格论概念的产生和发展研究,数学史论文.docx

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1、格论概念的产生和发展研究,数学史论文格是一种特殊的偏序集，经过特殊化以后能够得到分配格，再特殊化以后能够得到布尔代数，是序构造的主体部分。在很多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。例如，一组实数间的大小顺序，一组命题间的蕴涵顺序等。这种顺序一般不是全序，即不是任意两个元素之间都能排列顺序，而是在部分元素之间的一种顺序即偏序 或半序 .偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。详细地讲，格是其非空有限子集都有一个上确界 叫并 和一个下确界 叫交 的偏序集合，它的公理增减之后可得到全序集及偏序集1 . 在 19 世纪的后几十年，德国数学家戴德金 R. Dedekind,1831-

2、1916 和 施 履 德 E. Schrder,1841-1902 分别从数论和逻辑代数两个方向得出格的概念。但是其他数学家并未认识到它的重要性，就连范德瓦尔登 B. L. Van der Waerden,1903-1996 1930-1931 年出版的两卷本(近世代数学亦没有格论的内容2 .直至 20 世纪 30 年代，在美国数学家伯克霍夫 G. Birkhoff,1911-1996 和挪威数学家奥尔 O. Ore,1899-1968 的共同努力下，格论才焕发生机，发展成为一门独立的数学学科，在抽象代数、射影几何、点集论、拓扑学、泛函分析、逻辑和概率论等众多领域产生广泛应用。本文通过对格概念

3、的产生和发展进行研究，分析其历史演化经过，以期人们对格论的早期历史有更多的了解。 一 格论思想的起源-对偶群 文章中首先明确给出了一般的对偶群的两种定义，使得模糊的对偶群思想有了清楚明晰的概念。但是根据数学概念的产生、发展和演化规律，距离格概念的成熟还很远，此时的对偶群仍然不是独立的研究对象，还只是研究模运算的一种有用的辅助工具。 三 对偶群成为独立研究对象 同样是时隔 3 年，即 1900 年，戴德金在对偶群的研究方面上了一个新的台阶。他秉承一贯重视概念和缜密严谨的学术作风，再次发表文章 三个模生成的对偶群 ber die von drei Moduln erzeugte Du-algrup

4、pe 讨论对偶群的概念。不再把对偶群作为模运算的工具，而是将其作为由模生成且知足模公理的独立研究对象。 这篇论文开篇明义，介绍对偶群和相应的序的抽象形式及其相关性质。然后，从由 3 个模生成的28 个元素组成的对偶群为起点进行研究，规定了运算，深切进入研究模公理的性质，考察模公理与链公理之间的关系。对偶群中的一个长链是指，已经知道对偶群的元素序列 a1,a2, an +1,使得这个序列中的每一个元素都是前一个元素的因子，另外，对每一个 i 1 i n ,不存在元素 b 使得 ai b ai +1.若两个链的极端元素一样，则称为等价链。链公理表示清楚，对偶群中任两个等价链的长度一样。 已经知道一

5、个对偶群，其模公理成立当且仅当对偶群和它的全部子群知足链公理。一个集合在对偶群中可能是链，而当它作为对偶群的正规子群的元素时就有可能不是链。戴德金给出的证明基本上与30 年后奥尔在关于抽象代数的格论基础中给出的证明相差无几。文章结尾还是那样以 28 个元素的模为例，讨论对偶群的一些愈加抽象的性质。总之，这篇文章主要研究实例，即 28 个元素的对偶群，而对不同公理之间的逻辑关系没有过多关注7. 通过研究戴德金关于格论的这 3 篇论文，我们发现格概念在戴德金的文章中经历了酝酿、产生和发展的经过，从最初的模糊意义到有明确的定义，再到成为独立的研究对象，在思维层次上不断提升，与戴德金擅于考虑、擅于分析

