材料力学-第9章扭转.ppt

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1、Shanghai University材料力学第9章材料力学材料力学扭转 杆杆杆杆的的的的两两两两端端端端承承承承受受受受大大大大小小小小相相相相等等等等、方方方方向向向向相相相相反反反反、作作作作用用用用平平平平面面面面垂垂垂垂直直直直于于于于杆杆杆杆件件件件轴轴轴轴线线线线的的的的两两两两个个个个力力力力偶偶偶偶，杆杆杆杆的的的的任任任任意意意意两两两两横横横横截截截截面面面面将将将将绕绕绕绕轴轴轴轴线线线线相相相相对对对对转转转转动动动动，这这这这种种种种受受受受力力力力与与与与变变变变形形形形形形形形式式式式称称称称为为为为扭扭扭扭转转转转（torsiontorsion）。本本本本章章

2、章章主主主主要要要要分分分分析析析析圆圆圆圆轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转时时时时横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力以以以以及及及及两两两两相相相相邻邻邻邻横横横横截截截截面面面面的的的的相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角，同同同同时时时时介介介介绍绍绍绍圆圆圆圆轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转时时时时的强度与刚度设计方法。的强度与刚度设计方法。的强度与刚度设计方法。的强度与刚度设计方法。第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上圆轴扭转横截面上 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 引言引言 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪

3、切胡克定律 第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 引言引言第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转请判断哪一杆件请判断哪一杆件请判断哪一杆件请判断哪一杆件将发生扭转？将发生扭转？将发生扭转？将发生扭转？当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭转。转。转。转。引言引言引言引言第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转

4、 引言引言引言引言第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转Meme（c）（a）MeMeFF（b）Me更多的实例更多的实例更多的实例更多的实例 引言引言引言引言第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转变形特征：变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。的转动。的转动。的转动。受力特征：受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，在杆的两端垂直于杆轴的平面内，在杆的两端垂直于杆轴的平面内，在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向

5、相反。作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭转角扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。任意两横截面间相对转过的角度。动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传

6、动轴计算中，通常给出传动功率计算中，通常给出传动功率计算中，通常给出传动功率计算中，通常给出传动功率P P和转速和转速和转速和转速n n，则传动轴所受的外加扭，则传动轴所受的外加扭，则传动轴所受的外加扭，则传动轴所受的外加扭力矩力矩力矩力矩MMe e可用下式计算：可用下式计算：可用下式计算：可用下式计算：其其其其中中中中P P为为为为功功功功率率率率，单单单单位位位位为为为为千千千千瓦瓦瓦瓦（kWkW）；n n为为为为轴轴轴轴的的的的转转转转速速速速，单单单单位位位位为为为为转转转转/分分分分（r/minr/min）。）。）。）。如果功率如果功率如果功率如果功率P P的单位用马力（的单位用马力

7、（的单位用马力（的单位用马力（1 1马力马力马力马力=735.5 N=735.5 N m/sm/s），则），则），则），则 外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩外加扭力矩MMe e确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩扭矩，圆轴两端受外加扭力矩MMe e作用时，横截面上将产生分布剪作用时，横截面上将产生分布剪作用时，横截面上将产生分布剪作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力

8、矩应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（称为扭矩（称为扭矩（称为扭矩（twist twist momentmoment），用），用），用），用MMx x表示。表示。表示。表示。+MMe eMMe en nMMe eMMMx xxMMMx xx 动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转n nMMe eMMx x_ _MMMx xx 如如如如果果果果只只只只在在在在轴轴轴轴的的的的两两两两个个个个端端端端截截截截面面面面作作作作用用用用

9、有有有有外外外外力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩，则则则则沿沿沿沿轴轴轴轴线线线线方方方方向向向向所所所所有有有有横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的扭扭扭扭矩矩矩矩都都都都是是是是相相相相同同同同的的的的，都都都都等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在轴轴轴轴上上上上的的的的外外外外力偶矩。力偶矩。力偶矩。力偶矩。扭扭扭扭矩矩矩矩沿沿沿沿杆杆杆杆轴轴轴轴线线线线方方方方向向向向变变变变化化化化的的的的图图图图形形形形，称称称称为为为为扭扭扭扭矩矩矩矩图图图图(diagram(diagram of of torsion torsion moment)moment)。绘绘绘绘制制制制扭扭扭扭矩矩矩

