第06讲 四边形（一）(学生版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第06讲 四边形（一）知识图谱错题回顾顾题回顾四边形（一）知识精讲一知识精讲1平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形用“ ”表示如右图，平行四边形记作“”（字母顺序须按顺时针或逆时针的顺序书写）平行四边形的性质（1）边的性质：对边平行且相等如下图：，（2）角的性质：平行四边形的对角相等如下图：，（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分如下图：，平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且

2、相等的四边形是平行四边形；（4）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形2三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半3矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）对角线相等（3）是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）

3、有三个角是直角的四边形是矩形直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半4菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有此外，它还具有以下性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形面积问题：如下图：5正方形正方形的定义：有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形正方形的性质：（1）正方形的

4、四条边都相等，四个角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质（3）正方形是轴对称图形，对称轴有4条正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；（5）四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形6梯形梯形的概念：一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形叫做梯形平行的两边叫做梯形的底，其中较短的底称为上底，较长的底称为下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底间的距离叫做梯形的高等腰梯形的性质：（1）等腰梯形同一底边

5、上的两个角相等；（2）等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于上、下底，且等于上、下底和的一半二方法点拨1任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对

6、的三角形的顶角相等2任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点，线段AB的中点坐标为3弦图模型如图1，RtDCERtCAF；如图2，RtBAERtCBF4梯形中常见辅助线的作法（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；（2）“平移腰”：过上底端点做一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；（4）“全等变形”：连接梯形一腰端点和另一腰中点并延长，与底的延长线交于一点，构造全等三角形（1）（2）（4）（3） 5四边形与动点问题或者与坐标系综合问题都要注意数形结合思想，方程思想，分类讨论思想，转化与化归的思想三点剖析一考点：平行四边形的

7、性质和判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，动点问题，四边形与全等三角形综合，特殊四边形问题，四边形与坐标系综合二重难点：动点问题，四边形与全等三角形综合，特殊四边形问题，四边形与坐标系综合题模精讲题模一：平行四边形的性质和判定例1.1.1如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，BEAC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点（）求证：DF=FE；（）若AC=CF，ADC=，ACDC，求BE的长例1.1.2如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则（不需证明）小明的思路是：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE，

8、HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得问题：如图2，在中，D点在AC上，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若，连结GD，判断的形状并证明ABCDGFE图1ABCDMNHFE图2例1.1.3如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长例1.1.4如图，在ABCD中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，求的值例1.1.5在ABC中，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD

9、沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M判断四边形AEMF的形状，并给予证明ABCD例1.1.6正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的动点，点E在AB边上，且，沿PE翻折EBP得到F是CD边上一点，沿PF翻折FCP得到，使点落在射线上（1）如图，当时，四边形的面积为_；（2）若，则四边形的面积为_（要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围）例1.1.7如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE（1）如图：求证AFD=EBC；（2）如图，若DE=EC且BEAF，求DAB的度数；（3）若DAB=90且当BEF

10、为等腰三角形时，求EFB的度数（只写出条件与对应的结果）题模二：动点问题例1.2.1如图在梯形ABCD中，DCAB，A=90，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连接PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？例1.2.2已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶

11、点在轴的正半轴上运动，顶点在轴的正半轴上运动（点，都不与原点重合），顶点，都在第一象限，且对角线，相交于点，连接（1）当时，点的坐标为_，_；（2）当时，求证：平分；（3）设点到轴的距离为，则在点，运动的过程中，的取值范围是_例1.2.3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和DA运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动设运动时间为t秒（1）求菱形ABCD的周长；（2）记DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得

12、DPO=DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由例1.2.4已知：如图，四边形ABCD中，E为AB上一点，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在四边形ABCD内或其边上若，的面积为y（1）当_时，四边形FEHG为正方形；（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在备用图中分别画出的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）（4）的面积有最大值变到最小值时，点G运动的路线长为_AHEBGFCDAEBCD备用图1AEBCD备

13、用图2题模三：四边形与全等三角形综合例1.3.1如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则等于多少度？请说明理由例1.3.2已知在ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F（1）如图1，若，请直接写出线段CD与之间所满足的等量关系；（2）如图2，若，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若，试探究线段CD、AF、BE之间

14、所满足的等量关系，请直接写出你的结论图二图三图一例1.3.3在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH（1）若点P在线段CD上，如图1依题意补全图1；判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且AHQ=152，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）题模四：特殊四边形问题例1.4.1类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四

15、边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形她的猜想正确吗？请说明理由（3）如图2，小红作了一个RtABC，其中ABC=90，AB=2，BC=1，并将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC小红要使得平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB的长）？题模五：四边形与坐标系综合例1.5.1如图，把两个全等的RtAOB和RtECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上已知点，过A、D两点的直线交y轴于点F若ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移

