数学本质概念机率.ppt

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1、數學本質概念-機率 欣雁、婉貞 數學結構 認知結構 迷思概念 教學策略 教材分析 貳、行為異常的分類 1.古典機率（或稱理論機率）-將機率的概念以將機率的概念以“相同的可能性相同的可能性”來解來解釋釋 做任何一個隨機試驗，共有n種互斥的且出現可能性相同的結果，其中滿足性質A的有n種，則事件A發生的機率為p（A）n/N 數學結構 機率的定義 經經驗驗機機率率（Empirical Empirical probabilityprobability）（或或稱稱次數機率）次數機率）-以以在在多多次次重重覆覆實實驗驗後後，一一事事件件出出現現的的頻頻率率來來表表示示機機率率，此此即即統統計計的的定定義義，

2、或或客客觀觀的的解解釋。釋。一隨機實驗重複試行n次，則事件A發生的機率為該實驗在長期試驗中事件A所出現的次數f與實驗總次數的比。也就是P（A）f/n數學結構 機率的定義 主觀或直覺機率（主觀或直覺機率（Subjective and Subjective and Intuitive probabilityIntuitive probability）-以觀察者對一事件的相信程度來定義機率，以觀察者對一事件的相信程度來定義機率，此即主觀的觀點。此即主觀的觀點。例如:明天會下雨的機率是80 某公司的行銷經理預測新產品上市的成功機率 是0.7 機率的定義數學結構 兒童概念發展-PiagetPiaget理

3、論理論 1.1.七歲以前的兒童是屬於運思前期，尚無法七歲以前的兒童是屬於運思前期，尚無法區分事件之必然性和可能性。區分事件之必然性和可能性。*假如事件A和B，像事件A出現的次數較多，下一 次兒童將預測B，其理由是“B常被跳過”。*從袋中抽一個白球，放回去再抽第二球時，兒童 會覺得不一樣，其理由是因為白球已被抽過了，第二次應會抽到其它的球，因此兒童沒有隨機的 概念。認知結構*Piaget亦注意到某些兒童常以所觀察的事件多量 作為預測判斷而完全忽略了群體的比值。例如:一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個箱 子有六個黑球和二個白球，當問他們從每個箱子各拿出一個球時是否拿到一個黑球的機會一樣，兒童經常

4、會說人有六個黑球的箱子拿到黑球的機會較在，因為它有六個黑球。*此時期的兒童不具有集合包含關係，因此亦無法 將一事件看做所有可能發生事件的一部份。認知結構 2.2.七七到到十十四四歲歲的的兒兒童童是是屬屬於於具具體體運運思思期期，已已能能 認認清清事事件件之之必必然然性性和和可可能能性性，但但尚尚無無法法以以有有系系統的方式去產生一個有系列性的機率概念。統的方式去產生一個有系列性的機率概念。3.3.十十四四歲歲以以上上的的兒兒童童屬屬於於形形式式運運思思期期，開開始始發發展展他他們們的的組組合合分分析析的的才才能能，並並且且瞭瞭解解相相對對次次數數的極限（大數法則）機率。的極限（大數法則）機率。

5、*大部份十六歲的學生尚未發展到形式操作期階段。更而發現學生對樹枝圖和乘法原則均不甚瞭解 認知結構學生的迷思概念 1.如果一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個 箱子有六個黑球和二個白球，當問他們從每個箱子各拿出一個球時，是否拿到一個黑球的機會一樣，學生經常會說：有六個黑球的箱子拿到黑球的機會較大，因為它有六個黑球。2.如果我們從袋中抽一個白球後，再放回去抽第二球時，學生會覺得不一樣，因為白球已經被抽過了，所以學生認為第二次應該會抽到其它的球，因學生沒有隨機的概念。3.學生對機率的一般語言觀念模糊。例如：月亮從東邊升起的可能性是多少？大部分的學生都會回答可能會。（月亮一定會從東邊升起）4.賈媽媽生

6、二個女兒，那賈媽媽第三個還是 生女兒的可能性為何？大部分的會覺得生女兒的機會會較大。少部分的認為生兒子的機會會較大。（其實生男生女的機會都一樣）學生的迷思概念 教學策略1.1.以質問代替講述，引導學生釐清概念以質問代替講述，引導學生釐清概念 *當學生忽略了每一次硬幣投擲都是獨立事 件時，教師可藉由反問學生硬幣有記憶力嗎？它會記得前次試驗的正反面情形而影響到下一次的正反面嗎？學生經此一問，會發現硬幣沒有記憶性，前次試驗和後次試驗是獨立事件不可能互相影響的。藉由質問的過程刺激學生對機率問題做更深入的思考和辨證，並能獨立去找出答案。2.2.透過合作學習之教學活動，協助學生去透過合作學習之教學活動，協