10、矩图图图图的的的的方方方方法法法法与与与与绘绘绘绘制制制制轴轴轴轴力力力力图图图图的的的的方方方方法法法法相相相相似。似。似。似。当当当当在在在在轴轴轴轴的的的的长长长长度度度度方方方方向向向向上上上上有有有有两两两两个个个个以以以以上上上上的的的的外外外外力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩作作作作用用用用时时时时，轴轴轴轴各各各各段段段段横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的扭扭扭扭矩矩矩矩将将将将是是是是不不不不相相相相等等等等的的的的，这这这这时时时时需需需需用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定各各各各段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。段横截面上的扭矩。动力传递与

11、扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转例题例题 1 1 圆圆轴轴受受有有四四个个绕绕轴轴线线转转动动的的外外加加力力偶偶，各各力力偶偶的的力力偶偶矩矩的的大大小小和和方方向向均均示示于于图图中中，其其中中力力偶偶矩矩的的单单位位为为N.m，尺尺寸寸单单位为位为mm。试试试试 ：画出圆轴的扭矩图。画出圆轴的扭矩图。动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转解：解：解：解：1 1确定控制面确定控制面 外外加加力力偶偶处处截截面面A、B、C、D均为控制面。均为控制面。2 2应应用用截

12、截面面法法，由由平平衡衡方程方程确定各段圆轴内的扭矩确定各段圆轴内的扭矩。动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 3 3建建立立Mxx坐坐标标系系，画出扭矩图画出扭矩图 建建立立Mxx坐坐标标系系，其其中中x轴轴平平行行于于圆圆轴轴的的轴轴线线，Mx轴轴垂垂直直于于圆圆轴轴的的轴轴线线。将将所所求求得得的的各各段段的的扭扭矩矩值值，标标在在Mxx坐坐标标系系中中，得得到到相相应应的的点点，过过这这些些点点作作x轴轴的的平平行行线线，即即得得到到所所需需要要的的扭扭矩矩图。图。动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭矩动力传递与扭

13、矩第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 第第第第4 4 4 4章章章章 扭转扭转扭转扭转薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r0为平均半径）为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力（实验）：一、薄壁圆筒扭转时的切应力（实验）：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力施加一对外力m。第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 薄壁圆管的扭转应力薄壁圆管的扭转应力2、实验后：、实验后：圆周线

14、不变；圆周线不变；纵向纵向线倾斜同一个角度，变线倾斜同一个角度，变成平行的螺旋线。成平行的螺旋线。3、结论：、结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 5、薄壁圆筒剪应力、薄壁圆筒剪应力

15、 大小：大小：假定假定 平均分布平均分布,方向垂直于半径方向垂直于半径.A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。acddxbdy 4、分析分析矩形变成平行四边形矩形变成平行四边形,各边长不变各边长不变,所所以两侧截面上只有切应力以两侧截面上只有切应力,无正应力无正应力.(实际上与扭矩对应的应力只能是切应实际上与扭矩对应的应力只能是切应力力)第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 xyzdxdydz第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理

16、与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 微元能不能平衡？微元能不能平衡？微元能不能平衡？微元能不能平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论xyzdxdydz 第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 剪应力成对定

17、理剪应力成对定理剪应力成对定理剪应力成对定理 在在在在两两两两个个个个互互互互相相相相垂垂垂垂直直直直的的的的平平平平面面面面上上上上，剪剪剪剪应应应应力力力力必必必必然然然然成成成成对对对对存存存存在在在在，且且且且数数数数值值值值相相相相等等等等，两两两两者者者者都都都都垂垂垂垂直直直直于于于于两两两两个个个个平平平平面面面面的的的的交交交交线线线线，方方方方向向向向则则则则共共共共同同同同指指指指向向向向或或或或共共共共同同同同背背背背离离离离这这这这一一一一交交交交线线线线，这这这这就就就就是是是是剪剪剪剪 应应应应 力力力力 成成成成 对对对对 定定定定 理理理理（pairing p

