高考数学大一轮复习第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书理.doc

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1、- 1 -第四节第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。2016，全国卷，16,5 分(弦长问题)2015，全国卷，7,5 分(弦长问题)2016，江苏卷，18,16 分(圆的综合问题)2016，山东卷，7,5 分(圆与圆的位置关系)1.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数范围、最值、几何量的大小等是考查热点；2.题型主

2、要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现。微知识 小题练自|主|排|查1直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论0相交0相切代数法联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算b24ac0相离dr相交dr相切几何法计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系。相交时弦长为 2r2d2dr相离2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，2 1圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)。2 2- 2 -方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r

3、1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解3.两圆公切线的条数位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234微点提醒 1对于圆的切线问题，一定要区分好是过圆上一点的切线，还是过圆外一点的切线。2利用圆这种几何图形的特殊性，多考虑用几何的方法解决位置关系、切线、弦长问题。3当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程。4过圆x2y2DxEyF0 上一点(x0，y0)的切线方程为：x0xy0yDEF0。xx0 2yy0 2小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2P132A 组 T5

4、改编)直线l：3xy60 与圆x2y22x4y0 相交于A，B两点，则|AB|_。【解析】 由x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r，5- 3 -又圆心(1,2)到直线 3xy60 的距离为d，由2r2d2，得|326|91102(|AB| 2)|AB|2410，即|AB|。(55 2)10【答案】 102(必修 2P132A 组 T9改编)若圆x2y24 与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为 2，则a_。3【解析】 方程x2y22ay60 与x2y24。两式相减得：2ay2，则y 。1 a由已知条件 ，即a1。22 321 a【答案】 1二

5、、双基查验1圆(x1)2(y2)26 与直线 2xy50 的位置关系是( )A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离【解析】 由题意知圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离d。且 21(2)50，因此该直线与圆相交但不过圆心。故|2 125|221256选 B。【答案】 B2圆O1：x2y22x0 和圆O2：x2y24y0 的位置关系是( )A相离 B相交C外切 D内切【解析】 圆O1的圆心为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|O1O2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相5交。故选 B。【答案】 B3(20

6、16鞍山模拟)直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(2,3)，则直线l的方程为( )Axy30 Bxy10Cxy50 Dxy50【解析】 显然圆x2y22x4ya0 的圆心C(1,2)，又弦AB的中点为(2,3)，- 4 -所以圆心与中点连线的斜率k1，故kl1，l的方程为y3x2，即23 12xy50。故选 C。【答案】 C4圆x2y21 与圆(x4)2(ya)225 相交，则a的取值范围为_。【解析】 两圆圆心距为，402a0216a2又两圆相交，所以 5151,0a2或2a0。16a255【答案】 0a2或2a0555(2015山东高考)过点P(1，)

7、作圆x2y21 的两条切线，切点分别为A，B，则3_。PAPB【解析】 如图所示，可知OAAP，OBBP，|OP|2，又|OA|OB|1，可13以求得|AP|BP|，APB60，故cos603PAPB33。3 2【答案】 3 2微考点 大课堂考点一 直线与圆的位置关系【典例 1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21 外，则直线axby1 与圆O的位置关系是( )A相切 B相交C相离 D不确定(2)直线xym0 与圆x2y22x10 有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A3m1 B4m2C0m1 Dm1【解析】 (1)由点M在圆外，得a2b21，圆心O到直线axby1 的距离d1，

8、则直线与圆O相交。故选 B。1a2b2(2)根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径。圆x2y22x10 可化为(x1)2y22，即圆心是(1,0)，半径是，d2，|10m|22- 5 -|m1|2，3m1，由题意知m的取值范围应是(3,1)的一个真子集，故选 C。【答案】 (1)B (2)C反思归纳 判断直线与圆的位置关系常见的方法1几何法：利用d与r的关系。2代数法：联立方程，再利用判断。3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。【变式训练】 (1)设m0，则直线(xy)1m0