7、助學生去檢驗自己的機率基本信念檢驗自己的機率基本信念 教師可先安排一個教學活動，在活動之初先讓學生各自說出自己對結果的預測，並與其他學童做比較，並要求學童檢驗自己的內在信念變化，並觀察自己的信念和實際結果有無一致。在這樣的層層檢驗之下，學童較易發現自己先前不當的迷思概念並加以破除。教學策略3.3.於課堂中藉助機率遊戲學習於課堂中藉助機率遊戲學習 老師可以藉由猜拳、擲骰子和抽球等常見的遊戲，讓學生去評估這些遊戲規則的公平性，進而去預測遊戲之輸、贏可能的情況，如此這樣的遊戲活動便隱含了機率的概念，並能收寓教於樂之效果。教學策略 依據八十二年度國小課程標準，兒童從遊戲中瞭解機率的初步概念，且注解機率

8、的初步概念包含如下：（1）部分與全體的關係（2）大數法則，也就是大量的試驗結果，趨近於某一數。例：世界人口，男女人數趨於平衡，各約 占總人口為數的1/2。教材分析教材分析教材分析教材地位本單元 觀察事件發生的可能性 機率的初步概念 大數法則的體驗第九冊 認識平均數及其算法 認識眾數及其算法第十冊 了解平均數與個 數總量間的關係 認識加權平均數 的意義及其求法 本冊 比的意義 比值的意義 比的相等 第十二冊 報讀圓形圖 長條百分圖 繪製圓形圖 長條百分圖一.百分法：以某數量為標準，求另一個同種類的數量是它的百分之多少的方法。二.百分率：一用百分法求出的百分之多少叫百分率，百分率也稱為百分比或百分

9、數。二任何數把它化成分母是100的分數。三部分量除以全部量的值乘以100%。百分率的基本介紹 四把基準量設定為100，部分佔全部的百分 之幾。五表示兩個或兩個以上同類數量的比值。三.百分號：用來表示百分率的符號【%】稱做百分號。百分率的基本介紹一、小數變百分率：把小數點向右移二位，再補上【】例：0.3636 0.45745.7 二、百分率變小數：先將【】去掉，再把小數點向左移二位。例：980.98 56.40.564 變形百分率三、分數變百分率：1.把分母化成100，用百分率【】來表示。例：0.0660 2.分子除以分母，得到小數後再變成百分率。例：580.62562.5 12 2342.75

10、275 22 11/42.75275 變形百分率 四、百分率變分數：將 20化成最簡分數。例：20 1/5 五、折扣數變百分率：1八折是指80%九折是指90%.依此類推。2七五折是指75%五五折是指55%.依此類推。變形百分率一、求百分率一、求百分率 部分量部分量 全部量百分率全部量百分率 部分量部分量 部分量百分率部分量百分率 例:100元分給甲乙二人，甲得80元，請問 乙所得是佔甲的百分之幾？【答】乙所得甲所得 （10080）80 2080 0.25 25 答：25 計算百分率二、求部分量二、求部分量 全部量全部量 百分率部分量百分率部分量 1.數學試題50題，某生做錯12，請問共答錯幾題

11、？【答】50題126題 答：6題 2.合作社進貨3600元，售出後賺得15，請問賺了 多少錢？【答】3600元15540元 答：540元 計算百分率三、求全部量三、求全部量 部分量部分量 百分率全部量百分率全部量 1.橘子一簍，爛掉30個，恰巧佔良好的5,問簍裡共有橘子多少個？【答】全部的橘子爛掉的橘子良好的橘子 爛掉的橘子良好的橘子5 良好的橘子爛掉的橘子5 305300.05600 30600630 答：630個 計算百分率 開始上課 和機率的第一次親密接觸1大家動動手來擲錢幣:請每個人都擲10次並紀錄正反 面發生的次數，最後請小組把每個人的結果加總小組討論看看 你們發現了什麼?1小明在商店抽遊戲王卡，有2種不同的抽獎盒，甲盒中有10張藍籤和6張紅籤，乙盒中有5張藍籤和3張紅籤。小明說他要抽甲盒，因為6張紅籤比3張紅籤多。你覺得小明說的對不對？對 不對 為什麼?_針對此次報告希望大家都有收穫喔.謝謝大家！