18、airing principle of shear stressesprinciple of shear stresses）。）。）。）。xyzdxdydz 第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 O O剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律 当当当当在在在在弹弹弹弹性性性性范范范范围围围围内内内内加加加加载载载载时时时时，剪剪剪剪应力与剪应变成正比应力与剪应变成正比应力与剪应变成正比应力与剪应变成正比:这这这这种种种种线线线线性性性性关关关关系系系系称称称称为

19、为为为剪剪剪剪切切切切胡胡胡胡克克克克定定定定律律律律。比例常数比例常数比例常数比例常数G G称为材料的切变模量。称为材料的切变模量。称为材料的切变模量。称为材料的切变模量。第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律剪应力互等定理与剪切胡克定律 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡方方方方法法法法可可可可以以以以确确确确定定定定圆圆圆圆杆杆杆杆扭扭扭扭转转转转时时时时横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的内内内

20、内力力力力分分分分量量量量扭扭扭扭矩矩矩矩，但但但但是是是是不不不不能能能能确确确确定定定定横横横横截截截截面面面面上上上上各各各各点点点点剪剪剪剪应应应应力力力力的的的的大大大大小小小小。为为为为了了了了确确确确定定定定横横横横截截截截面面面面上上上上各各各各点点点点的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力，在在在在确确确确定定定定了了了了扭扭扭扭矩矩矩矩后后后后，还还还还必必必必须须须须知知知知道道道道横截面上的剪应力是怎样分布的。横截面上的剪应力是怎样分布的。横截面上的剪应力是怎样分布的。横截面上的剪应力是怎样分布的。圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截

21、面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式变变变变 形形形形应变分布应变分布应变分布应变分布平面假定平面假定平面假定平面假定物性关系物性关系物性关系物性关系静力方程静力方程静力方程静力方程确定横截面上剪应力确定横截面上剪应力 的方法与过程的方法与过程 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 平面假定平面假定平面假定平面假定 变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程 物性关系物性关系物性关系物性关系剪切胡克定律剪

22、切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律 静力学方程静力学方程静力学方程静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 平面假定平面假定 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 假假假假定定定定：圆圆圆圆轴轴轴轴受受受受扭扭扭扭发发发发生生生生变变变变形形形形后后后后，其其其

23、其横横横横截截截截面面面面依依依依然然然然保保保保持持持持平平平平面面面面，两两两两相相相相邻邻邻邻横横横横截截截截面面面面刚刚刚刚性性性性地地地地相相相相互互互互转转转转过一角度。这一假定称为平面假定。过一角度。这一假定称为平面假定。过一角度。这一假定称为平面假定。过一角度。这一假定称为平面假定。圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 变形协调方程变形协调方程

24、 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。半径越小者剪应变越小。圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章

25、扭转扭转扭转扭转 设到轴线任意远设到轴线任意远 处的剪应变为处的剪应变为（），则从图中可得），则从图中可得到如下几何关系：到如下几何关系：圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 物性关系物性关系剪切胡克定律剪切胡克定律 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律 O O 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力

26、第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 静力学方程静力学方程 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章

27、章章 扭转扭转扭转扭转式中式中式中式中 GI GIP P扭转刚度；扭转刚度；扭转刚度；扭转刚度；I IP P横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。横截面的极惯性矩。圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的 剪应力表达式剪应力表达式 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横

28、截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力Wp 扭转截面系数。扭转截面系数。圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩p扭转截面系数p其中d为圆截面直径（d、D为圆环内外径）圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截

29、面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件受扭圆轴的强度设计准则受扭圆轴的强度设计准则 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上

