高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书理苏教.doc

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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何何 9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 2 2 课时范围最值问题教师用课时范围最值问题教师用书理苏教书理苏教题型一 范围问题例 1 (2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为 F(c,0)，离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2y2截得的线段的长为 c，FM.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围解 (1)由已知，有，又

2、由 a2b2c2，可得 a23c2，b22c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0)，F(c,0)，则直线 FM 的方程为yk(xc)由已知，有 222，解得 k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线 FM 的方程为 y(xc)，两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5c20，解得 xc 或xc.因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为.由 FM .解得 c1，所以椭圆的方程为1.2 / 13(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t，即直线 FP 的方程为 yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去 y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得 t ，解得x

3、1 或1x0.设直线 OP 的斜率为 m，得 m，即 ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得 m2.当 x时，有 yt(x1)0，因此 m0，于是 m ，得 m.当 x(1,0)时，有 yt(x1)0，因此 m0，于是 m ，得 m.综上，直线 OP 的斜率的取值范围是.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围

4、(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2016扬州模拟)如图，已知椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一点，点 M 在 PF1 上，且满足 (R)，3 / 13POF2M，O 为坐标原点(1)若椭圆的方程为1，且点 P 的坐标为(2，)，求点 M 的横坐标；(2)若 2，求椭圆离心率 e 的取值范围解 (1)因为椭圆的方程为1，所以点 F1 的坐标为(2,0)，点 F2 的坐标为(2,0)，所以 kOP， 2F Mk 1F Mk所以直线 F2M 的方程为 y(x2)，直线 F1M 的方程为 y(x2)联立 解得 x，

5、所以点 M 的横坐标为.(2)设点 P 的坐标为(x0，y0)，点 M 的坐标为(xM，yM)，因为2，所以(x0c，y0)(xMc，yM)，所以点 M 的坐标为(x0c，y0)，(x0c，y0)F2M因为 POF2M，(x0，y0)，所以(x0c)x0y0，即 xy2cx0.联立Error!消去 y0，得 c2x2a2cx0a2(a2c2)0，解得 x0或 x0.因为a.又椭圆离心率 e(0,1)，故椭圆离心率 e 的取值范围为(，1)4 / 13题型二 最值问题命题点 1 利用三角函数有界性求最值例 2 (2016徐州模拟)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点

6、 O 是坐标原点，则 AFBF 的最小值是_.答案 4解析 设直线 AB 的倾斜角为 ，可得 AF，BF，则AFBF4.命题点 2 数形结合利用几何性质求最值例 3 (2015江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_答案 22解析 双曲线 x2y21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两平行线的距离 d.由点 P 到直线xy10 的距离大于 c 恒成立，得 c，故 c 的最大值为.命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例 4 (2016山东)

7、已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4，焦距为 2.(1)求椭圆 C 的方程(2)过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B.设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k，证明为定值；求直线 AB 的斜率的最小值(1)解 设椭圆的半焦距为 c.5 / 13由题意知 2a4,2c2.所以 a2，b.所以椭圆 C 的方程为1.(2)证明 设 P(x0，y0)(x00，y00)由 M(0，m)，可得 P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线 PM

8、 的斜率 k.直线 QM 的斜率 k.此时3.所以为定值3.解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由知直线 PA 的方程为 ykxm，则直线 QB 的方程为 y3kxm.联立Error!整理得(2k21)x24mkx2m240，由 x0x1，可得 x1，所以 y1kx1mm.同理 x2，y2m.所以 x2x12m22 2k21x0，y2y1mm，所以 kAB，由 m0，x00，可知 k0，所以 6k2，当且仅当 k时取“” 因为 P(x0,2m)在椭圆1 上，所以 x0，故此时，6 / 13即 m，符合题意所以直线 AB 的斜率的最小值为.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中

9、的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解(2017扬州预测)已知圆(xa)2(y1r)2r2(r0)过点 F(0,1)，圆心 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设 P 为直线 l：xy20 上的点，过点 P 作曲线 C 的两条切线PA，PB，当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求 AFB

