高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-6抛物线试题理北师大.doc

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1、1 / 23【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-69-6 抛物线试题理北师大抛物线试题理北师大1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点 F 叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2x

2、p 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1抛物线 y22px (p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax 的焦点坐标为，准线方程为 x.2 / 233设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦【思考辨析】判断下列结论是否正

3、确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是 x.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F(，0)的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( )1(2016四川)抛物线 y24x 的焦点坐标是( )A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)答案 D解析 对于抛物线 y2ax，其焦点坐标为，对于

4、y24x，焦点坐标为(1,0)3 / 232(2016张掖一诊)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|等于( )A9 B8 C7 D6答案 B解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意，可得|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,2C1,1 D4,4答案 C解析 Q(2,0)，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理

5、得 k2x2(4k28)x4k20，由 (4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.4(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案 y28x 或 x2y解析 设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y.5(2017合肥月考)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆4 / 23x2y26x70 相切，则 p 的值为_答案 2解析 抛物线 y22px(p0)的准线为 x，圆 x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为 4.又因为抛物线

6、 y22px(p0)的准线与圆 x2y26x70 相切，所以 34，解得 p2.题型一 抛物线的定义及应用例 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案 4解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.引申探究1若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，|PB|PF|BF|42222，即|PB|PF|的最小值

7、为 2.5 / 232若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy50，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1d2 的最小值解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)点 P 到 y 轴的距离 d1|PF|1，所以 d1d2d2|PF|1.易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2|PF|的最小值为3，所以 d1d2 的最小值为 31.思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 “看到准线想焦点，看到焦点想准线

8、” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2016市铁一中学模拟)已知点 P 是抛物线 y28x上一点，设 P 到此抛物线准线的距离是 d1，到直线 xy100 的距离是 d2，则 d1d2 的最小值是( )A. B2 C6 D3答案 C解析 抛物线方程是 y28x，抛物线的焦点为 F(2,0)，准线方程是 x2(如图)，d1d2 的最小值是焦点 F 到直线 xy100 的距离，即(d1d2)min6.6 / 23题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点 1 求抛物线的标准方程例 2 已知双曲线 C1：1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的

9、渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案 D解析 1 的离心率为 2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1 的渐近线方程为 yx，即yx.由题意得2，p8.故 C2 的方程为 x216y.命题点 2 抛物线的几何性质例 3 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为 xmy，代入 y22px，得 y

10、22p，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.7 / 23因为 y2px1，y2px2，所以 yy4p2x1x2，所以 x1x2.(2)1x2p2.因为 x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于

11、标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此(1)(2016全国乙卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则C 的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D88 / 23(2)(2016昆明三中、玉溪一中统考)抛物线 y22px(p0)的焦点为F，已知点 A、B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的最大值为

12、( )A. B1 C. D2答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线 C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0,2)，D，点 A(x0,2)在抛物线 y22px 上，82px0，点 A(x0,2)在圆 x2y2r2 上，x8r2，点 D 在圆 x2y2r2 上，52r2，联立，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.(2)设|AF|a，|BF|b，分别过 A、B 作准线的垂线，垂足分别为Q、P，由抛物线的定义知，|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|BP|ab.|AB|2a2b22abcos

13、120a2b2ab(ab)2ab.又 ab()2，所以(ab)2ab(ab)2(ab)2(ab)2，9 / 23得到|AB|(ab)，所以，即的最大值为.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点 1 直线与抛物线的交点问题例 4 已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A、B 两点若0，则 k_.答案 2解析 抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 yk(x2)，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x24，x1x24，所以 y1y2k(x1x2)4k，y1y2

14、k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得 k24k40，所以 k2.命题点 2 与抛物线弦的中点有关的问题例 5 (2016全国丙卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q两点10 / 23(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程(1)证明 由题意知，F，设

15、l1：ya，l2：yb，则 ab0，且 A，B，P，Q，R.记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1bk2.所以 ARFQ.(2)解 设过 AB 的直线为 l，设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以 x11，x10(舍去)设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kABkDE 可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，

16、此时 E 点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为 y2x1(x1)思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过11 / 23焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” 、 “整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(2016北京东区质检)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的

17、交点为 Q，且|QF|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与C 相交于 M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程解 (1)设 Q(x0,4)，代入 y22px，得 x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得 p2(舍去)或 p2.所以 C 的方程为 y24x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 xmy1(m0)代入 y24x，得 y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24.故 AB 的中点为 D(2m21,2m)，|AB|y1

18、y2|4(m21)又 l的斜率为m，所以 l的方程为 xy2m23.12 / 23将上式代入 y24x，并整理得 y2y4(2m23)0.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y4，y3y44(2m23)故 MN 的中点为 E(2m23，)，|MN| |y3y4|，由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即 4(m21)2(2m)2(2)2，化简得 m210，解得 m1 或 m1.所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.7直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12 分)已知抛物线 C：ymx2

19、(m0)，焦点为 F，直线2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标；(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；(3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由思维点拨 (3)中证明0.13 / 23规范解答解 (1)抛物线 C：x2y，它的焦点 F(0，)2 分(2)|RF|yR，23，得 m.4 分(3)存在，联立方程Error!消去 y 得 mx22x20，依题意，有 (2)2

