数字电子技术基础第四版.ppt

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1、数字电子技术基础第四版清华大学电子学教研组编阎石主编高等教育出版社第一章逻辑代数基础v1.1 概 述v1.2 逻辑代数中的三种基本运算v1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式v1.4 逻辑代数的基本定理v1.5 逻辑函数及其表示方法v1.6 逻辑函数的公式化简法v1.7 逻辑函数的卡诺图化简法v1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简 本章首先介绍数字信号、数字技术和数字系统等基本概念，然后介绍计算机中各种进制数的表示方法，最后介绍逻辑代数的基本概念、公式和定理，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。逻辑代数是分析及设计数字电路的基本工具，逻辑函数化简是数字电路分析及设计的基础。1.1 概 述v1.1

2、.1 数字量和模拟量v1.1.2 数制和码制v1.1.3 算术运算和逻辑运算1.1 概述概述1.1.1 数字量和模拟量数字量和模拟量 在观察自然界中形形色色的物理量时不难发现，尽管它们的性质各异,但就其变化规律的特点而言，不外乎两大类。其中一类物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。也就是说，它们的变化在时间上是不连续的，总是发生在一系列离散的瞬间。同时，它们的数值大小和每次的增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍，而小于这个最小数量单位的数值没有任何物理意义。这一类物理量叫做数字量，把表示数字量的信号叫做数字信号，并且把工作在数字信号下的电子电路叫做数字电路。例如，用电子电路记录从自动生产线

3、上输出的零件数目时，每送出一个零件便给电子电路一个信号，可见，零件数目这个信号无论在时间上还是在数量上都是不连续的，因此它是一个数字信号。最小的数量单位就是1个。另一类物理量的变化在时间上或在数值上则是连续的。这一类物理量叫做模拟量，把表示模拟量的信号叫做模拟信号，并把工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。例如，热电偶在工作时输出的电压信号就属于模拟信号，因为在任何情况下被测温度都不可能发生突跳，所以测得的电压信号无论在时间上还是在数量上都是连续的。而且这个电压信号在连续变化过程中的任何一个取值都有具体的物理意义，既表示一个响应的温度。1.1.2 数制和码制 一一.数制数制 进位制：表示数时

4、，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。数码为：09；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9110。十进制数的权展开式：1、十进制、十进制103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样数码在不同的数位上代表的数值不同。的任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，

5、称权展开式。即：(5555)105103 510251015100又如：(209.04)10 2102 0101910001014 1022、二进制、二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1110。二进制数的权展开式：如：(101.01)2 122 0211200211 22(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0.0=0，0.1=0，1.0=0，1.1=1运算运算规则规则各数位的权是的幂各数位的权是的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。4、十六进制、十六进制数

6、码为：09、AF；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F110。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)2 13161 816010 161(216.625)10各数位的权是各数位的权是16的幂的幂二二.数制与转换数制与转换数制 我们最熟悉十进制：十个码元09，逢十进一。任意地，R进制有R个码元，逢R进一 任意数制之间都可以进行转换，我们常用的是十进制与其他进制之间的转换。R进制转换为十进制进制转换为十进制：将R进制加权求和即可。例1.1（11001）2(?)10解：（11001）21241230220211 20 16 8001(25)10 例1.2（0.0101）2 00.2500.062

7、5(0.3125)10以16为基数所表示的数叫做十六进制数。十六进制中，09的数字与十进制中使用的字符相同，不同的是，十进制中的1015在十六进制中一般用A、B、C、D、E、F表示。例1.3 将十六进制数（12AF.B4）16转换成十进制数。（12AF.B4）16=1 163+2 162+10 161+15 160+11 16-1+416-2=（4783.703125）102、二进制数与十六进制数的相互转换、二进制数与十六进制数的相互转换1 1 1 0 1 0 1 0 0.0 1 10 0 00 (1E8.6)16=1010 1111 0100.0111 0110(AF4.76)16 二进制数