6、概念有关系，也与构造数学酝酿和产生的时代背景有密切联络。 另外需要讲明的是，固然从 20 世纪来看戴德金的对偶群思想特别平常，但是在当时极为不符合常理，因而没有得到应有的认可，也没有产生大的影响。究其原因，主要有两个。外在原因： 戴德金没有嫡传弟子，退休后又在一个与数学隔离的环境中工作，不太可能找到一个易于接受他的这项工作的人；内在原因： 戴德金后来的文章日益抽象化使得同时代数学家对他缺乏了解。甚至像韦伯 H. Weber,1842-1913 和 弗 罗 宾 尼 乌 斯 F. G. Frobenius,1849-1917 这样在代数方面深受戴德金影响的数学家似乎也忽视了戴德金的格，甚至对此敬而

7、远之。 固然与此同时，施履德从逻辑代数出发独立地阐述和研究了格，但同样被束之高阁。后来的代数教学材料，包括范德瓦尔登的(近世代数学都没有任何有关格的内容。经过约 30 年的沉寂，直到 20 世纪 30 年代，格论才因伯克霍夫和奥尔的工作重新得以迅速发展，成为一门独立的数学学科，其结果应用在其他很多领域当中。因而，科学发现有时也需要等待，等待适宜的机会和适宜的人来进行挖掘和发展。 二 格论思想的发展者-奥尔 奥尔出生在挪威的克里斯蒂，父亲是一位讲师。 他对数学的兴趣浓烈厚重，1918 年中学毕业，进入克里斯蒂大学学习数学，1922 年毕业。在克里斯蒂大学，奥尔的研究遭到斯科伦 T. A. Sko

8、lem,1887-1963 的影响。他曾在多个大学游学，作为国际教育委员会的资深会员访问过德国哥廷根大学、巴黎的索邦大学。1924 年，其论文 代数数域理论 提交给克里斯蒂大学。1925 年克里斯蒂重新命名为奥斯陆，这时奥尔已在这里做助理教授。在哥廷根大学学习时，遭到诺特 E. Noether,1882-1935 的影响，发现其方式方法使代数学焕发生机。奥尔亦是瑞典斯德哥尔摩的米塔格 - 莱弗勒研究所的研究员。1926年，美国耶鲁大学的皮尔庞特 J. Pierpont 访问欧洲，试图为耶鲁大学招聘顶级数学家。奥尔获得耶鲁大学数学助理教授的邀请。1927 年，他离开奥斯陆去耶鲁大学上任。在耶鲁大

9、学，他很快获得升职，1928 年成为副教授，1929 年成为全职教授。1930年 8 月 25 日结婚，育有两个孩子。 1931 年，奥尔获得耶鲁大学斯特灵教授职位，直到 1968 年退休为止，共在职 37 年。他担任一些行政工作，比方，1936 年至 1945 年，曾任系主任。 他经常访问欧洲，几乎每个夏天都会返回奥斯陆。 1954 年，他在意大利作为古根海姆研究员从事历史研究。 格论方面的论文。几乎被埋没，他以为格论与群论具有类似的作用，群论是把对称现象抽象化，而格论是更广泛地研究阶。文章提出格论和理想论的关系。讨论给出泛代数学的格论基础的可能性，得到一个定理，将任一确定的代数系统的所有子

10、系统的格和关于它能够定义的等价关系的格联络起来，证明了在它们之间能够定义逐一映射9.与伯克霍夫相比，奥尔对于格论能否成为代数基础更感兴趣。1935 年，他在耶鲁大学正式提出这个问题。他相信，通过忽略代数系统里的元素以及研究任意确定系统的某些子系统的格性质，很有可能得出对所有代数系统成立的一般定理。 1935 年，奥尔在(数学年刊上发表 抽象代数基础 On the Foundations of Abstract Algebra ,介绍格论。他从其数学观念讲起，阐述了在过去的几十年里，有很多代数定理同时出如今不同的代数学领域，希望找到一个一般性的概念，从它出发能够推出同时对所有的领域成立的等价定理

