高考数学一轮复习第9章算法初步统计与统计案例第3节用样本估计总体教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 9 9 章算法初步统计章算法初步统计与统计案例第与统计案例第 3 3 节用样本估计总体教师用书文新人教节用样本估计总体教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体

2、的思想解决一些简单的实际问题1频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图931)图 931横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率2茎叶图2 / 18统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数. 3样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位

3、置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数样本数据的算术平均数，即 xx1x2xn n方差s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2，其中s为标准差1 nxxx1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次(

4、 )解析 (1)正确平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势(2)错误方差越大，这组数据越离散(3)正确小矩形的面积组距频率(4)错误茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误3 / 18答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图 932 所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图 932A91.5 和 91.5 B91.5 和 92C91 和 91.5D92 和 92A A 这组数据由小到大排列为这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96.87,89,9

5、0,91,92,93,94,96.中位数是91.5，平均数91.5.3(2017南昌二模)如图 933 所示是一样本的频率分布直方图若样本容量为 100，则样本数据在15,20)内的频数是( )图 933A50B40C30D14C C 因为因为15,2015,20对应的小矩形的面积为对应的小矩形的面积为1 10.0450.0450.150.150.30.3，所以样本落在，所以样本落在15,2015,20的频数为的频数为0.31000.31003030，故选，故选 C.C.4(2016江苏高考)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_0 01 1 55 个数的平

6、均数个数的平均数5.15.1，所以它们的方差 s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.5(2017山东淄博模拟)某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图 934，已知记录的平均身高为 175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字4 / 18记为 x，那么 x 的值为_图 9342 2 170170(1(12 2x x4 45 5101011)11)175175，则(33x)5，即 33x35，解得 x2.样本的数字特征(1)(2015广东高考)已知样本数据 x1，x2，xn 的均值5

7、，则样本数据 2x11,2x21，2xn1 的均值为_(2)某企业有甲、乙两个研发小组为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)其中 a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差并比较甲、乙两组的研发水平；若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率(1)11 由条件

8、知5，则所求均值 02125111.2x1x2xnn n(2)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为甲.3 分方差 s.乙组研发新产品的成绩为5 / 181,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为乙.方差 s.因为甲乙，ss，所以甲组的研发水平优于乙组.6 分记 E恰有一组研发成功在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共 7 个因此事件 E 发生的概率为.用频率估计概率，即得所求概率为 P(E).12 分规律方法 1.平均数反映了

9、数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式. 2可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择变式训练 1 (2017郑州模拟)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据(单位：)制成如图 935 所示的茎叶图考虑以下结论：图 935甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月

10、 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差6 / 18其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为 ( )A B C DB B 甲地甲地 5 5 天的气温为：天的气温为：26,28,29,31,3126,28,29,31,31，其平均数为甲29；方差为 s(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6；标准差为 s 甲.乙地 5 天的气温为：28,29,30,31,32，其平均数为乙30；方差为 s(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22；标准差为 s 乙.甲乙，s 甲s 乙茎叶图及其应用(2014全国卷)某市为了考核甲

11、、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门3594404489751224566777899766533211060112346889887776655555444333210070011344966552008123345632220901145610000(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率；7 / 18(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价解 (1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大排

12、序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.3 分50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是66,68，故样本中位数为67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67.5 分(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为0.1，0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16.8 分(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评

13、分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.12分规律方法 1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况2(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理(2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息变式训练 2 (2017雅礼中学质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图 936 所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那8 / 18么 mn_.

14、 【导学号：31222364】图 9361111 两组数据的中位数相同，两组数据的中位数相同，m3.又两组数据的平均数也相同，n8，因此 mn11.频率分布直方图角度 1 利用分布直方图求频率、频数(2016山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图 937 所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )图 937A56B60C120D140D D 由直方图可知每周自习

15、时间不少于由直方图可知每周自习时间不少于 22.522.5 小时的频率为小时的频率为(0.16(0.160.080.080.04)2.50.04)2.50.70.7，则每周自习时间不少于，则每周自习时间不少于 22.522.5 小时小时的人数为的人数为 0.72000.7200140.140.故选故选 D.D.角度 2 用频率分布直方图估计总体(2016四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)将数据按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图 938 所9 /

16、 18示的频率分布直方图图 938(1)求直方图中 a 的值；(2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)的频率为 0.080.50.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得 a0.30.5 分(2)由(1)知，该市 100 位居民中月均用水量不低于 3

17、吨的频率为 0.060.040.020.12.由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.1236 000.8 分(3)设中位数为 x 吨因为前 5 组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5，而前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.480.5，所以 2x2.5.10 分由 0.50(x2)0.50.48，解得 x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.12 分规律方法 1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分10 / 18布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果

18、，易误认为纵轴上的数据是各组的频率2(1)例 32 中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键(2)利用样本的频率分布估计总体分布思想与方法1用样本估计总体是统计的基本思想用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用2(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度就越大(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用

