数学建模matlab课件9、10、矩阵.ppt

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1、矩阵及其运算0、一般矩阵的输入直接输入需遵循以下直接输入需遵循以下基本规则基本规则：整个矩阵应以整个矩阵应以“”为首尾，即整个输入矩阵必须包为首尾，即整个输入矩阵必须包含在方括号中；含在方括号中；矩阵中，行与行之间必须用分号矩阵中，行与行之间必须用分号“；”或或 Enter 键（键（按按 Enter 键）符分隔；键）符分隔；每行中的元素用逗号每行中的元素用逗号“，”或或空格空格分隔；分隔；A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16A=12345678910111213141516一、特殊矩阵的实现1.零零矩矩阵阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以

2、用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下：zeros(m)：产生mm阶零矩阵；zeros(m,n)：产生mn阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)；zeros(size(A)：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。一、特殊矩阵的实现常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde)矩阵等。2.幺矩阵幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。【例例1 1】试用one

3、s分别建立32阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。用ones(3,2)建立一个32阶幺阵：ones(3,2)%一个32阶幺阵ans=1 1 1 1 1 1一、特殊矩阵的实现3.单单位位矩矩阵阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。4.数数量量矩矩阵阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、特殊矩阵的实现5.对对角角阵阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的矩阵称为对角阵。我们可以通过

4、MATLAB内部函数diag，利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用格式为diag(V)和diag(V,k)两种。6.用一个向量V构成一个对角阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个nn(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。一、特殊矩阵的实现【例例2 2】已知向量v，试建立以向量

5、v作为主对角线的对角阵A；建立分别以向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。MATLAB程序如下：v=1;2;3;%建立一个已知的向量AA=diag(v)A=1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B=0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C=0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0%按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C一、特殊矩阵的实现7.从矩阵中提取某对角线我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为mn阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n

6、)个元素的向量。diag(A,k)的功能是：当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第|k|条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)。一、特殊矩阵的实现【例例3 3】已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;%建立一个已知的23阶矩阵A%按各种对角线情况构成向量B、C和DB=diag(A)B=1 5C=diag(A,1)C=2 6D=diag(A,-1)D=4一、特殊矩阵的实现8.上三角阵：

7、使用格式为triu(A)、triu(A,k)设A为mn阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu(A)一、特殊矩阵的实现【例例4 4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5

8、 6;7 8 9;9 8 7;%一个已知的43阶矩阵A%构成各种情况的上三角阵B、C和DB=triu(A)B=1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、特殊矩阵的实现9.下三角阵：使用格式为tril(A)、tril(A,k)tril的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。用法与triu相同。10.空矩阵空矩阵在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确是很有用的。例如A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6;B=find(A1.0)B=这里是空矩阵的符号，B=find

9、(A1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如：B=B=一、特殊矩阵的实现11、矩阵元素的修改、矩阵元素的修改【例例5】A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16A=12345678910111213141516A(1,1)ans=1A(2,3)ans=7A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0);AA=02345778910111213141511、矩阵加、减（,）运算规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。

10、允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。二、矩阵的四则运算2.矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=123;456;780;b=1;2;3;c=a*bc=143223d=-1;0;2;f=pi*df=-3.141606.2832apa自乘p次幂方阵方阵1的整数的整数3.矩阵乘方an,ap,pa对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2ans=303642668196102126150当一个

11、方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。a0.5ans=0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i4、矩阵求逆矩阵求逆矩阵求逆若方阵A,B满足等式A*B=B*A=I(I为单位矩阵)则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。【例例6 6】试用inv函数求方阵A的逆阵A

12、-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。A=1-1 1;5-4 3;2 1 1;B=inv(A)B=-1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans=1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000B*Aans=1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000三、矩阵的特征值 与特征向量对于NN阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数和N维非零向量x（通常

13、为复数），使之满足下式：A.x=.x则称为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值所对应的特征向量。对一般的NN阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特征值与特征向量。eig函数的使用格式有五种，其中 常 见 的 有 E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。(1)E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E；(2)V,D=eig(A)：由ei

14、g(A)返回方阵A的N个特征值，构成NN阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予NN阶方阵V的对应列，且A、V、D满足AV=V D；(3)V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能与格式(2)一样，只是格式(2)是先对A作相似变换(balance)，然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换；(4)E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。(5)V,D=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成NN阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值

15、，同时将返回相应的特征向量构成NN阶满秩矩阵，且 满足AV=B V D。【例例7 7】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相应的特征向量，且验证之。A=1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000;执行eig(A)将直接获得对称矩阵A的三个实特征值：eig(A)ans=-0.0166 1.4801 2.5365而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量E：E=eig(A)E=-0.0166 1.4801 2.5365V,D=eig(A)V=0.72120.44430.5315-0.6

16、8630.56210.4615-0.0937-0.69760.7103D=-0.01660001.48010002.5365四、行列式的值MATLAB提供的内部函数det用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵A为一方阵(必须是方阵)，求矩阵A的行列式值的格式为：det(A)。注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列式的值。关于如何构造稀疏矩阵，将在本章最后一节介绍。【例例6 6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。A=rand(3)A=0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A)ans=0.4289inv矩阵求逆det行列式的值eig矩阵的特征值diag对角矩阵矩阵转置sqrt矩阵开方注：矩阵的其它运算矩阵的一些特殊操作矩阵的变维a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向rot90:旋转;fliplr:上翻;flipud:下翻矩阵的抽取diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角习题习题求求A的转置矩阵、行列的转置矩阵、行列式、特征值特征向量、式、特征值特征向量、逆矩阵逆矩阵2.给出一个5阶矩阵A，并在A上使用命令diag，triu，tril相关的所有格式到此为止谢谢