高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-1变化率与导数导数的计算学案理.doc

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1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3-3-1 1 变化率与导数导数的计算学案理变化率与导数导数的计算学案理考纲展示 1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数考点 1 导数的概念及运算法则1.导数的概念函数 yf(x)在 xx0 处的导数：称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率 为函数 y

2、f(x)在xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0) _.函数 f(x)的导函数：称函数 f(x)为 f(x)的导函数limx0答案：fx0xfx0 x2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(Q Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_- 2 - / 15f(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_续表基本初等函数导函数f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_答案：0 x1 cos x sin x ex axln a 1 xln a3导数的运算法则(1)

3、f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)(g(x)0)答案：(1)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)4复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx_，即 y 对 x 的导数等于_的导数与_的导数的乘积答案：yuux y 对 u u 对 x(1)教材习题改编在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)4.9t26.5t10.则运动员的速度v_，加速度 a_.答案：9.8t6.5，9.8(2)教材习题改编f(x)cos x 在点处的切线的倾斜角为_- 3 - / 15答案：3 4导数

4、运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错(1)若函数 f(x)2x3a2，则 f(x)_.答案：6x2解析：本题易出现一种求导错解：f(x)6x22a，没弄清函数中的变量是 x，而 a 只是一个字母常量，其导数为 0.(2)函数 y的导函数为_答案：y1xln x xex解析：y，易用错商的求导法则典题 1 分别求出下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)yln.解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).点石成金 导数

5、的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导- 4 - / 15(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导考点 2 导数运算的应用典题 2 (1)2017吉林实验中学高三函数 f(x)的导函数f(x)，对xR，都有 f(x)f(x)成立，若 f(ln 2)2，则满足不等式 f(x)ex 的 x 的范围是( )B(0,1)A(1，)D(0，ln 2)C(l

6、n 2，)答案 C解析 设 F(x)，F(x)0，F(x)在定义域 R 上单调递增，不等式 f(x)ex 即 F(x)1，f(ln 2)2，F(ln 2)1，即 F(x)F(ln 2)，xln 2，故选 C.(2)已知 f(x)x22xf(2 016)2 016ln x，则 f(2 016)_.答案 2 017解析 由题意得 f(x)x2f(2 016)，所以 f(2 016)2 0162f(2 016)，即 f(2 016)(2 0161)2 017.(3)在等比数列an中，a12，a84，函数 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(0)的值为_答案 212解析 因为 f(x)x

7、(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所- 5 - / 15以 f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以 a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.点石成金 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1.若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)( )B2 A1D0C2答案：B解析：f(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又 f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2设 f0(x)si

8、n x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn(x)fn1(x)，nN*，则 f2 017(x)( )Bsin x Asin xDcos xCcos x答案：C解析：f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，由规律知，这一系列函数式值的周期为 4，故 f2 017(x)cos x.考点 3 导数的几何意义导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的- 6 - / 15导数)相应地，切线方程为_答案

9、：P(x0，y0) 切线的斜率 yy0f(x0)(xx0)曲线 y2x33x5 在点(2,15)处的切线的斜率为_答案：21解析：因为 y6x23，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k622321.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程(1) 曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为_答案：3xy10解析：依题意得 y(x1)ex2，则曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线的斜率 k(01)e023，故曲线yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为 y13x，即3xy10.(2)若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则a_.答

10、案：1 2解析：易知点(1，a)在曲线 yax2ln x 上，y2ax，y|x12a10，a.考情聚焦 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题主要有以下几个命题角度：- 7 - / 15角度一求切线方程典题 3 (1)2017河北唐山模拟曲线 yexln x 在点(1，e)处的切线方程为( )A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10答案 C解析 由于 ye，所以 yx1e1，故曲线yexln x 在点(1，e)处的切线方程为 ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)2017

11、四川雅安模拟设曲线 yexax 在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则实数 a( )B1A3D0C2答案 C解析 与直线 x2y10 垂直的直线斜率为 2，f(0)e0a2，解得 a2.(3)过点 A(2,1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有( )B2 条A3 条D0 条C1 条答案 A解析 由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为 k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为- 8 - / 15y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点 A(2,1)代入可得关于 x0 的一元三次方程 2x6x70.令 y2x6x7，则 y6x12x0.由y0 得 x