8、与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。3、十进制数转换为二进制数、十进制数转换为二进制数采用的方法 基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基数连除法，小数部分 采用基数连乘法。转换后再合并。整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。三三.码制码制 我们习惯使用十进制，计算机硬件基于二进制，两者的结合点就是 BCD(Binary Coded

9、Decimal)码，即用二进制编码表示十进制的十个码元0 9。至少要用四位二进制数才能表示0 9，因为三位二进制最多只有8种组合。四位二进制有16种组合，足够了。现在的问题是要在16种组合中挑出10个，分别表示09，怎么挑呢？不同的挑法构成了不同的BCD码，如：8421码、2421码等，其中的数字表示位权，还有余3码、格雷码等。常用的BCD代码如表1.1所示：表1.1 常用的二十进制编码权842124215211十进制数8421码余3码2421码右移码5211码余3循环码01234567890000000100100011010001010110011110001001001101000101

10、0110011110001001101010111100000000010010001101000101011001111110111100000100001100011100111101111101111001110001100001000000010100010101111000100111001101111100100110011101010100110011011111111010101.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算一、基本逻辑v1 电路图v最基本的逻辑关系只有三种，即：与与 或或 非非v比如要办成一件事的条件：v每个人都完成才算完成-与 任一人完成即算完成-或

11、 完成的反面是没完成-非 AB电源 图1-3-1 与逻辑举例表1-3-1逻辑举例状态表开关A开关B灯断断灭断合灭合断灭合合亮F真值表真值表经过设定变量和状态赋值后，可得到开关状态与电灯亮灭之间因果关系的数学表达式，简称真值表。上述三种关系的真值表如下：图-3-4“与”逻辑 图-3-5“或”逻辑A灯F电源表1-3-2 非逻辑举例状态表开关A灯断亮合灭 图1-3-2非逻辑举例AB电源表1-3-3 或逻辑举例状态表灯合亮 合亮开关A开关B 断 断灭 断断 合合亮灯FABF000010100111ABF000011101111AF0001图-3-6“非”逻辑二、逻辑运算和逻辑符号1、基本逻辑运算、基本

12、逻辑运算与逻辑：逻辑乘与逻辑：逻辑乘 F=A B “有有0则则0”或逻辑：逻辑加或逻辑：逻辑加 F=A+B “有有1则则1”非逻辑：逻辑非非逻辑：逻辑非 F=“求反求反”、基本逻辑符号、基本逻辑符号AB&FA与逻辑符号AB1F或逻辑符号FA1非逻辑符号3.复合逻辑运算和符号与非逻辑与非逻辑 “全高出低，一低出高全高出低，一低出高”或非逻辑或非逻辑 “全低出高，一高出低全低出高，一高出低”与或非逻辑与或非逻辑异或逻辑异或逻辑 “不同不同 为一为一”同或逻辑同或逻辑 “相同为一相同为一”与非与非 或非或非 异或异或&ABF=ABABF=A+B1BAF=A=1+B1.3 逻辑代数的公式和常用公式逻辑

13、代数的公式和常用公式 1.3.1 基本公式基本公式 2、吸收律：、吸收律：反演律：反演律：分配律分配律:A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ;=AA+AB+AC+BC ;分配律分配律=A+A(B+C)+BC ;=A+A(B+C)+BC ;结合律结合律,AA=A,AA=A=A(1+B+C)+BC ;=A(1+B+C)+BC ;结合律结合律=A 1+BC ;1+B+C=1=A 1+BC ;1+B+C=1=A+BC ;A 1=1=A+B

14、C ;A 1=1=左边左边交换律交换律:A+B=B+AA+B=B+A AB=BAAB=BA结合律结合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC)ABC=(AB)C=A(BC)1.3.2 若干常用公式若干常用公式1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗冗余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长