10、F 的最小值解 (1)依题意，由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x24y.(2)抛物线 C 的方程为 x24y，即 yx2，求导得 yx.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中 y1，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1，x2，所以切线 PA 的方程为 yy1(xx1)，即 yxy1，即 x1x2y2y10.同理可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y20.因为切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)，所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x2y02y0 的两组解7 / 13所以直线 AB 的方程为 x0x2

11、y2y00.(3)由抛物线定义可知 AFy11，BFy21，所以 AFBF(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去 x 整理得 y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得 y1y2x2y0，y1y2y，所以 AFBFy1y2(y1y2)1yx2y01.又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0y02，所以 yx2y012y2y052(y0)2，所以当 y0时，AFBF 取得最小值，且最小值为.1(2016昆明两区七校调研)过抛物线 y2x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角 ，点 A 在 x 轴上方，则 FA 的取值范围是

12、_答案 (，1解析 记点 A 的横坐标是 x1，则有 AFx11 4(AFcos )AFcos ，AF(1cos )，AF.由0，b0)的左，右焦点，对于8 / 13左支上任意一点 P 都有 PF8aPF1(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是_答案 (1,3解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得 PF22aPF1，所以PF14a8a，所以PF12a，PF24a，在PF1F2 中，PF1PF2F1F2，即 2a4a2c，所以 e3.又 e1，所以 10，得 m22，1，即 e，而 03，故填 3.7已知椭圆 C1：1(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1

13、 的焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设点 P 在抛物线 C2：yx2h(hR)上，C2 在点 P 处的切线与10 / 13C1 交于 M，N 两点当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值解 (1)由题意，得从而Error!因此，所求的椭圆 C1 的方程为x21.(2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y.直线 MN 的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆 C1 的方程中，得 4x2(2txt2h)240，即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线

14、 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以式中的 116t42(h2)t2h240.设线段 MN 的中点的横坐标是 x3，则 x3.设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4.由题意，得 x3x4，即 t2(1h)t10.由式中的 2(1h)240，得 h1 或 h3.当 h3 时，h2b0)的离心率 e，左顶点为 A(4,0)，过点 A 作11 / 13斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理

15、由(3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求的最小值解 (1)因为左顶点为 A(4,0)，所以 a4，又 e，所以 c2.又因为 b2a2c212，所以椭圆 C 的标准方程为1.(2)直线 l 的方程为 yk(x4)，联立得1，化简，得(x4)(4k23)x16k2120，所以 x14，x2.当 x时，yk(4)，所以点 D 的坐标为(，)因为 P 为 AD 的中点，所以点 P 的坐标为(，)，则 kOP(k0)直线 l 的方程为 yk(x4)，令 x0，得点 E 的坐标为(0,4k)假设存在定点 Q(m，n)(m0)，使得 OPEQ，则 kOPkEQ1，即1，所以(4m1

16、2)k3n0，所以 解得Error!因此定点 Q 的坐标为(3,0)(3)因为 OMl，所以 OM 的方程可设为 ykx，联立得点 M 的横坐标为 x.12 / 13由 OMl，得xD2xA |xM|4k294k23()2，当且仅当，即 k时取等号所以当 k时，取得最小值为 2.9如图，O 为坐标原点，椭圆 C1：1(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：1 的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2，且 F2F41.(1)求 C1，C2 的方程；(2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM与 C2

17、 交于 P，Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值解 (1)因为 e1e2，所以 ，即 a4b4a4，因此 a22b2，从而 F2(b,0)，F4(b,0)，于是 bbF2F41，所以b1，a22.故 C1，C2 的方程分别为y21，y21.(2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1,0)，故可设直线 AB 的方程为 xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是上述方程的两个实根，所以 y1y2，y1y2.因此 x1x2m(y1y2)2，于是 AB 的中点为 M(，)，13 / 13故直线 PQ 的斜率为，PQ 的方程为 yx，即 mx2y0.由得(2m2)x24，所以 2m20，且 x2，y2，从而 PQ22 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d，则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d，所以 2d.因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而 2d.又因为|y1y2|y1y224y1y2，所以 2d.故四边形 APBQ 的面积 SPQ2d2.而 02m22，故当 m0 时，S 取得最小值 2.综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2.