30、的最大剪应力靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力 maxmax限制在一限制在一限制在一限制在一定的数值以下，即：定的数值以下，即：定的数值以下，即：定的数值以下，即：这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。强度条件。强度条件。强度条件。受扭圆轴的强度设计准则受扭圆轴的强度设计准则 为许用剪应力；为许用剪应力；为许用剪应力；为许用剪应力；

31、max max max max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；缘各点；缘各点；缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在对于变截

32、面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩MMx x和相应扭转截面系数和相应扭转截面系数和相应扭转截面系数和相应扭转截面系数WWP P的的的的数值综合考虑才能确定。数值综合考虑才能确定。数值综合考虑才能确定。数值综合考虑才能确定。圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转已知：已知：已知：已知：P P1 114kW,14kW,n n1 1=n n2 2=120 r/min,=1

33、20 r/min,z z1 1=36,=36,z z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,=70mm,d d 2 2=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.=35mm.求求求求:各各各各轴轴轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。3例例 题题 3 3 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kWn1=n2=120r/min3解：解：解：解：计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转

34、速计算各轴的功率与转速 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转Mx1=T1=1114 N.mMx2=T2=557 N.mMx3=T3=185.7 N.m3解：解：解：解：计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩计算各轴的扭矩 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转3解：解：解：解：计算各轴的横截面上的最大切应力计算各轴的横截面上的最大切应力计算各轴的横截面上的最大切应力计算各轴的横截面上的最大切应力

35、 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转受扭圆轴的相对扭转角受扭圆轴的相对扭转角 圆杆受扭矩作用时，圆杆受扭矩作用时，圆杆受扭矩作用时，圆杆受扭矩作用时，dxdxdxdx微段的两截面绕轴线相对转动的微段的两截面绕轴线相对转动的微段的两截面绕轴线相对转动的微段的两截面绕

36、轴线相对转动的角度称为相对扭转角角度称为相对扭转角角度称为相对扭转角角度称为相对扭转角沿轴线方向积分，得到沿轴线方向积分，得到沿轴线方向积分，得到沿轴线方向积分，得到 受扭圆轴的相对扭转角受扭圆轴的相对扭转角 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：转角为：转角为：转角为：对对对对于于于于各各各各段段段段扭扭扭扭矩矩矩矩不不不不等等等等或或或或截截截截面面面面极极极极惯惯惯惯性性性性矩矩矩矩不不不不等等等等的的的的阶阶阶阶梯梯梯梯状状状

37、状圆圆圆圆轴轴轴轴，轴两端面的相对扭转角为轴两端面的相对扭转角为轴两端面的相对扭转角为轴两端面的相对扭转角为：圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转单位长度的相对扭转角单位长度的相对扭转角 在在在在很很很很多多多多情情情情形形形形下下下下，两两两两端端端端面面面面的的的的相相相相对对对对扭扭扭扭矩矩矩矩角角角角不不不不能能能能反反反反映映映映圆圆圆圆轴轴轴轴扭扭扭扭转转转转变变变变形形形形的的的的程程程程度度度度，因因因因而而而而更更更更多多多多采采采采用用用用单单单单位位位位长长长长度度度度扭扭

38、扭扭转转转转角角角角表表表表示示示示圆圆圆圆轴轴轴轴的的的的扭扭扭扭转转转转变变变变形形形形，单单单单位位位位长长长长度度度度扭扭扭扭转转转转角角角角即即即即扭扭扭扭转转转转角角角角的的的的变变变变化化化化率率率率。单单单单位位位位长长长长度度度度相相相相对对对对扭扭扭扭转角为：转角为：转角为：转角为：圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转受扭圆轴的刚度设计准则受扭圆轴的刚度设计准则 为为为为了了了了机机机机械械械械运运运运动动动动的的的的稳稳稳稳定定定定和和和和工工工工作作作作精精精精度度度度，

39、机机机机械械械械设设设设计计计计中中中中要要要要根根根根据据据据不不不不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭扭扭扭转转转转刚刚刚刚度度度度设设设设计计计计是是是是将将将将单单单单位位位位长长长长度度度度上上上上的的的的相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角限限限限制制制制在在在在允允允允许许许许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：的范围内，即必须使构件满

