机械运动的守恒定律.ppt

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1、回顾回顾力对时间的累积效应力对时间的累积效应力对时间的累积效应力对时间的累积效应动量定理动量定理分量形式分量形式动量守恒动量守恒也就是也就是力、力矩对时间和空间的累积效应力、力矩对时间和空间的累积效应力的空间累积效应力的空间累积效应功功改变能量改变能量 牛顿第二定律是瞬时的规律。牛顿第二定律是瞬时的规律。力的时间累积效应：力的时间累积效应：平动平动冲量冲量改变动量改变动量转动转动冲量矩冲量矩改变角动量改变角动量 但在有些问题中，但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心观）我们往往只关心 过程中过程中 力的力的 效果。效果。力矩的时间累积效应力矩的时

2、间累积效应定义定义（1）质点对定点）质点对定点o 的角动量的角动量方向：垂直于方向：垂直于 组成的平面组成的平面SI大小：大小：量纲量纲：思路思路:与处理动量定理与处理动量定理 问题相同问题相同也即也即 J.s3.7 质点的角动量和角动量守恒质点的角动量和角动量守恒1、质点的角动量质点的角动量t 时刻，质点具有平动动量时刻，质点具有平动动量定义定义为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩(2)力对定点的力矩力对定点的力矩大小：大小：方向：垂直于方向：垂直于 组成的平面组成的平面量纲量纲：质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量 质量为质量为

3、的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩冲量矩-角动量角动量 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量冲量-动量动量-动量定理动量定理 2、质点的角动量定理质点的角动量定理学过：学过：作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的的力矩力矩，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应为为冲量矩冲量矩 质点的角动量

4、定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O，质质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.注意注意注意注意注意注意角动量与动量是两个不同的物理量，角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向。方向。例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为一质量为 m 的的小球穿在圆环上小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的小球开始时静止于圆环上的点点 A(该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上)

5、,然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小设小球与圆环间的摩擦略去不计球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量的角动量和角速度和角速度.解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用,支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理B考虑到考虑到得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对的合力矩为零时，质点对该参考点该参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量.3 3 3 3 3 3、质点的角动量守恒定律、质点的角动量

6、守恒定律、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律由角动量定理由角动量定理 恒矢量恒矢量 对对于于不不同同的的参参考考点点，力力矩矩和和角角动动量量都都可可能能不不同同，因因此此，角角动动量量是是否否守守恒恒，不不仅仅与与质质点点受受力力情情况况有有关关，而而且且与参考点的选择有关。与参考点的选择有关。例例3.13 图图3-28所所示示，质质点点m作作圆圆锥锥摆摆动动，设设质质点点的的速速率率v、圆圆半半径径R及及锥锥角角为为已已知知（容容易易证证明明v、R和和中中只只有有两两个个是是独独立立参参量量，为为书书写写方方便便，视视为为已已知知量量）。

7、（1）以以圆圆心心O为为参参考考点点，试试求求张张力力力力矩矩、重重力力力力矩矩、合合力力力力矩矩和和质质点点角角动动量量；（2）以以悬悬挂挂点点A为为参参考考点点，试试求求张张力力力力矩矩、重重力力力力矩矩、合合力力力力矩矩和和质质点点角动量；（角动量；（3）对圆心）对圆心O和悬挂点和悬挂点A，质点角动量是否守恒？质点角动量是否守恒？解解（1）根据（）根据（3-44）式，张力）式，张力FT对圆心对圆心O的力矩为的力矩为 M1=RFT根根据据矢矢量量叉叉积积的的定定义义，M1的的方方向向与与图图中中v方方向向相相反反，M1的的大大小小为为M1=RFTsin（+）=RFTcos。重力对圆心重力对

8、圆心O的力矩为的力矩为 M2=Rmg由于由于FT=，则则M1=mgR。其方向与图中其方向与图中v的方向相同，的方向相同，其大小其大小 M2=Rmgsin =mgR。对对O点的合力矩为点的合力矩为 M0=M1+M2=0根据质点角动量定义，质点根据质点角动量定义，质点 m对圆心对圆心O的角动量为的角动量为 L0=Rmv其方向竖直向上，大小为其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin =Rmv。（2）张力对悬挂点）张力对悬挂点A的力矩为的力矩为 M3=rFT=0重力对重力对A点的力矩为点的力矩为 M4=rmg其方向与其方向与v相同，相同，大小为大小为M4=rmgsin=Rmg。对对A点的合力矩为点的合