15、中含短，长中含短，留下短。留下短。2.反变量的吸收：反变量的吸收：证明：证明：例如：例如：被吸收被吸收长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：证明：证明：例如：例如：1吸收吸收正负相对，正负相对，余全完。余全完。例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：1.4 1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 1.4.1 代入定理代入定理代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。反演定理内容：反演定理内容：将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 +变

16、量与常数均取反变量与常数均取反（求反运算）（求反运算）互补运算互补运算1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：(变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变)1.4.2 反演定理反演定理例例1：与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号例例2：与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1

17、”，“1”换成“0”，而变变变变量量量量保保保保持持持持不不不不变变变变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：注意注意注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。1.4.3 对偶定理对偶定理1.5 1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.5.1 1.5.1 逻辑函数逻辑函数四四种种表表示示方方法法逻辑代数式逻辑代数式 (逻辑表示式逻

18、辑表示式,逻辑函数式逻辑函数式)11&1ABY 逻辑电路图逻辑电路图:卡诺图卡诺图n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。一一对应列出的表格。将输入、输出的所有可能状态一一对应地列将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。出。n个变量可以有个变量可以有2n个输入状态。个输入状态。1.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法一一 .逻辑真值表逻辑真值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二进制的顺序，般按二进制的顺序，输出与输入

19、状态一输出与输入状态一一对应，列出所有一对应，列出所有可能的状态。可能的状态。例如：例如：二二.逻辑函数式逻辑函数式逻辑代数式：逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，式。也称为逻辑函数式，通常采用通常采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：下面介绍两个重要概念下面介绍两个重要概念最小项和逻辑相邻最小项和逻辑相邻。三、各种表示方法之间的转换三、各种表示方法之间的转换1 1、由真值表求逻辑表达式、由真值表求逻辑表达式（1）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；（2）若输入变量为1，则写成

20、原变量，若输入变量为0，则写成反变量；（3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；（4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。例：试设计一个三人表决器2 2、由逻辑表达式列出真值表、由逻辑表达式列出真值表按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。3 3、由逻辑函数式求逻辑电路、由逻辑函数式求逻辑电路（1）画出所有的逻辑变量；（2）用“非门”对变量中有“非”的变量取“非”；（3）用“与门”对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；（4）用“或门”对有关的乘积项，实现逻辑加；&1&CAAABBBCCZBABY=A B+ABA BA1&AB&1

21、14 4、由逻辑图求逻辑表达式、由逻辑图求逻辑表达式由输入到输出，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。一、最小项和最大项一、最小项和最大项 1.最小项1）定义：若n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。例：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为不是最小项的与项：AB，AC，A(B+C)，2）最小项的编号：把使该最小项为1的取值组合视作二进制数，则相应的十进制数作为最小项的编号。用(m)(N)10表示。1.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式3）性质：n变量的函数，最多可构

22、成2n个最小项；对于任意一个最小项，只有一组变量取值组合使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值均为0；不同的最小项，使它为1的变量取值组合不同；任意两个最小项mi和mj(ij)的乘积必为零，即mimj=0；对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1，即：n变量的每一个最小项，都有n个相邻的最小项。当两个最小项中只有一个变量不同，且这个变量分别为同一变量的原变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。1）定义：若n个变量组成的或项中，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称该“或项”为n个变量的最大项。例：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最大项为不是最大项的或

23、项：A+B，A+C，A(B+C)，2）最大项的编号：把使该最大项为0的取值组合视作二进制数，则相应的十进制数作为最大项的编号。用(M)(N)10表示。2.最大项3）性质：n变量的函数，最多可构成2n个最大项；对于任意一个最大项，只有一组变量取值组合使得它的值为0，而在变量取其他各组值时，这个最大项的值均为1；不同的最大项，使它为0的变量取值组合不同；任意两个最大项Mi和Mj(ij)的和必为1，即Mi+Mj=1；对于变量的任意一组取值，全体最大项之积为0，即：n变量的每一个最大项，都有n个相邻的最大项。当两个最大项中只有一个变量不同，且这个变量分别为同一变量的原变量和反变量时，称这两个最大项为相

