核心概念教学设计向量三角.ppt

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1、聚焦核心概念、思想方法的数聚焦核心概念、思想方法的数学课堂教学设计学课堂教学设计人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、问题的提出一、问题的提出课改迅猛推进课改迅猛推进亟待解决的问题多多：新课程提倡的理亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；程改革与考试评价制度的改革不配套；等。等。教学层面的问题教学层面的问题课堂教学抓不住数学概念的核心，没有课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，前后一致、贯穿始

2、终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量间，数学课堂中效益、质量“双低下双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。但数学基础仍很脆弱。教学过程教学过程“不自然不自然”，强加于人，强加于人，对学对学生学习兴趣与内部动机都有不利影响生学习兴趣与内部动机都有不利影响；缺乏

3、问题意识缺乏问题意识，对学生的创新精神和实，对学生的创新精神和实践能力培养不利践能力培养不利；重结果轻过程，重结果轻过程，“掐头去尾烧中段掐头去尾烧中段”，缺乏知识的归纳、概括过程，学习过程缺乏知识的归纳、概括过程，学习过程不完整，导致思维参与度不足不完整，导致思维参与度不足；重解题技能、技巧轻普适性思考方法的重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，思维层次不高；械模仿多独立思考少，思维层次不高；讲逻辑而不讲思想，讲逻辑而不讲思想，关注明确知识多，关注明确知识多，强调学科的思想方法少，对学生整体素强调学科的思想方

4、法少，对学生整体素养的提高不利养的提高不利。教师层面的问题分析教师层面的问题分析对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解；思想方法的体系结构缺乏必要的了解；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中措施无的放矢，对是否已经达成教学

5、目标心中无数；无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；问题归咎于教学系统的复杂性；缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；其根源也找不出解决问题的有效方法；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机采取的教学方

6、法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。新方法。二、努力的方向二、努力的方向专业化专业化数学学科的专业素养数学学科的专业素养有较好的数学功底（教好数学的前提是有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的的重要性；具有

7、揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和科学方法和理性思维过程的能力和“技技术术”；等。；等。教育学科的专业素养：教育学科的专业素养：一个人的可持续发展，不仅要有扎实的一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。指标。“两个素养两个素养”的结合的结合

8、善于抓住数学的核心概念和思想方法，善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；善于打开凝结在数学知懂得削枝强干；善于打开凝结在数学知识中的数学家的思维活动，并有好的载识中的数学家的思维活动，并有好的载体（如教学情景、典型例子、变式训练体（如教学情景、典型例子、变式训练等）来展开这些数学思维活动；对数学等）来展开这些数学思维活动；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合。与价值观影响有机整合。三、从三、从

9、“理解数学理解数学”入手入手提高概念理解水平：从表面到本质提高概念理解水平：从表面到本质把握概念把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体的深层结构上的进步；从抽象到具体对抽象对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统型、精彩的例子；从孤立到系统对概念之间对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。识；等。提高解读概念所反映的数学思想方法的能力。提高解读概念所反映的数学思想方法的能力。例例1 1 几个数学概念的解读几个数学概念的解读函数概念的核心是什么？函数概念的核心是什

10、么？直线与平面垂直的定义的关键在哪里？直线与平面垂直的定义的关键在哪里？如何理解两个变量的线性相关问题？如何理解两个变量的线性相关问题？如何理解诱导公式？如何理解诱导公式？推导等差数列前推导等差数列前n n项求和公式的思想方法项求和公式的思想方法是什么？是什么？“直线与方程直线与方程”的核心是什么？的核心是什么？例例2 2 向量的核心思想向量的核心思想引进一个量，必须要有运算引进一个量，必须要有运算向量如向量如果没有运算就只是一个路标；果没有运算就只是一个路标；引进一种运算，就要研究运算律引进一种运算，就要研究运算律结结合律、分配律、交换律等；合律、分配律、交换律等；类比数及其运算，提出和研究

11、向量运算类比数及其运算，提出和研究向量运算及其运算律及其运算律以加法和乘法的定义为以加法和乘法的定义为出发点；出发点；特例：向量与数的运算；特例：向量与数的运算；向量及其运算的几何意义：向量及其运算的几何意义：数乘向量数乘向量直线的向量表示，与数轴直线的向量表示，与数轴对应；对应；向量加法向量加法平面的向量表示，平面向平面的向量表示，平面向量基本定理；量基本定理；数量积数量积与几何度量、位置关系相关；与几何度量、位置关系相关；向量法向量法中学阶段学习向量的主要目中学阶段学习向量的主要目的是用向量方法解决几何问题的是用向量方法解决几何问题核心核心思想是思想是“三步曲三步曲”。向量法是坐标法的返璞