11、。 奥尔在这篇文章中对格的定义、性质、关系、刻画和分类进行了研究，此时格不再只是独立的研究对象，已然渐成体系、构成理论。 奥尔给出了格的两个等价定义。第一个定义以一个确定的系统的元素之间的一种抽象序关系 的定义为基础，系统 要求知足通常集合论的包含性质。并和交是用包含术语定义的抽象运算。 对于每对元素 A 与 B,存在一个元素 D = A,B ,称为 A 与 B 的交，知足 D A,D B 且对于其他具有同样性质的元素 D1,均有 D1 存在一个元素 M =A,B,称为 A 与 B 的并，知足 M A,M B且对于每个有同样性质的其他元素 M1,均有 M1 M.如今，我们称带有两种运算且知足以

12、上性质的系统叫作格。奥尔证明了这些抽象运算知足通常的并和交的性质。 奥尔从这两个定义出发，期望通过给出一个一般性的定理得到不同代数分支的相应定理，尤其是分解定理，进而找到一种新的抽象代数学方式方法的概念基础。 奥尔侧重研究群论里的正规子群和环论里的理想这样两个子系统，观察到确实能够用严格的格概念来表述这两个子系统的代数性质。由于它们的交和并正好符合戴德金的模公理，即附加公理，奥尔称之为戴德金公理，假如 C A,则 C,A,B =A, B,C 1因而，奥尔重点研究戴德金格，即知足戴德金公理的格。由此，就要首先运用格概念重新给出代数学的一些主要的、重复出现的概念的定义，例如陪集和同构。华而不实升链

13、条件和降链条件具有举足轻重的地位，同时知足二者的格称之为阿基米德格。假如A B 且 A 与 B 之间没有其他元素，则称 A 素于 B上。在格里的一列元素 A = A0 A1 An= B 称作长度为 n 的主链，假如它的每个分支素于下一个分支上。假如格 知足戴德金公理 若 A、B、C 属于 且不等式 A C A,B成立，则 C = A, B,C ,那么就把格 称为戴德金格。奥尔证明了这个公理与公理 1 是等价的，与戴德金的原始表述相符。格还知足分配性： A, B,C = A,B , A,C .当 A B 时，奥尔定义商 A/B 是格里比 A 小比B 大的元素构成的集合。很明显，A / B 本身就

14、是格。 已经知道任意两种构造，假如从一种构造到另外一种构造的映射保持并和交的运算，那么这两种构造称为同态。同构定义为一对一的同态。他证明了戴德金曾经给出的一个主定理： 若 A 和 B 是一种戴德金格里的元素，则格 A,B /A 和 A/ A,B 同构。更详细地讲，若已经知道在 A,B 和 A 之间的一个主链 A,B A1 An= A,则链 B B,A1 B,A2 B,An=B,A是 B 和B,A之间的一个主链。 A,B A A,B 和A,B B A,B 是最基本的主链10. 上述两个链是从另外一个链通过素变换的方式得到的。接着，奥尔阐述证明了一种针对戴德金格的若尔当 - 赫尔德定理的抽象形式，

15、即若在戴德金格 里存在一个 A 与 B 之间的有限主链，则 A 与 B之间的全部主链长度一样，且通过连续对换，可从一个主链得到另一个主链。能够定义任一格里的等价类，证明非阿基米德格 即有无穷个主链的格 的若尔当 - 赫尔德定理。格和商格知足全部链条件。给定两个商 A/B 和 B/C,把它们的积定义为： A/C = A/B B / C.如今，取两个有公分母的商 U = A / B 和 T= C / B,定义商 U 为：U = TUT- 1=U,T T- 1=A,C/ C * 我们把 U 称作 A 通过 C 的变换 .显然，这个概念和奥尔早期的非交换多项式的工作有着直接关系，于是，接下来主要努力将