9、与圆x2y2m的位置关系为( )2A相切 B相交C相切或相离 D相交或相切(2)若圆x2y2r2(r0)上恒有 4 个点到直线xy20 的距离为 1，则实数r的取值范围为( )A(1，) B(1，1)222C(0, 1) D(0，1)22【解析】 (1)圆心到直线l的距离为d，圆半径为。因为1m 2mdr (m21) (1)20，所以直线与圆的位置关系是相切或相离。1m 2m1 2m1 2m故选 C。(2)计算得圆心到直线l的距离为1，如图。直线222l：xy20 与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离1。故选 A。2【答案】 (

10、1)C (2)A考点二 弦长问题【典例 2】 (1)(2017营口模拟)若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0 被圆x2y21 所截得的弦长为( )A. B11 2C. D.222(2)(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0 与圆x2y212 交于A，B两点，3过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点。若|AB|2，则|CD|_。3【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线axbyc0 的距离d，因|c|a2b2|c|2|c|22- 6 -此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦长为。故选 D。1(22)2222(2)设圆心到直线l：mxy3m0 的距离为d，则弦长|AB|2

11、2，得312d23d3，即3，解得m，则直线l：xy60，数形结合可得|CD|3m 3|m213334。|AB| cos30【答案】 (1)D (2)4反思归纳 求直线被圆截得的弦长的常用方法在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算。【变式训练】 (1)(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20 相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_。3(2)(2016兰州双基)已知AC，BD为圆O：x2y24 的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )2A5 B10C15 D20【解析】 (1)圆C的方程

12、可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0 的距离为，所以2()a22|a2a|2|a|2(|a|2)32()2，解得a22，所以圆C的半径为 2，所以圆C的面积为 4。a22(2)如图，作OPAC于点P，OQBD于点Q，则OP2OQ2OM23，于是AC2BD24(4OP2)4(4OQ2)20。又AC2BD22ACBD，则ACBD10，所以S四边形ABCDACBD 105，当且仅当ACBD时等号成立。故四边形ABCD面积的最大值1 21 210为 5。故选 A。【答案】 (1)4 (2)A考点三 圆与圆的位置关系母题发散【典例 3】 已知圆C1：

13、(xa)2(y2)24 与圆C2：(xb)2(y2)21 相外切，则ab的最大值为( )- 7 -A. B.623 2C. D29 43【解析】 由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，ab2222根据基本(均值)不等式可知ab2 ，(ab 2)9 4当且仅当ab时等号成立，故选 C。【答案】 C【母题变式】 1.把本典例中的“外切”变为“内切” ，求ab的最大值。【解析】 由C1与C2内切得1。ab2222即(ab)21，又ab2 ，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为 。(ab 2)1 41 4【答案】 1 42把本典例条件“外切”变为“相交” ，求公共弦所在的直线方程。【

14、解析】 由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程。圆C1：x2y22ax4ya20，圆C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线方程。【答案】 (2a2b)x3b2a20反思归纳 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法。2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到。【拓展变式】 (2016锦州模拟)若O1：x2y25 与O2：(xm)2y220(mR R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直 ，则线段AB的长度是_。【解析】 由两圆在点A处的切线互相垂直，

15、可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1AO2，在直角三角形AO1O2中，(2)2()2m2，所以55m5，|AB|24。2 5 55【答案】 4考点四 直线与圆的综合问题【典例 4】 (2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆- 8 -M：x2y212x14y600 及其上一点A(2,4)。(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6 上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范TATPTQ围。【解析】 圆M的标准方程为(x6)

16、2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为 5。(1)由圆心N在直线x6 上，可设N(6，y0)。因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而 7y05y0，解得y01。因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21。(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2。40 20设直线l的方程为y2xm，即 2xym0，则圆心M到直线l的距离d。|2 67m|5|m5|5因为BCOA2，22425- 9 -而MC2d22，(BC 2)所以 255，解得m5 或m15。m52 5故直线l的方程为 2xy50 或 2xy150。(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)。因为

