小值；若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值【答案】（1）4（2）3；【解析】该题考查的是新定义问题和圆与直线位置关系问题（1）2分（2）由绝对值的性质，4分6分点C与点E的直角距离的最小值即由点O向直线作垂线交圆于点E，交直线于点C

21、，则此时C，E，距离8分自我总结 课后作业作业1如图，定义：若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k0）的对径（1）求双曲线y=的对径（2）若双曲线y=（k0）的对径是10，求k的值（3）仿照上述定义，定义双曲线y=（k0）的对径【答案】 （1）2（2）25（3）见解析【解析】过A点作ACx轴于C，如图，（1）解方程组，得，A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），OC=AC=1，OA=OC=，AB=2OA=2，双曲线y=的对径是2；（2）双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，OA=OC=AC，OC=AC=5，点A坐标为（5，

22、5），把A（5，5）代入双曲线y=（k0）得k=55=25，即k的值为25；（3）若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y=（k0）的对径作业2定义为一次函数的特征数（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求m的值；（2）已知抛物线与x轴交于点A、B，其中，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且的面积为4，O为原点，求图象过A、C两点的一次函数的特征数【答案】（1）（2）【解析】本题考查的是一次函数与二次函数综合（1）由题意得1分（2）由题意得点A的坐标为，点C的坐标为OAC的面积为4，.3分点A的坐标为，点C的坐标为设直线AC的解析式为 直线

23、AC的解析式为.4分图象过A、C两点的一次函数的特征数为.5分作业3定义：对于抛物线（、是常数，），若，则称该抛物线为黄金抛物线例如：是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线（、是常数，）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式；设中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）时，函数图象

24、与x轴有一个交点；当时，函数图象与x轴没有交点（3）平移后新抛物线解析式是: 存在有四个符合题意的点P的坐标：、【解析】本题考查的是二次函数的综合问题（1） 2分（2）由题意， 3分所以：时，函数图象与x轴有一个交点； 4分当时，函数图象与x轴没有交点 5分（3）平移后新抛物线解析式是: 6分存在有四个符合题意的点P的坐标：、 8分作业4对于平面直角坐标系中的点，定义一种变换：作点关于轴对称的点，再将向左平移个单位得到点，叫做对点的阶“”变换（1）求的阶“”变换后的坐标；（2）若直线与轴，轴分别交于两点，点的阶“”变换后得到点，求过三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与

25、轴交于，若在抛物线对称轴上存在一点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标【答案】（1）（2）（3），【解析】解：（1）由阶“”变换定义：将于轴对称的点为：1分再将向左平移个单位得的坐标2分（2）直线：，令令3分由阶“”变换定义：4分设：过三点的抛物线的解析式将代入：抛物线的解析式为：5分（3），（I）若顶角顶点，为腰，6分（II）若为顶角顶点，为腰，7分（III）若为底，过点作轴交抛物线对称轴于设，在中，由勾股定理解得：综上所述：点的坐标是：，8分作业5对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以

26、定点为圆心，定长为半径的圆（1）如图1，在ABC中，B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DEx轴于点G则直线DE的表达式是_图2图1（2）当ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线当点B运动到如图2的位置时，ACx轴，则C点的坐标是_在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式设中这条直线分别与x，y轴交于E，F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且，则CE的取值范围是_备用图1备用图2【答案】（1）；（2）C点坐标为；动点C运动形成直线如图，直线的表达式是

27、；【解析】（1）（2）C点坐标为：由C点坐标为：再求得其它一个点C的坐标，如或等代入表达式，解得直线的表达式是动点C运动形成直线如图所示作业6定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”（1）若矩形的两边分别是、，当这两边分别增加、后，得到的新矩形的面积为，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为、点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“

28、反比例平移函数”的图象经过B、E两点则这个“反比例平移函数”的表达式为_；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式_（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标ODECBAxy【答案】（1）是（2）；（3）或【解析】该题考查反比例函数综合运用（1），向右平移2个单位，在向上平移3个单位得到2分（1） 把B和D的坐标代入得：1.“反比例平移函数”的表达式为3分 变换后的反比例函数表达式为4分（3）如图，当点P

29、在点B左侧时，设线段BE的中点为F，由反比例函数中心对称性，四边形PEQB为平行四边形四边形PEQB的面积为16，5分，是的 “反比例平移函数”，点E的坐标是：过E作x轴的垂线，与BC、x轴分别交于M、N点2. 设，6分 ，点P的坐标为7分 当点P在点B右侧时，同理可得P点的坐标为 作业7定义1：在ABC中，若顶点、按逆时针方向排列，则规定它的面积为ABC的“有向面积”；若顶点、按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC的“有向面积”，“有向面积”用表示，例如图1中，图2中，定义2：在平面内任意取一个ABC和点(点不在ABC的三边所在直线上)，称有序数组为点关于ABC的“面积坐标”，记作

30、例如图3中，菱形的边长为，则，点关于ABC的“面积坐标”为在图3中，我们知道，利用“有向面积”我们可以把上式表示为应用新知：（1）如图4，正方形的边长为，则_；点关于ABC的“面积坐标”是_探究发现：（2）在平面直角坐标系中，点，若点是第二象限内任意一点（不在直线上），设点关于ABO的“面积坐标”为，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由；若点是第四象限内任意一点，请直接写出点关于ABO的“面积坐标”（用，表示）；解决问题：（3）在（2）的条件下，点，点在抛物线上，求当的值最小时，求的横坐标【答案】（1），（2）； （3）【解析】该题考查的是定义新概念（1）根据正方形内边长与面积关系，可得，

31、面积坐标为（2）i）当点在ABO外部时，由图可知，ii）当点在ABO内部时，由图可知综上所述，与方法相同，得到（3）点在抛物线上，设当在第二象限时，即时图6由图可知，由， ， ， 此时，当时，的最小值为当在第一象限时，即时图7由图7可知，则， ， 此时，无最小值当为与轴的交点时，即时图8由图可知， 综上所述，的最小值为，此时，点的横坐标为综上所述，取最小值，Q横坐标为作业8定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为，半圆半径为3（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ，自变量的取值范围是 ；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式【答案】（1) ；（2）（3）【解析】该题考查的是圆与抛物线的综合（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为， 2分 自变量的取值范围是； 3分 （2）如图，连接，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为 4分 ，在中， 5分 ，点的坐标为 6分 （3）设过点，“蛋圆”切线的解析式为由题意得，方程组只有一组解， 7分即有两个相等实根， 过点D “蛋圆”切线的解析式为 8分