16、早期非交换多项式中的分解定理推广到格论当中。同时，他也运用仅靠并、交、包含和变换性质的格阐述了另外一些分解定理。 在公式 * 里，若规定 A,C = B,则称 U 是通过一个类似变换从 U 里得到的，且能够证明 U 和 U 同构。奥尔运用变换重新阐述了若尔当 - 赫尔德定理。若 A 和 B 为戴德金格，A 和 B 之间存在一个有限主链，则商 U = A/B 能够表示为素商的积 U = T1 Tr.奥尔运用格给出施赖埃尔 O. Schreier,1901-1929 定理一个一般性的合理表述形式。若A 与 B 之间不存在有限链，则这个定理就是若尔当- 赫尔德定理的一个推广。由于具有模律的格就是戴德

17、金格，因而利用模律，能够对群和模的某些构造性定理如若尔当 - 赫尔德定理、克鲁尔 - 施密特定理等用格论的语言，作比拟简明也比拟一般的证明。 1938 年，在美国维吉尼亚州的一座小城初次召开了格论专题会议，标志格论正式成为一门独立的数学学科。1938 年也是美国数学会成立 50 周年，贝尔 E. T. Bell,1883-1960 应邀作大会报告，讨论美国代数学前 50 年的历史发展。贝尔以为，由于美国数学会的学术活动刚刚起步，所以美国的代数研究的重点是寻求一些概念，能证明一般的定理，华而不实奥尔的格概念正好就是华而不实最重要的概念之一。 四 结 语 从数学内容上来讲，格论与群论、环论的关系非

18、常密切，互相作用明显。任意一个群的所有子群的集合、所有不变子群的一个集合、任意一个环的所有子环的集合以及所有理想子环的集合等都是格。十分地，在一个群的所有不变子群所组成的格以及在一个环的所有理想子环所组成的格当中，还知足模律，具有模律的格就是戴德金格，在一般格论中占有重要位置。由于群论与环论中的大部分定理陈述子群、不变子群和理想子环的分布情况，所以这些定理能够作为子群或者理想子环的格的定理重新叙述。 在某些情形下，类似定理对于一般的格也成立。这种方式方法，能够把群论、环论以及其他科目中的某些重要定理转移到格论中来。另一方面，利用格论的工具，能够反过来更方便地在群论和环论中寻求详细的格的性质。

19、从数学哲学观念上来讲，格论思想诞生和发展的历史就是 19、20 世纪主流数学哲学思想的外显。 华而不实戴德金的概念哲学思想起到了很重要的作用，使得格概念思想从模糊不清发展到成为独立的研究对象，从数发展到集合。奥尔进一步将格概念升华为具有构造性的概念，而且使格论发展成为一门独立的具有构造性的学科。这样，从数到集合，再从集合到构造，与 19、20 世纪的主流数学哲学观念相符合。 从格论的应用范围来讲，近年来随着格论的发展，其应用范围进一步扩展，深切进入到数学的各个分支，在代数学中对于一个群 G 与其子群格 L G 之间关系的研究，在数理逻辑中关于 不可解度 的研究，都早已提上日程。另外在射影几何、

20、点集论、拓扑学、泛函分析及概率论等很多领域亦逐步展开广泛的应用。 致谢： 衷心感谢中科院数学与系统科学院胡作玄先生所提出的难得珍贵建议！ 【参 考 文 献】 1亚历山大洛夫，扎尔加列尔，维金斯基，等。 数学-它的内容、方式方法和意义： 第三卷M. 王 元，万哲先，刘绍学，等译。 北京： 科学出版社，2001:333 -334. 2胡作玄。 近代数学史M. 济南： 山东教育出版社，2006:13 - 14. 3王淑红，邓明立。 戴德金对理想论的奉献J. 自然辩证法通讯，2020,35 4 :58 -63. 4Dirichlet P G L. Vorlesungen ber ZahlentheorieM. 4thed. Braunschweig: Vieweg,1894: 1 - 222.