12、00 或 x02.当 x00 时，y70；当 x02 时，y10.结合函数 y2x6x7 的单调性可得方程 2x6x70有 3 个解故过点 A(2,1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有 3 条，故选 A.角度二求切点坐标典题 4 若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_答案 (e，e)解析 由题意得 yln xx1ln x，直线2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)角度三求参数的值典题 5 (1)若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点

13、(0，m)处有公切线，则 ab( )B0 A1D2C1答案 C解析 两曲线的交点为(0，m)，即 a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则 f(0)0，f(0)1.- 9 - / 15又 g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)若函数 f(x)x2axln x 上存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_答案 2，)解析 f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，xa0 有解，ax2(x0)点石成金 1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f

14、(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解2已知斜率 k，求切点 A(x0，f(x0)，即解方程 f(x0)k.3(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解(2)当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.方法技巧 1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则

15、对求导的- 10 - / 15制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范 1.曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线

16、yx3 在其过点(0,0)的切线 y0 的两侧真题演练集训 12014大纲全国卷曲线 yxex1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )BeA2eD1C2答案：C解析：yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y|x12.22014新课标全国卷设曲线 yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2x，则 a( )B1A0 D3C2 - 11 - / 15答案：D解析：ya，由题意得 y|x02，即 a12，所以a3.32016新课标全国卷已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_答案：y2x1解析

17、：由题意可得，当 x0 时，f(x)ln x3x，则 f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即 y2x1.42016新课标全国卷若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_.答案：1ln 2解析：设 ykxb 与 yln x2 和 yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)，则切线分别为 yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得 yxln x11，yxln(x21)，依题意，得Error!解得 x1，从而 bln x111ln 2.52015陕西卷设曲线 yex 在点(

18、0,1)处的切线与曲线y(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_答案：(1,1)解析：yex，曲线 yex 在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设 P(m，n)，y(x0)的导数为 y(x0)，曲线- 12 - / 15y(x0)在点 P 处的切线斜率 k2(m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1)课外拓展阅读 求解导数问题最有效的两种解题方法方法一 公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思典例 1 改编题求函数 ys

19、in2 的导数思路分析 解 解法一：y2sin2sincos4sincos(2x 3)2sin.解法二：设 yu2，usin v，v2x，则 yyuuvvx2ucos v24sin vcos v4sincos(2x 3)2sin.温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题- 13 - / 15中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏方法二 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，

20、或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论典例 2 证明：当 x1 时，有 ln2(x1)ln xln(x2)思路分析 证明 构造辅助函数 f(x)(x1)，于是有 f(x).因为 1xx1，所以 0ln xln(x1)，即 xln x(x1)ln(x1)则在(1，)内恒有 f(x)0，故 f(x)在(1，)内单调递减又 1xx1，则 f(x)f(x1)，即，所以 ln2(x1)ln xln(x2)技巧点拨要证明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数 F(x)f(x)- 14 - / 15g(x)，如果 F(x)0

21、，则 F(x)在(a，b)内是增函数，同时 F(a)0，则有 x(a，b)时，F(x)0，即证明了 f(x)g(x)同理可证明 f(x)g(x)但要注意，此法中所构造的函数 F(x)在给定区间内应是单调的混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误典例 3 若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3 和yax2x9 都相切，则 a( )B1 或A1 或 21 4D或 7C或 易错分析 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错解析 因为 yx3，所以 y3x2，设过点(1,0)的直线与 yx3 相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为 k3x，所以切线方程为 yx3x(xx0)，即 y3xx2x.又点(1,0)在切线上，所以 x00 或 x0.当 x00 时，切线方程为 y0，由 y0 与 yax2x9 相切可得 a；当 x0时，切线方程为 yx，由 yx与 yax2x9 相切，可得 a1.综上，a 的值为1 或.答案 A易错提醒1对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，- 15 - / 15因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握2对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解