20、4m(2)0m.6 分设 A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P 是线段 AB 的中点，P(，)，即 P(，yP)，Q(，)8 分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，10 分结合(*)化简得40，即 2m23m20，m2 或 m，而 2(，)，(，)存在实数 m2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形12 分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第

21、三步：根据题目要求列出关于 x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的14 / 23关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况1(2017昆明质检)已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，如果12，那么抛物线 C 的方程为( )Ax28y Bx24yCy28x Dy24x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去 x 得 y22pmyp20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2

22、m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线 C 的方程为 y28x.2已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx2 Dx2答案 B解析 y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，15 / 23过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx，即 xy，将其代入 y22px，得 y22pyp2，即 y22pyp20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22p，p2，抛物线的方程为 y24x，其准线方程为 x1.3(2016上饶四校联考)设抛物线 C：y23p

23、x(p0)的焦点为 F，点M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C 的方程为( )Ay24x 或 y28x By22x 或 y28xCy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x答案 C解析 抛物线 C：y23px(p0)的焦点为 F(，0)，|OF|，以 MF 为直径的圆过点(0,2)，设 A(0,2)，连接 AF，AM，可得AFAM，在 RtAOF 中，|AF| ，sinOAF，根据抛物线的定义，得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于点A，OAFAMF，可得在 RtAMF 中，sinAMF，|MF|5，|AF| ，16 / 23 ，整理得 4，

24、解得 p或 p，C 的方程为 y24x 或 y216x.4已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )A4 B4Cp2 Dp2答案 A解析 若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2，x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB 的直线方程为 yk(x)，联立 y22px，得 k2x2(k2p2p)x0，则 x1x2.y1y2p2.故4.5(2016江西南昌第一次模拟)已知抛物线 C：y28x 的焦点为F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是线段 PF 与 C 的一个交点，若|FP

25、|3|QF|，则|QF|等于( )A. B. C3 D2答案 A17 / 23解析 如图所示，过点 Q 作 QMl，设 l 与 x 轴交于点 K，由抛物线定义知，|MQ|QF|，由PMQPKF，得|MQ|：|KF|PQ|PF|23，所以|QF|MQ|KF|4，故选 A.6抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，则的最小值是( )A. B. C. D.2 23答案 B解析 抛物线 y24x 的准线方程为 x1，如图，过 P 作 PN 垂直直线 x1 于 N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接 PA，在 RtPAN 中，sinPAN，当最小时，s

26、inPAN 最小，即PAN 最小，即PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 yk(x1)，联立得 k2x2(2k24)xk20，所以 (2k24)24k40，解得 k1，所以PAFNPA45，cosNPA，故选 B.|PF| |PA|18 / 237设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A，B 两点，则|AB|_.答案 12解析 焦点 F 的坐标为，方法一 直线 AB 的斜率为，所以直线 AB 的方程为 y，即 yx，代入 y23x，得 x2x0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，所以|AB|x1x2p12.方

27、法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12.8已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p_.答案 2解析 如图， 由 AB 的斜率为，知60，又，M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P，则ABP60，BAP30，|BP|AB|BM|.M 为焦点，即1，p2.9已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线19 / 23C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|_.答案 6解析 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，准线方程为

28、x2.设椭圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得 a4，b216412.故椭圆方程为1.把 x2 代入椭圆方程，解得 y3.从而|AB|6.10.设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是_答案 (2,4)解析 如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条当 k 存在时，x1x2，则有2，20 / 23又 y1y22y0

29、，所以 y0k2.由 CMAB，得 k1，即 y0k5x0，因此 25x0，x03，即 M 必在直线 x3 上将 x3 代入 y24x，得 y212，则有24(为保证有 4 条，在 k 存在时，y00)，所以 40)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上相异两点，P，Q 到 y 轴的距离的积为 4，且0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T，且 Q为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值解 (1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，0，则 x1x2y1y20.又点 P，Q 在抛

30、物线上，y2px1，y2px2，代入得y1y20，y1y24p2，|x1x2|4p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为 y22x.(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 xmya，联立方程组Error!22 / 23消去 x 得 y22my2a0，设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0)，则可设直线 PR 的方程为 xnyb，并设 R(x3，y3)，同理可知，由可得.由题意得，Q 为线段 RT 的中点，y32y2，b2a.又由(1)知，y1y24，代入，可得2a4，a2，b4，y1y38，|PR|y1y3|y1y324y1y324.当 n0，即直线 PR 垂直于

31、 x 轴时，|PR|取最小值 4.13.如图，由部分抛物线：y2mx1(m0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C” ，若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和(，)(1)求“黄金抛物线 C”的方程；(2)设 P(0,1)和 Q(0，1)，过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A，P，B 三点，问是否存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB？23 / 23若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解 (1)“黄金抛物线 C”过点(3,2)和(，)，r2()2()21,43m1，m1.“黄金抛物线 C”的方程为 y2x1(x0)和 x2y21(x0)(2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx1，联立消去 y，得 k2x2(2k1)x0，xB，yB，即 B(，)，kBQ，联立Error!消去 y，得(k21)x22kx0，xA，yA，即 A(，)，kAQ，QP 平分AQB，kAQkBQ0，0，解得 k1，由图形可得 k1应舍去，k1，存在直线 l：y(1)x1，使得 QP 平分AQB.