19、图表直观描述样本数据的分布规律的易错与防范1使用茎叶图时，要弄清茎叶图的数字特点，切莫混淆茎与叶的含义2利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和3直方图与条形图不要搞混11 / 18频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误课时分层训练课时分层训练( (五十六五十六) ) 用样本估计总体

20、用样本估计总体A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1市 2016 年各月的平均气温()数据的茎叶图如图939，则这组数据的中位数是( )图 939A19 B20 C21.5 D23B B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,328,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为，所以中位数为20.20.2我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内

21、夹谷约为 ( )A134 石B169 石 C338 石D1 365 石B B 254254 粒和粒和 1 1 543543 石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量据此估计这批米内夹谷的数量设 1 534 石米内夹谷 x 石，则由题意知，解得 x169.故这批米内夹谷约为 169 石3某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9310，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，12 / 1880,100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )图 9310A45B50 C55D60B B 由频率分

22、布直方图，知低于由频率分布直方图，知低于 6060 分的频率为分的频率为(0.010(0.0100.005)0.005)20200.3.0.3.该班学生人数 n50.4(2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图9311 中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ，B 点表示四月的平均最低气温约为 5 .下面叙述不正确的是( )图 9311A各月的平均最低气温都在 0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20 的月份有 5 个D D 对于选项对于选项 A A，由题图易知各

23、月的平均最低气温都在，由题图易知各月的平均最低气温都在 0 0 以以上，上，A A 正确；对于选项正确；对于选项 B B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，以七月的平均温差比一月的平均温差大，B B 正确；对于选项正确；对于选项 C C，三月，三月和十一月的平均最高气温均为和十一月的平均最高气温均为 1010 ，所以，所以 C C 正确；对于选项正确；对于选项 D D，平，平均最高气温高于均最高气温高于

24、2020 的月份有七月、八月，共的月份有七月、八月，共 2 2 个月份，故个月份，故 D D 错错误误 5若样本数据 x1，x2，x10 的标准差为 8，则数据2x11,2x21，2x101 的标准差为( )13 / 18A8B15 C16D32C C 已知样本数据已知样本数据 x1x1，x2x2，x10x10 的标准差为的标准差为 s s8 8，则，则s2s26464，数据，数据 2x12x11,2x21,2x21 1，2x102x101 1 的方差为的方差为22s222s222642264，所以其标准差为，所以其标准差为282816.16.二、填空题6如图 9312 所示的茎叶图是甲、乙两

25、位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为 85，乙同学的六科成绩的众数为 84，则 xy_.【导学号：31222365】图 93121010 甲甲8585，x x6.6.又乙同学的成绩众数为 84，y4.xy10.7为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图 9313 所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底部周长小于 100 cm.【导学号：31222366】图 93132424 底部周长在底部周长在80,90)80,90)的频率为的频率为 0.015100.015100.150

26、.15，底部周长在90,100)的频率为 0.025100.25，样本容量为 60，所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.150.25)6024.8(2017郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训14 / 18练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_2 2 易知甲易知甲9090，乙，乙90.90.则 s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24.s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22

27、.三、解答题9(2017郑州调研)某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图 9314 所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为 10.【导学号：31222367】图 9314(1)求出 m，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差 s和 s，并由此分析两组技工的加工水平解 (1)根据题意可知：甲(78101210m)10，乙(9n101112)10，3 分m3，n8.5 分(2)s(710)2(810)2(1010)2(1210)2(1310)25.2，8 分15 / 18s(81

28、0)2(910)2(1010)2(1110)2(1210)22，10 分甲乙，ss，甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12 分10(2016北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：图 9315(1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当w3 时，估计该市居民该月的人

29、均水费解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5,1，(1,1.5，(1.5,2，(2,2.5，(2.5,3内的频率依次为 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3 分所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过2 立方米的居民占 45%.依题意，w 至少定为 3.5 分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.0510 分根据题意，该市居

30、民该月的人均水费估计为16 / 1840.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元).12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：【导学号：31222368】图 9316则 7 个剩余分数的方差为( )A. B. C36 D.6 77B B 由题意知由题意知9191，解得 x4.所以 s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(949

31、1)2(9191)2(16910190).2(2015湖北高考)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图 9317 所示图 9317(1)直方图中的 a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_(1)3 (2)6 000 (1)由0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，17 / 18解得 a3.(2)区间0.3,0.5)内的频率为 0.11.50.12.50.4，故0.5,0.9内的频率为 10.40.6.因此，消费金额在

32、区间0.5,0.9内的购物者的人数为 0.610 0006 000.3(2017广州模拟)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图 9318.图 9318(1)求直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？解 (1)由(0.0020.0

33、09 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得 x0.007 5，直方图中 x 的值为 0.007 5.4 分(2)月平均用电量的众数是230.(0.0020.009 50.011)200.450.5，月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为 a，则(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，解得a224，即中位数为 224.8 分(3)月平均用电量在220,240)的用户有 0.012 52010025(户)，同理可求月平均用电量为240,260)，260,280)，280,300的用户分别有 15 户、10 户、5 户，18 / 18故抽样比为，从月平均用电量在220,240)的用户中应抽取 255(户).12 分