12、归真。例如，根向量法是坐标法的返璞归真。例如，根据条件建立适当的坐标系据条件建立适当的坐标系恰当选择恰当选择基向量。基向量。例例3 3 三角函数的核心三角函数的核心三角函数是匀速圆周运动的本质表现。三角函数是匀速圆周运动的本质表现。角是角是“转转”出来的：单位圆上的点（出来的：单位圆上的点（x，y）在其圆周上旋转所成的。）在其圆周上旋转所成的。研究匀速旋转最重要的是研究单位圆上研究匀速旋转最重要的是研究单位圆上的点（的点（x，y）随旋转角的变化而变化的）随旋转角的变化而变化的规律，即研究规律，即研究x和和y作为角作为角（弧度制）的（弧度制）的函数函数三角函数是圆的几何性质的代三角函数是圆的几何

13、性质的代数表示。数表示。技术上，充分利用单位圆研究三角函数技术上，充分利用单位圆研究三角函数的图像与性质，其中特别是与圆的对称的图像与性质，其中特别是与圆的对称性相关的性质。性相关的性质。和（差）角公式的研究也应该利用圆的和（差）角公式的研究也应该利用圆的对称性对称性旋转对称性。旋转对称性。四、基于概念的核心、思想方法的教学设四、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架计框架以以“三角函数定义三角函数定义”为例为例1 1教学设计的基本线索教学设计的基本线索概念及其解析（概念的核心）；概念及其解析（概念的核心）；目标和目标解析；目标和目标解析；教学问题诊断（达成目标已有条件和需教学问题诊断（达成目

14、标已有条件和需要的新条件的分析）；要的新条件的分析）；教学过程设计；教学过程设计；目标检测的设计。目标检测的设计。2 2概念和概念解析概念和概念解析概念：内涵和外延的准确表达；概念：内涵和外延的准确表达；概念解析：重点是在揭示内涵的基础上概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。重点。“任意角的三角函数任意角的三角函数”的概念解读的概念解读描述周期现象的数学模型，最基本而重描述周期现象的数学模型

15、，最基本而重要的背景：匀速圆周运动。要的背景：匀速圆周运动。定义域：定义域：（弧度制下）任意角的集合；（弧度制下）任意角的集合；对应法则：任意角对应法则：任意角的终边与单位圆的交的终边与单位圆的交点坐标为（点坐标为（x，y），正弦函数为），正弦函数为y=sin，余弦函数为，余弦函数为x=cos；值域：值域：1，1。概念解析概念解析核心：对应法则。核心：对应法则。思想方法：函数思想思想方法：函数思想一般函数概念一般函数概念的指导作用；形与数结合的指导作用；形与数结合象限角概象限角概念基础上；模型思想念基础上；模型思想单位圆上的点单位圆上的点随角的变化而变化的规律的数学刻画。随角的变化而变化的规律

16、的数学刻画。重点：理解任意角三角函数的对应法则重点：理解任意角三角函数的对应法则需要一定时间。需要一定时间。3 3目标和目标解析目标和目标解析目标：用目标：用“了解了解”“理解理解”“掌握掌握”及及相应的行为动词相应的行为动词“经历经历”“体验体验”“探探究究”等表述目标；等表述目标；目标解析：对目标解析：对“了解了解”“理解理解”“掌握掌握”以及以及“经历经历”“体验体验”“探究探究”的含的含义进行解析，一般的，核心概念的教学义进行解析，一般的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。目标都应进行适当分解。任意角三角函数概念的教学目标任意角三角函数概念的教学目标目标：理解任意角三角函数（正弦、余

17、弦、正目标：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。切）的定义。目标解析：目标解析：（1 1）知道三角函数研究的问题；）知道三角函数研究的问题；（2 2）经历）经历“单位圆法单位圆法”定义三角函数的过程；定义三角函数的过程；（3 3）知道三角函数的对应法则、自变量（定义）知道三角函数的对应法则、自变量（定义域）、函数值（值域）；域）、函数值（值域）；（4 4）体会定义三角函数过程中的数形结合、数）体会定义三角函数过程中的数形结合、数学模型、化归等思想方法学模型、化归等思想方法4 4教学问题诊断分析教学问题诊断分析教师根据自己以往的教学经验，数学内教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑

18、关系以及思维发展理论，对本在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析，其测，并对出现障碍的原因进行分析，其中包括对概念学习的认知分析。在上述中包括对概念学习的认知分析。在上述分析的基础上指出教学难点。分析的基础上指出教学难点。三角函数定义的教学问题诊断三角函数定义的教学问题诊断认知基础：认知基础：（1）函数的知识）函数的知识“理解三角函数定义理解三角函数定义”到到底要理解什么？底要理解什么？三要素；三要素；（2）锐角三角函数的定义）锐角三角函数的定义背景（直角三角背景（直角三角形）、对应关系（角度形）、对

19、应关系（角度 比值）、解决的问比值）、解决的问题（解三角形）题（解三角形）侧重几何特性；侧重几何特性；（3）任意角、弧度制、单位圆）任意角、弧度制、单位圆在直角坐标在直角坐标系下讨论问题的经验，借助单位圆使问题简化系下讨论问题的经验，借助单位圆使问题简化的经验。的经验。认知分析认知分析（1 1）三角函数是一类特殊函数，）三角函数是一类特殊函数，“三角函三角函数数”是是“函数函数”的下位概念，用的下位概念，用“概念概念同化同化”方式学习，要理解方式学习，要理解“三要素三要素”的的具体内涵，其中核心是具体内涵，其中核心是“对应法则对应法则”；（2 2）从锐角三角函数到任意角三角函数，）从锐角三角函

20、数到任意角三角函数，一种一种“形式推广形式推广”，载体要从直角三角，载体要从直角三角形过渡到直角坐标系，其核心是要明确形过渡到直角坐标系，其核心是要明确用坐标定义三角函数的思想方法；用坐标定义三角函数的思想方法；（3 3）体会将）体会将“任意点任意点”化归到化归到“单位圆上单位圆上的点的点”的意义的意义求简的思想。求简的思想。教学难点教学难点（1 1）先要在弧度制下（用单位圆的半径度）先要在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对量角）实现角的集合与实数集的一一对应，再实现数到坐标的对应，不是直接应，再实现数到坐标的对应，不是直接的对应，会造成理解困难；的对应，会造成理解困

21、难；（2 2）锐角三角函数的）锐角三角函数的“比值比值”过渡到坐标过渡到坐标表示的比值，需要从函数角度重新认识表示的比值，需要从函数角度重新认识问题；问题；（3 3）求简到）求简到“单位圆上点的坐标单位圆上点的坐标”，思想，思想方法深刻，学生不易理解。方法深刻，学生不易理解。5 5教学过程设计教学过程设计强调教学过程的内在逻辑线索；强调教学过程的内在逻辑线索；给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；的领悟过程分析；以以“问题串问题串”方式呈现为主，应当认真思考

22、每方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；训练，需要培养的能力，等；根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。计，合作交流式教学设计，等。三角函数定义的教学过程三角函数定义的教学过程复习复习 请回答下列问题：请回答下列问题：前面学习了任意角，你能说说任意角概念与平前面学习了任意角

23、，你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗？面几何中的角的概念有什么不同吗？引进象限角概念有什么好处？引进象限角概念有什么好处？在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区别？别？我们是怎样简化弧度制的度量单位的？我们是怎样简化弧度制的度量单位的？设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度复习；关注的是思想方法。复习；关注的是思想方法。先行组织者：我们知道，函数是描述客先行组织者：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。例如观世界变化规律的重要数学模型。例如指数函数描述了指数函数描述了“指数爆炸指

24、数爆炸”，对数函，对数函数描述了数描述了“对数增长对数增长”等。圆周运动是等。圆周运动是一种重要的运动，其中最基本的是一个一种重要的运动，其中最基本的是一个质点绕点质点绕点O 做匀速圆周运动，其变化规做匀速圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？律该用什么函数模型描述呢？“任意角任意角的三角函数的三角函数”就是一个刻画这种就是一个刻画这种“周而周而复始复始”的变化规律的函数模型。的变化规律的函数模型。设计意图：解决设计意图：解决“学习的必要性学习的必要性”问题，问题，明确要研究的问题。明确要研究的问题。问题问题1 对于三角函数我们并不陌生，初对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，

25、你能说说它的自中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角个锐角，你能借助三角板，根据锐角三，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出角函数的定义找出sin的值吗？的值吗？设计意图：从函数角度重新认识锐角三设计意图：从函数角度重新认识锐角三角函数定义，突出角函数定义，突出“与点的位置无关与点的位置无关”。问题问题2 你能借助象限角的概念，用直角你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？设计意图：比值设计意图：比值“坐标化坐标化”。问题问题3 上述表达式比较复杂，你能设法上述

26、表达式比较复杂，你能设法将它化简吗？将它化简吗？设计意图：为设计意图：为“单位圆法单位圆法”作铺垫。学作铺垫。学生答出生答出“取点取点P（x，y）使）使x2+y2=1”后追后追问问“为什么可以这样做？为什么可以这样做？”教师讲授：类比上述做法，设任意角教师讲授：类比上述做法，设任意角的的终边与单位圆交点为终边与单位圆交点为P（x，y），定义正），定义正弦函数为弦函数为y=sin，余弦函数为，余弦函数为x=cos。设计意图：设计意图：“定义定义”是一种是一种“规定规定”；把精力放在定义合理性的理解上。把精力放在定义合理性的理解上。问题问题4 你能说明上述定义符合函数定义你能说明上述定义符合函数定

27、义的要求吗？的要求吗？设计意图：让学生用函数的三要素说明设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。数的对应法则、定义域和值域。例例1 分别求自变量分别求自变量/2，/3所对应所对应的正弦函数值和余弦函数值。的正弦函数值和余弦函数值。设计意图：让学生熟悉定义，从中概括设计意图：让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤。出用定义解题的步骤。例例2 角角的终边过的终边过P（1/2，/2），求），求它的三角函数值。它的三角函数值。三角函数概念的三角函数概念的“精致精致”函数值的符号问题；函数值的符号问题；终边与坐

28、标轴重合时的三角函数值；终边与坐标轴重合时的三角函数值；终边相同的角的同名三角函数值；终边相同的角的同名三角函数值；与锐角三角函数的比较：因袭与扩张；与锐角三角函数的比较：因袭与扩张；从从“形形”的角度看三角函数的角度看三角函数三角函数线，三角函数线，联系的观点；联系的观点；终边上任意一点的坐标表示的三角函数；终边上任意一点的坐标表示的三角函数；把实数轴想象为一条柔软的细线，原点把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一缠绕在单位圆上，

29、那么数轴上的任意一个实数（点）个实数（点）t 被缠绕到单位圆上的点被缠绕到单位圆上的点 P（cost，sint）课堂小结：课堂小结：（1 1）问题的提出）问题的提出自然、水到渠成，思自然、水到渠成，思想高度想高度函数模型；函数模型；（2 2）研究的思想方法）研究的思想方法与锐角三角函数与锐角三角函数的因袭与扩张的关系，化归为最简单也的因袭与扩张的关系，化归为最简单也是最本质的模型，数形结合；是最本质的模型，数形结合；（3 3）归纳概括概念的内涵，明确自变量、）归纳概括概念的内涵，明确自变量、对应法则、因变量；对应法则、因变量；（4 4）用概念作判断的步骤、注意事项等。）用概念作判断的步骤、注意

30、事项等。6 6目标检测设计目标检测设计习题、练习方式的检测。要明确每一个习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性。测的针对性、有效性。注意防止一步到位，过早给综合题、难注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；基础不够的题目更是贻害题有害无益；基础不够的题目更是贻害无穷无穷题目出不好是老师专业素养低题目出不好是老师专业素养低的表现之一。的表现之一。结束语结束语数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解。方法的理解。围绕数学核心概念、思想方法进行教学；围

31、绕数学核心概念、思想方法进行教学；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；抓基础的含义是：第一，不断回到概念去，从基本概抓基础的含义是：第一，不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；第二，加强概念的联系念出发思考问题、解决问题；第二，加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。“题型题型”、与、与“题型题型”对应的技巧是雕虫小技，无法对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽。教学应追求解决问题的穷尽。教学应追求解决问题的“根本大法根本大法”基本基本概念所蕴含的思想方法。概念所蕴含的思想方法。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