9、力矩为 M=M3+M4其方向与其方向与v相同，大小为相同，大小为M=Rmg。质点质点m对悬点对悬点A的角动量为的角动量为 L=rmv其方向如图，大小为其方向如图，大小为LA=r m v sin =。（3）对对圆圆心心O的的合合力力矩矩M0=0，因因此此质质点点对对O点点的的角角动动量量守守恒，即其大小、方向都不变。恒，即其大小、方向都不变。对对悬悬点点A的的合合力力矩矩MA0，因因此此质质点点对对A点点的的角角动动量量不不守守恒恒。计计算算结结果果表表明明，运运动动过过程程中中质质点点对对悬悬挂挂点点A的的角角动动量量大大小小不不变变，但方向不断变化。但方向不断变化。1）角动量守恒定律的条件角

10、动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律是相互独立的定律 3）有心力有心力 力始终过某一点力始终过某一点 central force如：行星在速度和有心力所组成的平面内运动如：行星在速度和有心力所组成的平面内运动角动量守恒角动量守恒如行星运动如行星运动动量不守恒动量不守恒角动量守恒角动量守恒讨论讨论开普勒第二定律开普勒第二定律掠面速度掠面速度角动量守恒就是掠面速度相等角动量守恒就是掠面速度相等常矢量常矢量m 例例 如图所示，用轻绳系一质量为如图所示，用轻绳系一质量为m的小球，使之在光滑水的小球，使之在光滑水平面上作圆周运动。开始时半径为平面上作圆周运动。

11、开始时半径为r0，速率为，速率为v0。绳的另一。绳的另一端穿过平面上的光滑小孔，现用力端穿过平面上的光滑小孔，现用力T向下拉绳，使小球运动向下拉绳，使小球运动半径减小。试求半径减小。试求(1)当运动半径缩小至当运动半径缩小至r时，小球的速率时，小球的速率v？(2)若以速度若以速度u匀速向下拉绳，求匀速向下拉绳，求(t)和和T(t)。解解解解(1)(1)拉绳过程中，小球受到重力和拉绳过程中，小球受到重力和支持力是平衡力，而绳子的拉力总支持力是平衡力，而绳子的拉力总指向圆心，对圆心的力矩为零，因指向圆心，对圆心的力矩为零，因此小球所受的合外力对圆心的力矩此小球所受的合外力对圆心的力矩为零，对圆心的

12、动量矩守恒。为零，对圆心的动量矩守恒。所以所以(2)(2)由由 ，有，有根据题意知根据题意知故由式故由式(1)(1)、(2)(2)可得可得由于小球受到绳子的拉力提供向心力，根据由于小球受到绳子的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律，并联立式牛顿第二定律，并联立式(2)(2)和和(3)(3)，有，有例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？点上，系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？近近日日点点远远日日点点解：在彗星绕太阳轨道解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有运转过

13、程中，只受万有引力作用，万有引力不引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量产生力矩，系统角动量守恒。守恒。由质点的角动量定义：由质点的角动量定义：即即即即近近日日点点远远日日点点近日点近日点 r 小小 v 大，远日点大，远日点 r 大大 v 小，小，这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时，动能转换成势能。动能转换成势能。3.8 对称性与守恒定律对称性与守恒定律 一、对称性一、对称性一、对称性一、对称性一、对称性一、对

14、称性 把所讨论的对象，称为系统。同一系统可以处于不同的状把所讨论的对象，称为系统。同一系统可以处于不同的状态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称给系统一个给系统一个“操作操作”。如如果果一一个个操操作作使使系系统统从从一一个个状状态态变变到到另另一一个个与与之之等等价价的的状状态态，或或者者说说，状状态态在在此此操操作作下下不不变变，我我们们就就说说该该系系统统对对这这一一操操作作是是对对称称的的，而而这这个个操操作作就就称称为为该该

