材料力学(赵振伟)弯曲内力.ppt

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1、5-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图第五章第五章 梁的内力梁的内力5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例5-2 5-2 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）5-3 5-3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、弯曲实例一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁：5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例FF火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁：二、弯曲的概念：二、弯曲的概念：受

2、力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条变为一条曲线曲线。主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆-梁梁。对称弯曲受力特点受力特点所受外力对称于梁的纵对称面。所受外力对称于梁的纵对称面。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。纵向对称面纵向对称面MF1F2q三、对称弯曲的概念：三、对称弯曲的概念：5-2 5-2 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式）M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力1 1、悬臂梁：、悬

3、臂梁：2 2、简支梁：、简支梁：3 3、外伸梁：、外伸梁：集中力集中力Fq 均布力均布力LLLL（L称为梁的跨长）称为梁的跨长）一、弯曲内力的确定（截面法）：一、弯曲内力的确定（截面法）：例例已知：如图，已知：如图，F，a，l。求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：解：求外力（支座反力）求外力（支座反力）FAX=0 以后可省略不求以后可省略不求5-3 5-3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程ABFFAYFAXFBYmmx求内力求内力FsMFAYAC研究对象：研究对象：m-m 截面的左段：截面的左段：1.剪力：剪力：Fs 构件受弯时，横截面

4、上存在平构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。行于截面的内力（剪力）。2.弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上存在的内力偶矩（弯矩）。存在的内力偶矩（弯矩）。ABFFAYFAXFBYmmxMFsFBYFC若研究对象取若研究对象取m-m 截面的右段：截面的右段：二、弯曲内力的正负号规定二、弯曲内力的正负号规定:剪力剪力Fs:弯矩弯矩M：Fs(+)Fs(+)Fs()Fs()M(+)M(+)M()M()1.2kN/m0.8kNAB1.5m 1.5m3m2m1.5m1122 例例：梁梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。解解：（：（1）确定支座反力）确

5、定支座反力RARB(2)1(2)1-1-1截面左段右侧截面截面左段右侧截面：2 2-2-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：RA三、剪力方程、弯矩方程三、剪力方程、弯矩方程：注意注意：不能用一个函数表不能用一个函数表达的要分段，分段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。力的起点、终点。剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力

6、剪力图图和和弯矩图弯矩图。LqAB(-)F(x)xF解解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值绘在绘在x x轴的下方轴的下方(即弯矩值绘即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧)。例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的分布荷载作用。试作梁的剪力图的分布荷载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)F

7、S(x)xAqBlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和弯矩图和弯矩图。解：解：1、求支反力求支反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BFBFAxlAF abCAC段段CB段段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAF abC3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图FS FblxFalMxFablBFBFAxlAF

8、abCFS FblxFblMxFabl*在 集中力F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折xlAF abC例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。解解:1、求支反力、求支反力Me FA FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC段：段：CB段：段：FA FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ba时时发生在发生在C截面右侧截面右侧F

9、slxMe lMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY 例例 画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN2kN.m2kN.mM(x)例 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力。F FAyAyF FByBy1 12 2 3 32）1-1截面内力：截面内力：(0 x(0 x1 1 a)a)3）2-2截面内力：截面内力：(ax(ax2 22a)2a)解：解：1）求得求得A、

10、B处反力处反力FAY,FBY；4）3-3截面内力：截面内力：(0 x(0 x3 3 a a，此处，此处x x3 3的的起点为起点为B B点，方向如图点，方向如图)剪力图剪力图:1.1.当：当：0 x0 x1 1a a 时时,AC,AC段段 F FQ1Q1=5qa/6=5qa/62.2.当：当：axax2 22a 2a 时时,即即CDCD段段F FQ2Q2=11q=11qa/6-qa/6-qx x2 2，直线，直线x x2 2=a=a；F FQ2Q2=5q=5qa/6 a/6 （=F=FQ1Q1 ）x x2 2=2a=2a；F FQ2Q2=-q=-qa/6 a/6（=F=FQ3Q3 ）3.3.当

11、：当：0 x 0 x3 3a(a(起点在起点在B B点）点）F FQ3Q3=-q=-qa/6a/6弯矩图弯矩图:v当：当：0 x0 x1 1a a 时，时，M M1 1=5q=5q a a x x1 1/6/6为直线为直线v当：当：axax2 22a 2a 时，为二次曲线；时，为二次曲线；M M2 2=5q=5q a a x x2 2-q-q(x(x2 2-a)-a)2 2/2/2v当：当：0 x0 x3 3aa时（原点在时（原点在B B点，点，方向向左），方向向左），M M3 3为直线为直线M M3 3=q=q a a2 2+q+qa a x x3 3/6;/6;例例例例3 3 已知已知已知

12、已知q=9kN/mq=9kN/m，F F=45kN=45kN，MM0 0=48kN=48kN mm，求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。解：解：1）求约束反力：）求约束反力：MA(F)=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0F FE E Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0 2)截面法求内力截面法求内力截面法求内力截面法求内力3)ABAB段段段段:0:0 x x1 14m4m F Fy y=F FA Ay y-q-qx x1 1-F FQ1Q1=0 =0 F FQ1Q1=49-9=49

13、-9x x1 1 2 22 2 MMc c(F F)=)=MM1 1+q+qx x1 1/2-/2-F FA Ay yx x1 1=0 =0 MM1 1=49=49x x1 1-4.5-4.5x x1 1x1FAy0MM1 1FQ1c cq例例例例3 3 已知已知已知已知q=9kN/mq=9kN/m，F F=45kN=45kN，MM0 0=48kN=48kN mm，求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。求梁的内力。2)2)截面法求内力截面法求内力截面法求内力截面法求内力 BC BC段段段段:4m:4m x x2 26m6m F Fy y=F FA Ay y-4q-4q-F FQ2Q2=0=0 F