16、，设平移的时间为（秒），记ECD在平移过程中某时刻为，与AB交于点M，与y轴交于点N，与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合)（1）求直线AD的函数解析式；（2）试探究在ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN为边，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围例1.5.2如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向

17、运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为t（s）（1）PBD的度数为_，点D的坐标为_（用t表示）；（2）当t为何值时，PBE为等腰三角形？（3）探索POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值随堂练习随练1.1如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，AG/CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）如果点G是BC的中点，且，求四边形AGCD的面积随练1.2如图，在矩形ABCD中，点M、N

18、、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E（1）若点E在AD边上，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：_AEDCBMN随练1.3如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作交DE的延长线于F（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若，求菱形BCFE的面积随练1.4某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是_（填序号即可）

19、AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状答：_随练1.5如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且MAN始终保持45不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM

20、；（3）请探索：在MAN的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明随练1.6如图所示在直角梯形ABCD中，AD/BC，A90，AB12，BC21，AD=16.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形（2）当t为何值时，PDPQ.随练1.7如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，6）动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位

21、的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MNPE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围随练1.8

22、如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点P从点A开始沿折线ACCBBA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位直线l从与AC重合的位置开始，以每秒单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l/AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）当t = 5秒时，点P走过的路径长为_；当t =_秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，将PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在E点上，点F的对应点记为点N，当ENAB时，求t的值；（3）当点P在折线

23、ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值随练1.9如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点点E从点A出发，沿AB运动到点B停止连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG（1）设时，的面积为y求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长DAMFPEBCG随练1.10正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，

24、CH与AB之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值随练1.11在ABC中，AD，CE分别平分和，且AD与CE交于点M点N在射线AD上，且过点N作NFCE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FHCE，且与AB交于点H（1）如图1，当时，点M，N，G重合请根据题目要求在图1中补全图形；连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是_；（2）如图2，当BAC=120时，求证：

25、AF=EH；A（3）当时，我们称ABC为“黄金三角形”，此时若，直接写出GM的长CAEBDMNCBDGFMEHCEMBDA图 1图 2 图 3随练1.12已知四边形ABCD是正方形，等腰直角AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FMAD，交射线AD于点M（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，AFM

26、=15，则AM=_随练1.13我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A=70，B=80求C，D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中ABC=ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，DAB=60，ABC=90，AB=5，AD=4求对角线AC的长随练1.14如

27、图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且，（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH（2） 求图2，图3中反射四边形EFGH的周长如图4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明随练1.15如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速

28、运动，PQ两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR设运动时间为t秒（1）当t=_时，PQR的边QR经过点B；（2）设PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EFBC，垂足为F，当PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若MAN=45，求t的值自我总结 课后作业作业1已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG（1）求证：BCEDCF：（2）OG与B

29、F有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GEGB=42，求正方形ABCD的面积作业2如图，BD是ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；（2）若ABC=60，BD=6，求四边形ADEF的面积作业3如图，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且，（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3）如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP当ABOP时，请直接写出四边形CDEF周长的值作业4如图，已知点E,F分别是

30、ABCD的边BC,AD上的中点，且BAC=90（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若B=30，BC=10，求菱形AECF面积作业5已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M

31、、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度作业6阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若，如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_；如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_（填“改变”或“不变”）请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变ABC的大小，折痕EF的长为m（1）如图3

32、，若，则六边形AEFCHG的周长为_；（2）如图4，若的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为_作业7某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=

33、8若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值作业8在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发

34、，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由作业9已知，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周，即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C

35、、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t_若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为_作业10在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点（1）在图1中证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连结、（如图3），求的度数作业11（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足，联结AE、BF交于点H请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作于点H，交AD于点G，试判断

36、线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD求证：；图3图2图1作业12如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，BCD=60，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点（1）求证：ADPECP；（2）若BP=nPK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON的度数作业13阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形 如正方形就是和谐四边形结合

37、阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）A平行四边形B矩形C菱形D等腰梯形（2）如图，等腰中，若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且，请直接写出的度数ABD作业14我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，DAB=ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在RtABC与RtABD中，C=D=90，BC=BD=3，AB=5，将RtABD绕着点A顺时针

38、旋转角（0BAC）得到RtABD（如图3），当凸四边形ADBC为等邻角四边形时，求出它的面积作业15如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tanAOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角（0AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG（1）求点B的坐标（2）当OG=4时，求AG的长（3）求证：GA平分OGE（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标作业16如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图中，过点M作MGy轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标