15、系系统统的的一一个个对对称称操操作作。由由于于变变换换或或操操作作方方式式的的不不同同，可可以以有有各各种种不不同同的的对对称称性性。例例如如平平移移、转转动动、镜镜像像反反射射、时时空空坐坐标标的的改改变变、尺尺度度的的放放大大缩缩小小都都可可视视为为操作。操作。二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性1.1.时间平移对称性与能量守恒定律时间平移对称性与能量守恒定律 dE dE（t t+d+dt t）=d=dE E（t t）在在物物理理学学中中，我我们们始始终终承承认认和和应应用用着着一一个个假假定定，即即时时间

16、间具具有有均均匀匀性性。时时间间均均匀匀性性也也叫叫时时间间平平移移对对称称性性，它它意意味味着着当当应应用用物物理理定定律律时时，任任意意时时刻刻都都可可被被选选作作时时间间坐坐标标轴轴的的原原点点，即即在在时时间间平平移移变变换换tt+t下下，物物理理定定律律保保持持不不变变。与与时时间间平平移移对称性对应的是能量守恒定律。对称性对应的是能量守恒定律。上上式式表表明明，孤孤立立系系统统总总能能量量保保持持不不变变。如如果果时时间间平平移移不不是是微微小小量量t，而而是是一一个个较较大大量量t，将将t看看成成是是若若干干个个微微小小量量t之之和和，用用上上述述方方法法进进行行若若干干次次变变

17、换换，可可得得到到同同样样的的结结果果。这这样样就就从从时时间间均匀性导出了能量守恒定律。均匀性导出了能量守恒定律。2.2.空间平移对称性与动量守恒定律空间平移对称性与动量守恒定律 两两质质点点系系统统总总动动量量守守恒恒，对对于于 n n 个个质质点点组组成成的的系系统统也也同同样可得到这个结果。这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律样可得到这个结果。这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律 在平直空间的条件下，我们始终承认和应用着一个假定，在平直空间的条件下，我们始终承认和应用着一个假定，即空间的均匀性。空间的均匀性意味着，应用物理规律时，即空间的均匀性。空间的均匀性意味着，应用物理规律时，移动

18、坐标原点，物理规律的形式不会改变。空间均匀性也称移动坐标原点，物理规律的形式不会改变。空间均匀性也称作空间平移对称性。也就是说，物理规律对于空间平移变换作空间平移对称性。也就是说，物理规律对于空间平移变换具有对称性。与空间平移对称性对应的是动量守恒定律。具有对称性。与空间平移对称性对应的是动量守恒定律。3.3.空间旋转对称性与角动量守恒定律空间旋转对称性与角动量守恒定律 故故质质点点m m对对原原点点o o 角角动动量量守守恒恒。这这样样就就从从空空间间各各向向同性导出了质点的角动量守恒定律。同性导出了质点的角动量守恒定律。空间各向同性可理解为在平直空间中任何方向发生的物空间各向同性可理解为在

19、平直空间中任何方向发生的物理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向不同而改变。空间各向同性也叫做空间旋转对称性。与空间不同而改变。空间各向同性也叫做空间旋转对称性。与空间旋转对称性相对应的守恒定律是角动量守恒定律。旋转对称性相对应的守恒定律是角动量守恒定律。4.4.对称性是基本规律之上更高层次的法则对称性是基本规律之上更高层次的法则 物理学中的各种定律的层次，适用于物理学的某个领域物理学中的各种定律的层次，适用于物理学的某个领域胡克定律、电学中的欧姆定律等，都是经验性的胡克定律、电学中的欧姆定律等，都是经验性的牛顿定律统帅整个经典力学牛顿定律统帅整个经典力学麦克斯韦方程组统帅整个电磁学麦克斯韦方程组统帅整个电磁学 对称性原理是跨越物理学各个领域的普遍法则，对称性原理是跨越物理学各个领域的普遍法则，是各领域的基本规律之上更高层次的法则。是各领域的基本规律之上更高层次的法则。