17、A(2,4)，T(t,0)，TATPTQ所以Error!因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225。将代入，得(x1t4)2(y13)225。于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225 上，从而圆(x6)2(y7)225 与圆x(t4)2(y3)225 有公共点，所以 5555，t462372解得 22t22。2121因此，实数t的取值范围是22，22。2121【答案】 (1)(x6)2(y1)21(2)2xy50 或 2xy150(3)22，222121反思归纳 直线与圆的综合问题灵活运用直线与圆的相交弦、切线等求法，还要注意与向量、函数、不等式等知识的综合，

18、充分利用数形结合解决问题。【变式训练】 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21 交于M，N两点。(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|。OMON【解析】 (1)由题可知，直线l的方程为ykx1，即kxy10，圆C的圆心坐标为(2,3)，半径为 1。因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k|2k31|1k24 73。4 73所以k的取值范围为。(4 73，4 73)(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)。将ykx1 代入圆C的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)- 10 -x70。所以x1x2，x1x2。41k 1

19、k27 1k2x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18。OMON4k1k 1k2由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为4k1k 1k24 734 73yx1。故圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|2。【答案】 (1) (2)2(4 73，4 73)微考场 新提升1(2016温州十校联考)对任意的实数k，直线ykx1 与圆x2y22x20 的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D以上都有可能解析 圆C：x2y22x20，配方，得(x1)2y23，圆心(1,0)，半径r，直3线ykx1 恒过M(0，1)，而(01)2(1)23，即M点在圆内，所以直线ykx1 与圆x2

20、y22x20 相交。答案 C2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( )A内切 B相交C外切 D相离解析 圆O1的圆心为(2,0)，r12，圆O2的圆心为(2,1)，r23，|O1O2|4212，因为r2r1|O1O2|r1r2，所以两圆相交。17答案 B3过点(3,1)作圆(x1)2y21 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析 如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)。- 11 -又kABkPC1，且kPC ，kAB2。10 311 2故直线AB的方程为y12(x1)，即 2xy30。故选

21、 A。另解：易知PACB四点共圆，其方程为(x1)(x3)(y0)(y1)0，即x2y24xy30。又已知圆为x2y22x0，切点弦方程为 2xy30，选 A。答案 A4已知圆O：x2y22xmy40 上两点M，N关于直线 2xy0 对称，则圆O的半径为_。解析 由x2y22xmy40，得(x1)2(y )214，圆心坐标为。m 2m2 4(1，m 2)又由已知条件可知圆心在直线 2xy0 上，将圆心坐标代入直线方程可求得m4。设圆O的半径为r，则r2149，解得r3。m2 4答案 35(2017洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0。若直线yk(x1)上存在一点P，使

22、过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_。解析 圆C的方程可化为(x2)2y24。先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为 2” 。2再将“直线上存在点P到圆心的距离为 2”转化为“圆心到直线的距离小于等于 2” 。22即2，2k2。|3k|k21222答案 2，222- 12 -微专题 巧突破巧解“圆上到一条直线的距离是定值的点个数”问题的方法处理圆上到一条直线的距离等于定值的点个数，通常情况下在与此直线的距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点。求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距

23、离和半径的大小比较来判断。【典例】 圆(x3)2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离为 1 的点有_个。【解析】 圆(x3)2(y3)29 的圆心为O1(3,3)，半径r3。设圆心O1到直线3x4y110 的距离为d，则d23。如图，在圆心O1同侧，与|3 34 311|3242直线 3x4y110 平行且距离为 1 的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意。又rd321，与直线 3x4y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意。符合题意的点共有 3 个。【答案】 3 个【易错点】 漏掉极端情况，误认为只有 2 个。【变式训练】 上述问题中到 3x4y110 的距离为 的点有_个。1 2【解析】 作与 3x4y110 平行且距离为 的直线，与圆有 4 个交点，所以有 4 个1 2点。【答案】 4