14、 FQ2Q2=13kN=13kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE Ex2FAy0BqMM2 2FQ2c c MMc c(F F)=)=MM2 2+4q(+4q(x x2 2-2)-2)-F FA Ay yx x2 2=0=0 MM2 2=13=13x x2 2+72(kN+72(kN m)m)CD CD段段段段:6m:6m x x3 38m8mx3FAy0BqCM0MM3 3FQ3c c DE DE段段段段:8m:8m x x4 412m12mx4FAy0BqCM0FDMM4 4FQ4c cF FQ3Q3=13kN;=13kN;MM3 3=13=13x x3 3+24(k

15、N+24(kN m)m)F FQ4Q4=-32kN;=-32kN;MM4 4=384-32=384-32x x4 4(kN(kN m)m)取右边部分如何取右边部分如何取右边部分如何取右边部分如何?DEDE段段段段:8m:8m x x4 412m12mBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE EF FQ4Q4=-=-F FE E=-32kN=-32kNMM4 4=F FE E(12-(12-x x4 4)=384-32 =384-32x x4 4 DE DE段段段段:8m:8m x x4 412m12mF FQ4Q4=-32kN;=-32kN;MM4 4=384-32=384-32

16、x x4 4(kN(kN m)m)qFx4FAy0B CM0DMM4 4FQ4c c结果应当相同。结果应当相同。结果应当相同。结果应当相同。可以用于验算。可以用于验算。可以用于验算。可以用于验算。内力同样要按正向假设内力同样要按正向假设内力同样要按正向假设内力同样要按正向假设!x4F FE EMM4 4FQ4c c0 x4BAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE E分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：分段处的剪力弯矩值：x x1 1=0:=0:F FQAQA=49=49；MMA A=0=0内力方程内力方程内力方程内力方程:ABAB段段段段:0:0 x x4

17、m4mF FQ1Q1=49-9=49-9x x1 1;MM1 1=49=49x x1 1-4.54.5x x1 1BCBC段段段段:4m:4m x x6m6mF FQ2Q2=13;=13;MM2 2=13=13x x2 2+72+72F FQ3Q3=13;=13;MM3 3=13=13x x3 3+24+24F FQ4Q4=-32;=-32;MM4 4=384-32=384-32x x4 42 2 CD CD段段段段:6m:6m x x8m8m DE DE段段段段:8m8m x x12m 0,；Mqa2(Fs 0,所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)(积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC

18、=MB+(-1/2qa a)=-qa2 1/2 qa2MB=MA+(-qa a)=0-qa2 )例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁,需拆开需拆开,以分析梁的受力以分析梁的受力1.受力分析受力分析特特点点：铰铰链链传传力力不不传传力力偶偶矩矩，与与铰铰相相连连的两横截面上的两横截面上,M=0,FS 不一定为零不一定为零2.画画 FS 图图水平直线水平直线3.画画 M 图图直线直线MFa/2-Fa/23Fa/2例 已知外伸梁，M=3kNm，q=3kN/m，a=2m。解：解：1.求求A、B处支反力处支反力F FAyAy=3.5kN=3.5kN；F FByBy=14.5KN=

19、14.5KN剪力：剪力：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC=FAyCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直线,MC=7KNmCB：q0,抛物线，FQ=0,M=6.04KNmBD：q0,开口向下，MB=-6KNm弯矩：弯矩：从图上可以很清楚地 看出三者之间的微分 关系剪力，分三段剪力，分三段AC，FQA=280KN,FQC=260KNCD，FQC=10KN,FQD=10KN,BD，FQD=-260KN,FQB=-280KN弯矩弯矩MQA=MQB=0KNm,MQC=MQD=540KNm极值点，（中心）：M=545KNm练习题：练习题：四、平面刚架和曲杆的内力图四、平面刚架和曲杆的内力图

20、平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。特点：特点：刚架各杆横截面上的内力有：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN。1、刚架刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构刚性接头的特点刚性接头的特点：约束约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力受力既可传力，也可传递力偶矩。既可传力，也可传递力偶矩。内力正负号规定：内力正负号规定：人站在刚架内部环顾刚架各杆，剪力、人站在刚架内部环顾刚架各杆，剪力、弯矩的正负号与梁的规定相同；轴力以拉为正。弯矩的正负号与梁的规定相同；轴力以拉为正。2、平面刚架内力图规

21、定、平面刚架内力图规定：弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受拉拉一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明 正、负号。正、负号。3、平面曲杆：、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。4、平面曲杆内力图规定：、平面曲杆内力图规定：弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受拉拉的一侧。的一侧。剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与

22、平面刚架相同。内力分析内力分析内力分析内力分析1.外力分析外力分析2.建立内力方程建立内力方程BC 段：段：AB 段：段：3.画内力图画内力图弯矩图画法：与弯矩对应的点，画在所在横截面弯曲时受拉一侧弯矩图特点：如刚性接头处无外力偶，则弯矩连续曲杆未受力时，轴线即为曲线的杆件未受力时，轴线即为曲线的杆件曲杆内力曲杆内力曲杆内力曲杆内力M使杆微段愈弯的弯矩为正使杆微段愈弯的弯矩为正FS，FN正负符号规定同前正负符号规定同前 三内力分量三内力分量 符号规定符号规定与弯矩相对应的与弯矩相对应的点，画在横截面点，画在横截面弯曲时受拉一侧弯曲时受拉一侧 画弯矩图画弯矩图轴线轴线5-5 5-5 按叠加原理作

23、弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯

24、矩图；、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x+M2x例例 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x0.5F0.5F0.5F+FF0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFL例例 绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFa