微积分6.2定积分的性质课件.ppt

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1、6.2 定积分的性质定积分的性质若若(x)=1,则则证证为了进一步讨论定积分的理论和计算为了进一步讨论定积分的理论和计算,本节将介绍定积分的本节将介绍定积分的性质性质6.2.1一一些性质些性质,在下面的讨论中在下面的讨论中,我们总是假设函数在所讨论的区我们总是假设函数在所讨论的区间上是可积的间上是可积的.性质性质6.2.21证证性质性质2可推广到有限个可积函数的情形可推广到有限个可积函数的情形,即即注注2性质性质6.2.3(k为常数为常数)性质性质6.2.4(区间可加性区间可加性)证证先证先证a c b的情形的情形,因为因为(x)在在a,b上可积上可积,所以无论所以无论 把把a,b怎样分怎样分

2、,积分和的极限都是存在的积分和的极限都是存在的.因此我们在划分区因此我们在划分区间时间时,每次都选择每次都选择c为分点为分点,即即3当当 时时,对上式两边取极限对上式两边取极限,有有o acby=(x)yx再证再证 a b c的情形的情形,因为因为acboyx同理可证同理可证cab情形情形,则不论则不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,结论总成立结论总成立.4证证则由性质则由性质6.2.5可得可得推论推论1 1(单调性单调性)若若(x)与与g(x)在在a,b上满足上满足则则由题设条件由题设条件即即6因为因为所以所以推论推论2若若|(x)|在在a,b上可积上可积,则有则有 证证则有则有7求

3、证求证 因为因为所以所以例例1证证由性质由性质6.2.5的推论的推论2可得可得8例例2估计积分估计积分的大小的大小.解解因为因为则则f(x)是单调增加函数是单调增加函数,故最大值是故最大值是最小值是最小值是由积分估值定理得由积分估值定理得10若若(x)在在a,b上连续上连续,则在则在a,b上上 及最大值及最大值M,即即至至少存少存在一点在一点使得使得性质性质6.2.7(积分中值定理积分中值定理)证证 因为因为(x)在在a,b上连续上连续,则则(x)在在a,b上必有最小值上必有最小值m由性质由性质6.2.6得得即即11由积分中值定理所得由积分中值定理所得表示连续曲线表示连续曲线f(x)在区间在区间a,b上的平均高度上的平均高度,称为函数称为函数f(x)在在区间区间a,b上的平均值上的平均值.13