24、邻的最大项。即下标相同的最小项和最大项互为反函数例：真值表中，某一个最小项的1的个数最少，只有1个。而某一个最大项的1的个数最多，只有1个0。因此，前者称为最小项，后者称为最大项。3.最小项和最大项之间的关系 1.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。简单的形式对应简的电路，繁琐的形式对应复杂的简单的形式对应简的电路，繁琐的形式对应复杂的电路，我们希望将表达式写得尽量简单。电路，我们希望将表达式写得尽量简单。1.6.1 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式最简或非-或非式 最简或与非式 最简与非-与非1

25、.6.2 常用的化简方法一.并顶法 利用公式将两项合并为一项，并消去一个变量二 吸收法利用公式A+AB=A和公式消去多余项 三 配项法利用公式和公式A+A=A配上所能合并的项例1.4 化简函数 解：、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消去。例：化简函数解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.7.1 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法一.卡诺图的构成 将逻辑函数真值表中的最小项的逻辑变量的取值按照循环码的顺序排列的小方块图就是卡诺图。二.逻辑函数在卡诺图上的表示 逻辑函数中存在的

26、最小项在卡诺图的方格内填入1，其余的方格内填入0，即得到该函数的卡诺图。卡诺图的特点 1 几何相邻。（相接、相对、相重）2 逻辑相邻。（两个最小项，除一个变量不同，其余都相同的两个最小项可合并）CDAB00 01 11 10 00 01 11 10 四变量卡诺图示例四变量卡诺图示例 CD00011110000111100 000000011111111AB例如：例如：1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数一.合并最小项的规则（1）两个相邻项合并举例CAB000111100111CAB000111100111C11(a)F=(b)F=(c)F=ABAB0001111001（2）四个

27、相邻项合并举例（3）八个最小项合并举例111CDAB00011110000111101111111CDAB0001111000011110111111(a)F=(b)F=(c)F=AB+0011110111100001111011111111CDAB00011110000111101111CDAB11111111CDAB00011110000111101111111我们将卡诺图化简法的步骤归纳如下：（1）画出n个给定变量的卡诺图（2）对出现的最小项在相应位置上写1（3）将相邻“1”的方框按2、4、8项画圈，所有的“1”格至少圈一次，圈越大越好（4）将所有的包围圈对应的乘积项相加即为所求二二 卡

28、诺图化简法的步骤卡诺图化简法的步骤例1：化简函数 1AB00011110000111101111111CD1110001111000011110111111CD1AB1100011110000111101111111CDAB000111100001111011111111CD1AB例2：化简函数本例说明同一函数可能有多个最简表达式。10001111000011110111CDAB11110001111000011110111CDAB11111两种结果繁简程度一样1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简任意项任意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量

29、取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。1.8.1 1.8.1 约束项约束项.任意项和逻辑函数式中的无关项任意项和逻辑函数式中的无关项例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 0 0 01 0 0 0 0 Y A B C DY A B C D输入变量A，B，C，D取值为00001001时

30、，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“”、“”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：1.8.2 无关项在化简逻辑函数中的应用 函数中可以随意取值或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项或无关项。在真值表和卡诺图中，约束项用符号“”表示。在逻辑表达式中，用字母d表示约束项，由约束项加起来所构成的值为0的逻辑表达式，叫做约束条件。例1：1 X X X 1 0 0 1 0 1 0 0 1 X X XABCD00 01 11 1000 01 1110例2：化简函数从图可见：利用约束项化简可使表达式更简单AB00011110000111101111CD110001111000011110111CD1AB 不利用约束项利用约束项 本章小结1、与、或、非是三种基本逻辑关系，是三种基本逻辑运算，与非、或非、与或非、异或则是由三种基本逻辑运算复合而成的四种逻辑运算。2、逻辑代数的公式和定理是变换和化简逻辑函数的依据。3、逻辑函数的公式化简法和图形化简法应该熟练掌握。