40、足刚度设计准则或称刚度条件：的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：对对对对于于于于两两两两端端端端承承承承受受受受集集集集中中中中扭扭扭扭矩矩矩矩的的的的等等等等截截截截面面面面圆圆圆圆轴轴轴轴，刚刚刚刚度度度度设设设设计计计计准准准准则则则则又又又又可以写成：可以写成：可以写成：可以写成：圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转受扭圆轴的刚度设计准则受扭圆轴的刚度设计准则其其其其中中中中，为为为为单单单单位位位位长长长长度度度度上上上上的的的的许许许许用用用用相相相相对对对对扭扭扭扭

41、转转转转角角角角，其其其其数数数数值值值值根根根根据据据据轴轴轴轴的的的的工工工工作作作作要要要要求求求求而而而而定定定定。例例例例如如如如，精精精精密密密密机机机机械械械械的的的的轴轴轴轴 (0.250.5)(0.250.5)()mm；一一一一般般般般传传传传动动动动轴轴轴轴 (0.51.0)(0.51.0)()mm；刚刚刚刚度度度度要要要要求求求求不不不不高高高高的轴的轴的轴的轴 2 2（）mm。圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 需需需需要要要要注注注注意意意意的的的的是是是是：刚刚刚刚

42、度度度度设设设设计计计计中中中中要要要要注注注注意意意意单单单单位位位位的的的的一一一一致致致致性性性性。上上上上式式式式不不不不等等等等号号号号左左左左边边边边的的的的单单单单位位位位为为为为rad/mrad/mrad/mrad/m；而而而而右右右右边边边边通通通通常常常常所所所所用用用用的的的的单单单单位位位位为为为为()m m m m。因因因因此此此此，在在在在实实实实际际际际设设设设计计计计中中中中，若若若若不不不不等等等等式式式式两两两两边边边边均均均均采采采采用用用用radradradradm m m m，则则则则必必必必须须须须在在在在不不不不等等等等式式式式右右右右边边边边乘乘

43、乘乘以以以以（180180180180）；若若若若两两两两边边边边均均均均采采采采用用用用()m m m m，则则则则必必必必须须须须在在在在左左左左边边边边乘乘乘乘以以以以（180180180180）。）。）。）。受扭圆轴的刚度设计准则受扭圆轴的刚度设计准则 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 钢钢钢钢制制制制空空空空心心心心圆圆圆圆轴轴轴轴的的的的外外外外直直直直径径径径D D100 100 mmmm，内内内内直直直直径径径径d d50 50 mmmm。若若若若要要要要求求求求轴轴轴轴在在

44、在在2m2m长长长长度度度度内内内内的的的的最最最最大大大大相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角不不不不超超超超过过过过1.51.5 ，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量G G80.4 GPa80.4 GPa。例例例例 题题题题 5 5 解：解：解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有 1.1.求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；2.2.2.2.确定此时轴横截面上的最大剪应力。确

45、定此时轴横截面上的最大剪应力。确定此时轴横截面上的最大剪应力。确定此时轴横截面上的最大剪应力。圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转例例 题题 5 5 解：解：解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有 由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为 空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的

46、极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩 轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为 例例例例 题题题题 5 5轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为轴所能承受的最大扭矩为9.6889.6889.6889.688 101010103 3 3 3 N.m N.m N.m N.m9.688 kN.m9.688 kN.m9.688 kN.m9.688 kN.m 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件第第第第9 9 9 9章章章章 扭转扭转扭转扭转 例：两端固定的圆截

47、面等直杆例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力作用，试求杆两端的支座反力偶矩。偶矩。扭转静不定问题扭转静不定问题解：解：静力平衡方程为：静力平衡方程为：变形协调条件为：变形协调条件为：即：即：例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。最大剪应力。CL5TU14解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T课外作业课外作业91(c)93969179209 22